Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , глобальное поле представляет собой поле , что либо:

Аксиоматическая характеристика этих полей с помощью теории оценки была дана Эмилем Артином и Джорджем Ваплзом в 1940-х годах. [1]

Формальные определения [ править ]

Основные статьи: Поле алгебраических чисел и Функциональное поле алгебраического многообразия

Глобальное поле является одно из следующих действий :

Поле алгебраических чисел

Поле алгебраических чисел Р является конечным (и , следовательно , алгебраическое ) расширение поля на поле из рациональных чисел Q . Таким образом , F представляет собой поле , которое содержит Q и имеет конечную размерность , когда рассматривается как векторное пространство над Q .

Функциональное поле алгебраической кривой над конечным полем

Функциональное поле разнообразия - это множество всех рациональных функций на этом разнообразии. На алгебраическом кривом (т.е. одномерного многообразия V ) над конечным полем, мы говорим , что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяются как отношение двух многочленов в аффинных координатах кольца из U , и что рациональный функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые согласуются с пересечениями открытых аффинных функций. Это технически определяет рациональные функции на V как поле частных аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Аналогии между двумя классами полей [ править ]

Между этими двумя типами полей есть ряд формальных сходств. Поле любого типа обладает тем свойством, что все его пополнения являются локально компактными полями (см. Локальные поля ). Каждое поле любого типа может быть реализовано как поле фракций одного дедекиндова домена , в котором каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс. В каждом случае есть формула произведения для ненулевых элементов x :

Аналогия между двумя видами полей была сильной движущей силой в алгебраической теории чисел . Идея аналогии между числовыми полями и римановыми поверхностями восходит к Ричарду Дедекинду и Генриху М. Веберу в девятнадцатом веке. Более строгая аналогия выражается идеей «глобальное поле», в котором аспект риманова поверхность как алгебраической кривой сопоставлен кривых , определенных над конечным полем, был построен в 1930 - х, что привело к гипотезе Римана для кривых над конечными полями осевших по Вейль в 1940 году терминология может быть связано с Weil, который написал свой основной номер Theory (1967) частично на работу из параллельности.

Обычно проще работать со случаем функционального поля, а затем попытаться разработать параллельные методы на стороне числового поля. Ярким примером является развитие теории Аракелова и ее использование Гердом Фалтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла . Аналогия также повлияла на развитие теории Ивасавы и основной гипотезы . Доказательство основной леммы в программе Ленглендса также использовало приемы, которые сводили случай числового поля к случаю функционального поля.

Теоремы [ править ]

Теорема Хассе – Минковского [ править ]

Основная статья: Теорема Хассе – Минковского

Теорема Хассе – Минковского является фундаментальным результатом теории чисел, который утверждает, что две квадратичные формы над глобальным полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах , т. Е. Эквивалентны по каждому пополнению поля.

Закон взаимности Артина [ править ]

Основная статья: закон взаимности Артина

Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K, основанное на локально-глобальном принципе Хассе . Его можно описать в терминах когомологий следующим образом:

Пусть L v / K v является расширение Галуа из локальных полей с группой Галуа G . Местный закон взаимности описывает канонический изоморфизм

называется локальным символом Артина , локальным отображением взаимности или символом нормального вычета . [2] [3]

Пусть L / K является расширением Галуа глобальных полей и C L стенд для идель группы классов из L . Карты θ v для разных мест v из K могут быть собраны в единую глобальную символьную карту путем умножения локальных компонентов idèle класса. Одно из положений закона взаимности Артина состоит в том, что это приводит к каноническому изоморфизму [4] [5]

Заметки [ править ]

  1. ^ Артины & Whaples 1945 и артины & Whaples 1946
  2. ↑ Серр (1967), стр.140
  3. ↑ Серр (1979), стр.197
  4. Перейти ↑ Neukirch (1999) p.391
  5. ↑ Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.

Ссылки [ править ]

  • Артин, Эмиль ; Whaples, Джордж (1945), "Аксиоматическая характеристика полей формулой произведения для оценок", Bull. Амер. Математика. Soc. , 51 : 469-492, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1945-08383-9 , МР  0013145
  • Артин, Эмиль ; Whaples, Джордж (1946), "Заметка об аксиоматической характеристике полей", Bull. Амер. Математика. Soc. , 52 : 245-247, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1946-08549-3 , МР  0015382
  • JWS Cassels , "Глобальные поля", в JWS Cassels и A. Frohlich (ред.), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Глава II, стр. 45–84.
  • JWS Cassels, "Местные поля", Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . С.56. 
  • Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 (второе издание), Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-540-37889-1 , ISBN 978-3-540-37888-4, Руководство по ремонту  2392026 , Zbl  1136.11001
  • Жан-Пьер Серр , Local Fields , Springer Science & Business Media, ISBN 978-1-4757-5673-9