В теории чисел , характер Гекка является обобщением характера Дирихля , введенного Эрих Hecke построить класс L -функций больше , чем Дирихле L -функция , и естественная среда для дедекиндовыми дзеты-функций и некоторых других , которые имеют функциональные уравнения, аналогичные уравнению дзета-функции Римана .
Имя, иногда используемое для персонажа Гекке, - это немецкий термин Größencharakter (часто пишется Grössencharakter, Grossencharacter и т. Д.).
Определение с использованием иделей
Характер Гекка является символом из класса идели группы из в поле номера или глобальной функция поля . Он однозначно соответствует характеру группы иделей, который тривиален на главных иделах , через композицию с отображением проекции.
Это определение зависит от определения символа, которое немного различается между авторами: его можно определить как гомоморфизм ненулевых комплексных чисел (также называемый «квазихарактером») или как гомоморфизм единичной окружности в C ( «унитарный»). Любой квазихарактер (группы классов иделей) может быть записан однозначно как унитарный символ, умноженный на действительную степень нормы, поэтому нет большой разницы между этими двумя определениями.
Проводник из символов Гекка х является наибольшим идеалом т таким , что χ характер Гекка по модулю т . Здесь мы говорим, что χ является характером Гекке по модулю m, если χ (рассматриваемый как характер на группе иделей) тривиален на группе конечных иделей, каждая v-адическая компонента которых лежит в 1 + m O v .
Определение с использованием идеалов
Первоначальное определение персонажа Гекке, восходящее к Гекке, было выражением персонажа с фракционными идеалами . Для числового поля К , пусть т = м е т ∞ быть К - модуль упругости , с м е , в «конечной части», являющиеся составной идеал К и т ∞ , в «бесконечной части», будучи (формальный) произведение реальных мест в K . Пусть I m обозначает группу дробных идеалов K, взаимно простых с m f, и пусть P m обозначает подгруппу главных дробных идеалов ( a ), где a близко к 1 в каждой позиции m в соответствии с кратностями его факторов: для каждая конечная точка v в m f , ord v ( a - 1) не меньше показателя v в m f , и a положительно при каждом вещественном вложении в m ∞ . Характер Гекка с модулем м представляет собой группу гомоморфизм я т в ненулевом комплексные числа таким образом, что на идеалах ( ) в Р м его значение равно значению при непрерывном гомоморфизме к ненулевому комплексным числам из продукта мультипликативные группы всех архимедовых пополнений K, где каждая локальная компонента гомоморфизма имеет одну и ту же действительную часть (в показателе степени). (Здесь мы вкладываем a в произведение архимедовых пополнений K, используя вложения, соответствующие различным архимедовым местам на K. ) Таким образом, характер Гекке может быть определен на группе классов лучей по модулю m , которая является фактором I m / P m .
Строго говоря, Гекке сделал оговорку о поведении на основе основных идеалов для тех, кто допускает полностью положительный генератор. Итак, с точки зрения данного выше определения, он действительно работал только с модулями, в которых появлялись все реальные места. Роль бесконечной части m ∞ теперь входит в понятие бесконечного типа.
Связь определений
Идеальное определение намного сложнее, чем идеальное, и Гекке мотивировал это определение построить L -функции (иногда называемые L -функциями Гекке ) [1], которые расширяют понятие L-функции Дирихле от рациональных чисел. в другие числовые поля. Для характера Гекке χ его L- функция определяется как ряд Дирихле
над интегральными идеалами, взаимно простыми с модулем m характера Гекке. Обозначение N (I) означает идеальную норму . Условие общей вещественной части, определяющее поведение характеров Гекке на подгруппах P m, означает, что эти ряды Дирихле абсолютно сходятся в некоторой правой полуплоскости. Гекке доказал, что эти L- функции имеют мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость, будучи аналитическими, за исключением простого полюса порядка 1 при s = 1, когда характер тривиален. Для примитивных символов Гекке (определенных относительно модуля аналогично примитивным символам Дирихле), Гекке показал, что эти L- функции удовлетворяют функциональному уравнению, связывающему значения L -функции символа и L- функции его комплексно-сопряженного элемента. персонаж.
Рассмотрим характер ψ группы классов иделей, рассматриваемый как отображение в единичную окружность, равную единице на главных иделах и на исключительном конечном множестве S, содержащем все бесконечные места. Тогда ψ генерирует символ х идеальной группы я S , свободная абелева группа на простых идеалов не в S . [2] Возьмем униформизирующий элемент π для каждого простого числа p, не входящего в S, и определим отображение Π из I S в классы иделей, отображая каждый элемент p в класс идееля, который равен π в координате p и 1 везде. Пусть χ - композиция и ψ. Тогда χ корректно определен как характер на группе идеалов. [3]
В противоположном направлении, заданному допустимому характеру χ множества I S, соответствует единственный характер класса иделей ψ. [4] Здесь допустимый относится к существованию модуля m, основанного на множестве S, такого, что характер χ равен 1 на идеалах, равных 1 по модулю m . [5]
Символы «большие» в том смысле, что тип бесконечности, когда он присутствует, нетривиально означает, что эти символы не имеют конечного порядка. Символы конечного порядка Hecke все, в некотором смысле, приходились по теории полех классов : их L -функции являются Артин L -функцией , а Артиновая взаимность шоу. Но даже такое простое поле, как гауссово поле, имеет характеры Гекке, которые серьезно выходят за пределы конечного порядка (см. Пример ниже). Более поздние разработки в области комплексного умножения теории показали , что надлежащее место в «больших» символов было обеспечить Хассе-Вейля L -функции для важного класса алгебраических многообразий (или даже мотивы ).
Особые случаи
- Характер Дирихле - это характер Гекке конечного порядка. Он определяется значениями на множестве полностью положительных главных идеалов, которые равны 1 по отношению к некоторому модулю m . [5]
- Гильберта символ является символом Дирихля проводника 1. [5] Число символов Гильберта является порядком группы классов поля. Теория поля классов отождествляет характеры Гильберта с характерами группы Галуа поля классов Гильберта.
Примеры
- Для поля рациональных чисел группа классов идеелей изоморфна произведению положительных вещественных чисел ℝ + со всеми группами единиц p -адических целых чисел. Таким образом, квазихарактер можно записать как произведение степени нормы и символа Дирихле.
- Характер Гекке χ целых гауссовских чисел кондуктора 1 имеет вид
- χ (( a )) = | а | с ( а / | а |) 4 п
- для мнимого s и целого числа n , где a - генератор идеала ( a ). Единственными единицами измерения являются степени i , поэтому коэффициент 4 в показателе степени гарантирует, что персонаж правильно определен на идеалах.
Тезис Тейта
Первоначальное доказательство Гекке функционального уравнения для L ( s , χ) использовало явную тета-функцию . В докторской диссертации Джона Тейта 1950 года в Принстоне, написанной под руководством Эмиля Артина , дуальность Понтрягина была систематизирована, чтобы устранить необходимость в каких-либо специальных функциях. Похожая теория была независимо разработана Кенкичи Ивасава, которая стала предметом его выступления на ICM в 1950 году. Позже переформулировка в семинаре Бурбаков по Weil 1966 показали , что часть доказательства Тейта может быть выражена теорией распределения : пространство распределений (для функций Шварца-Брюы тестами ) на группу аделей из К трансформации под действием идели на а данный х имеет размерность 1.
Алгебраические символы Гекке
Характер алгебраической Hecke является характер Hecke принимает алгебраические значения: они были введены в 1947 Weil под названием типа A 0 . Такие характеры встречаются в теории полей классов и теории комплексного умножения . [6]
Действительно , пусть Е быть эллиптическая кривая , определенная над числовым полем F с комплексным умножением на мнимого квадратичного поля K , и предположим , что К содержится в F . Тогда существует алгебраический характер Гекк χ для F , с исключительным множеством S множества простых чисел плохой редукции из Е вместе с бесконечными местами. Этот характер обладает свойством , что для простого идеала р о хорошей редукции , значение χ ( р ) является корнем характеристического полинома от эндоморфизм Фробениуса . Как следствие, дзета-функция Хассе – Вейля для E является произведением двух рядов Дирихле для χ и его комплексно сопряженного элемента. [7]
Заметки
- ^ Какв Husemöller 2002 , глава 16
- ^ Heilbronn (1967) p.204
- Перейти ↑ Heilbronn (1967) p. 205
- ^ Tate (1967) стр.169
- ^ a b c Хайльбронн (1967) с.207
- ^ Husemoller (1987)стр 299-300. (2002) с.320
- ^ Husemoller (1987)стр 302-303. (2002) стр. 321–322
Рекомендации
- Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт , ред. (1967). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. Zbl 0153.07403 .
- Хайльбронн, Х. (1967). «VIII. Дзета-функции и L-функции». В Касселсе, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. С. 204–230.
- Хусемёллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые . Тексты для выпускников по математике. 111 . С приложением Рут Лоуренс. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl 0605.14032 .
- Хусемёллер, Дейл (2002). Эллиптические кривые . Тексты для выпускников по математике . 111 (второе изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b97292 . ISBN 0-387-95490-2. Zbl 1040.11043 .
- В. Наркевич (1990). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е изд.). Springer-Verlag / Польское научное издательство PWN . С. 334–343 . ISBN 3-540-51250-0. Zbl 0717.11045 .
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Дж Тэйт, анализ Фурье в числовых полях и дзета - функций Гекке (Тейт 1950 диссертация), перепечатаны в алгебраической теории чисел EDD Касселс , А. Фрелиха (1967) стр. 305-347. Zbl 1179,11041
- Тейт, Дж. Т. (1967). «VII. Глобальная теория поля классов». В Касселсе, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. С. 162–203. Zbl 1179.11041 .
- Weil, André (1966), Functions Zetas et Distributions (PDF) , 312 , Séminaire Bourbaki