Теория аракелова

В математике , теории Аракелов (или Аракелы геометрия ) представляет собой подход к диофантовой геометрии , названной в честь Суренных Аракелов . Он используется для изучения диофантовых уравнений в более высоких измерениях.

Фон [ править ]

Исследования Аракелов геометрии схемы X над кольцом целых чисел Z , положив эрмитовых метрик на голоморфных векторных расслоений над X ( C ), комплексные точки X . Эта дополнительная эрмитова структура применяется вместо того, чтобы схема Spec ( Z ) не могла быть полным разнообразием .

Результаты [ править ]

Аракелов  ( 1974 год , 1975 год ) определил теорию пересечений на арифметических поверхностях , прикрепленных к гладкой проективной кривые над числовыми полями, с целью доказательства определенных результатов, известных в случае функциональных полей, в случае числовых полей. Герд Фалтингс  ( 1984 ) расширил работу Аракелова, установив такие результаты, как теорема Римана-Роха, формула Нётер, теорема об индексе Ходжа и неотрицательность самопересечения дуализирующего пучка в этом контексте.

Теория Аракелова была использована Полом Войтой (1991) для нового доказательства гипотезы Морделла и Гердом Фалтингсом  ( 1991 ) в его доказательстве обобщения гипотезы Морделла Сержа Ланга .

Пьер Делинь  ( 1987 ) разработал более общую схему для определения спаривания пересечений, определенного на арифметической поверхности над спектром кольца целых чисел Аракеловым.

Теория Аракелова была обобщена Анри Жилле и Кристофом Суле на более высокие измерения. То есть Жилле и Суле определили пару пересечений на арифметическом многообразии. Одним из основных результатов Жилле и Soule является арифметической теорема Римана-Роха из Жилле & Soule (1992) , продление теоремы Гротендика-Римана-Роха к арифметических сортов. Для этого определяются арифметические группы Чжоу CH ^p ( X ) арифметического многообразия X и определяются классы Черна для эрмитовых векторных расслоений над Xпринимая значения в арифметических группах Чоу. Затем арифметическая теорема Римана – Роха описывает, как класс Черна ведет себя при прямом распространении векторных расслоений при правильном отображении арифметических многообразий. Полное доказательство этой теоремы только недавно было опубликовано Жилле, Рёсслером и Суле.

Теория пересечений Аракелова для арифметических поверхностей была развита Жан-Бенуа Бостом ( 1999 ). Теория Боста основана на использовании функций Грина, которые с точностью до логарифмических особенностей принадлежат пространству Соболева . В этом контексте Бост получает арифметическую теорему об индексе Ходжа и использует ее для получения теорем Лефшеца для арифметических поверхностей.${\ displaystyle L_ {1} ^ {2}}$

Группы арифметического чоу [ править ]

Арифметическая цикл коразмерности р является парой ( Z ,  г ) , где Z  ∈  Z ^р ( Х ) является р - цикл на X и г является зеленый ток для Z , многомерного обобщения функции Грина. Арифметическая Чоу группа коразмерности р является фактором этой группы по подгруппе , порожденной определенными «тривиальными» циклами. ^[1]${\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {CH}}} _ {p} (X)}$

Арифметическая теорема Римана – Роха [ править ]

Обычная теорема Гротендика – Римана – Роха описывает, как характер Черна ch ведет себя при продвижении пучков, и утверждает, что ch ( f _* ( E )) = f _* (ch (E) Td _{X / Y} ), где f - собственное морфизм из X в Y и E - векторное расслоение над f . Арифметическая теорема Римана – Роха аналогична, за исключением того, что класс Тодда умножается на определенный степенной ряд. Арифметическая теорема Римана – Роха утверждает

${\ displaystyle {\ hat {\ mathrm {ch}}} (f _ {*} ([E])) = f _ {*} ({\ hat {\ mathrm {ch}}} (E) {\ widehat {\ mathrm {Td}}} ^ {R} (T_ {X / Y}))}$

где

• X и Y - правильные проективные арифметические схемы.
• f - гладкое собственное отображение из X в Y
• Е представляет собой арифметическое векторное расслоение над X .
• ${\ displaystyle {\ hat {\ mathrm {ch}}}}$ - арифметический характер Черна.
• T _{X / Y} - относительное касательное расслоение
• ${\ displaystyle {\ hat {\ mathrm {Td}}}}$ арифметический класс Тодда
• ${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathrm {Td}}} ^ {R} (E)}$ является ${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathrm {Td}}} (E) (1- \ epsilon (R (E)))}$
• R ( X ) - аддитивный характеристический класс, связанный с формальным степенным рядом

${\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta ^{\prime }(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}$

См. Также [ править ]

• Теория Ходжа – Аракелова

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аракелов, Сурен Дж. (1974), "Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности", Матем. СССР Изв. , 8 (6): 1167-1180, DOI : 10,1070 / IM1974v008n06ABEH002141 , Zbl  +0355,14002 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Аракелов, Сурен Дж. (1975), "Теория пересечений на арифметической поверхности", Proc. Междунар. Congr. Математики Ванкувер , 1 , амер. Математика. Soc., Стр. 405–408, Zbl  0351.14003 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Бост, Жан-Бенуа (1999), "Теория потенциала и теоремы Лефшеца для арифметических поверхностей" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi : 10.1016 / s0012- 9593 (99) 80015-9 , ISSN  0012-9593 , Zbl  0931.14014
• Делинь, П. (1987), "Детерминант когомологии", Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) [ Определитель когомологии ], Contemporary Mathematics, 67 , Providence, RI: American Mathematical Society С. 93-177,. DOI : 10,1090 / conm / 067/902592 , МР  0902592 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Фалтингс ГЭРБ (1984), "Исчисление на арифметических поверхностях", Анналы математики , вторая серия 119 (2): 387-424, DOI : 10,2307 / 2007043 , JSTOR  2007043 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Фалтингс, Герд (1991), "диофантовые приближения на абелевых многообразиях", Анналы математики , вторая серия, 133 (3): 549-576, DOI : 10,2307 / 2944319 , JSTOR  2944319 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Фальтингс, Герд (1992), Лекции по арифметической теореме Римана – Роха , Annals of Mathematics Studies, 127 , Princeton, NJ: Princeton University Press, doi : 10.1515 / 9781400882472 , ISBN 0-691-08771-7, Руководство по ремонту  1158661 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Жилле, Анри ; Soule, Кристоф (1992), "Арифметический Римана-Роха теорема", Inventiones Mathematicae , 110 : 473-543, DOI : 10.1007 / BF01231343 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Кавагути, Шу; Мориваки, Ацуши; Ямаки, Кадзухико (2002), «Введение в геометрию Аракелова», Алгебраическая геометрия в Восточной Азии (Киото, 2001) , River Edge, NJ: World Sci. .. Опубл, стр 1-74, DOI : 10,1142 / 9789812705105_0001 , ISBN 978-981-238-265-8, MR  2030448
• Ланг, Серж (1988), Введение в теорию Аракелова , Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1031-3 , ISBN 0-387-96793-1, Руководство по ремонту  0969124 , Zbl  0667.14001 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Манин, Ю. I .; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396 . Zbl  1079.11002 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Суле, Кристоф (2001) [1994], "Теория Аракелова" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Soulé, C .; при участии Д. Абрамовича, Ж.-Ф. Бурнол и Дж. Крамер (1992), Лекции по геометрии Аракелова , Кембриджские исследования по высшей математике, 33 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Viii + 177, DOI : 10.1017 / CBO9780511623950 , ISBN 0-521-41669-8, Руководство по ремонту  1208731
• Войта, Пол (1991), "Теорема Зигеля в компактном случае", Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, Vol. 133, N 3, 133 (3): 509-548, DOI : 10,2307 / 2944318 , JSTOR  2944318

Внешние ссылки [ править ]

• Архив препринтов геометрии Аракелова