Голоморфное векторное расслоение

В математике , А голоморфное векторное расслоение является комплексным векторным расслоением над комплексным многообразием X , такими , что общее пространство Е является комплексным многообразием и проекция π: E → X является голоморфным . Фундаментальные примеры - голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия и двойственное ему голоморфное кокасательное расслоение . Голоморфное линейное расслоение является ранг один голоморфное векторное расслоение.

По Серра GAGA , категория голоморфных векторных расслоений на гладкой комплексной проективного многообразия X (рассматривается как комплексное многообразие) эквивалентна категории алгебраических векторных расслоений (т.е. локально свободных пучков конечного ранга) на X .

Определение через тривиализацию [ править ]

В частности, требуется, чтобы тривиализация отображала

${\ displaystyle \ phi _ {U}: \ pi ^ {- 1} (U) \ to U \ times \ mathbf {C} ^ {k}}$

являются биголоморфными отображениями . Это эквивалентно требованию, чтобы функции перехода

${\ displaystyle t_ {UV}: U \ cap V \ to \ mathrm {GL} _ {k} (\ mathbf {C})}$

являются голоморфными отображениями. Голоморфная структура на касательном расслоении комплексного многообразия гарантируется замечанием, что производная (в соответствующем смысле) векторнозначной голоморфной функции сама голоморфна.

Пучок голоморфных сечений [ править ]

Пусть E - голоморфное векторное расслоение. Локальное сечение s  : U → E | _U называется голоморфным, если в окрестности каждой точки U он голоморфен в некоторой (эквивалентно любой) тривиализации.

Это условие является локальным, что означает , что голоморфные сечения образуют пучок на X . Этот пучок иногда называют. Такой пучок всегда локально свободен от того же ранга, что и ранг векторного расслоения. Если Е линейное расслоение тривиально , то этот пучок совпадает с структурным пучком комплексного многообразия X .${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (E).}$${\ displaystyle {\ underline {\ mathbf {C}}},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Основные примеры [ править ]

Существуют линейные расслоения, над глобальными сечениями которых соответствуют однородные многочлены степени (для положительного целого числа). В частности, соответствует тривиальному линейному расслоению. Если мы возьмем покрытие, то сможем найти карты, определяемые${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (к)}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 0}$${\ Displaystyle U_ {я} = \ {[x_ {0}: \ cdots: x_ {n}]: x_ {i} \ neq 0 \}}$${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

Мы можем построить функции перехода, определяемые${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{j}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Теперь, если мы рассмотрим тривиальное расслоение, мы можем сформировать индуцированные функции перехода . Если мы используем координату на волокне, то мы можем сформировать функции перехода${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \psi _{i,j}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

для любого целого числа . Каждый из них связан с линейным пучком . Поскольку векторные расслоения обязательно оттягиваются, любое голоморфное подмногообразие имеет ассоциированное линейное расслоение , иногда обозначаемое .${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

Операторы Dolbeault [ править ]

Предположим, что E - голоморфное векторное расслоение. Тогда существует выделенный оператор, определяемый следующим образом. В локальной тривиализации из Е с локальной системой координат , любое сечение может быть записано для некоторых гладких функций . Определите оператор локально с помощью${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

где - регулярный оператор Коши-Римана базового многообразия. Этот оператор корректно определен на всем E, потому что на перекрытии двух тривиализаций с голоморфной функцией перехода , если где - локальная шкала для E на , то и так${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{\beta }}$${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

потому что функции перехода голоморфны. Это приводит к следующему определению: оператор Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении является -линейным оператором${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

такой, что

• (Условие Коши-Римана) ,${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• (Правило Лейбница) Для любой секции и функции на один есть${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

Под применением теоремы Ньюлендер-Ниренберг , получается обратный к построению оператора Го-либо голоморфного расслоения: ^[1]

Теорема. Для данного оператора Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении существует единственная голоморфная структура на таком, которая является ассоциированным оператором Дольбо, построенным выше.${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо , гладкое сечение голоморфно тогда и только тогда, когда . С моральной точки зрения это аналогично определению гладкого или комплексного многообразия как окольцованного пространства . А именно, достаточно указать, какие функции на топологическом многообразии являются гладкими или сложными, чтобы придать ему гладкую или сложную структуру.${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

Оператор Дольбо имеет локальный обратный в терминах оператора гомотопии . ^[2]

Пучки форм со значениями в голоморфном векторном расслоении [ править ]

Если обозначает пучок C ^∞ дифференциальных форм типа ( p , q ) , то пучок форм типа ( p , q ) со значениями в E можно определить как тензорное произведение${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

Эти связки прекрасны , что означает, что они допускают разделение на единицу . Фундаментальное различие между гладкими и голоморфными векторными расслоениями состоит в том, что в последнем существует канонический дифференциальный оператор, задаваемый оператором Дольбо, определенным выше:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

Когомологии голоморфных векторных расслоений [ править ]

Если Е является голоморфным векторным расслоением, когомология Е определяется быть пучок когомологий из . В частности, у нас есть ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

пространство глобальных голоморфных сечений Е . У нас также есть, что параметризует группу расширений тривиального линейного расслоения X посредством E , то есть точные последовательности голоморфных векторных расслоений 0 → E → F → X × C → 0 . Для структуры группы см. Также сумму Бэра, а также расширение пучка .${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

По теореме Дольбо эти когомологии пучков можно также описать как когомологии цепного комплекса, определяемого пучками форм со значениями в голоморфном расслоении . А именно у нас есть${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

Группа Пикар [ править ]

В контексте комплексной дифференциальной геометрии группа Пикара Pic ( X ) комплексного многообразия X - это группа классов изоморфизма голоморфных линейных расслоений с групповым законом, заданным тензорным произведением, и инверсией, заданной дуализацией. Его можно эквивалентно определить как первую группу когомологий пучка ненулевых голоморфных функций.${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

Эрмитовы метрики на голоморфном векторном расслоении [ править ]

Пусть E - голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии M и пусть на E существует эрмитова метрика ; то есть волокна E _x снабжены внутренними продуктами <·, ·>, которые меняются плавно. Тогда существует единственная связность ∇ на E , совместимая как с комплексной, так и с метрической структурой, называемая связностью Черна ; то есть ∇ - такая связность, что

(1) Для любых гладких сечений s многообразия E , где π _0,1 принимает (0, 1) -компоненту E -значной 1-формы .${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

(2) Для любого гладкого сечения S , т из Е и векторное поле X на М ,

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

где мы писали для сокращения из по X . (Это равносильно утверждению, что параллельный перенос по сохраняет метрику <·, ·>.)${\displaystyle \nabla _{X}s}$${\displaystyle \nabla s}$

В самом деле, если u = ( e ₁ ,…, e _n ) - голоморфный репер, то пусть и определим ω _u уравнением , которое мы запишем более просто как:${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

Если u '= ug - другой репер с голоморфной заменой базиса g , то

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

и поэтому ω действительно является формой связи , дающей начало ∇ по формуле s = ds + ω · s . Теперь, поскольку ,${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

То есть ∇ совместим с метрической структурой. Наконец, так как со является (1, 0) -формой, (0, 1) -компонент является .${\displaystyle \nabla s}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

Позвольте быть формой кривизны . Поскольку квадраты равны нулю по определению оператора Дольбо, Ω не имеет (0, 2) -компоненты, а поскольку легко показать, что Ω косоэрмитово, ^[3] она также не имеет (2, 0) -компоненты. Следовательно, Ω является (1, 1) -формой, задаваемой формулой${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

Кривизна Ω заметно фигурирует в теоремах об обращении в нуль для высших когомологий голоморфных векторных расслоений; например, исчезающей теорема Кодаиры и исчезающей теорема Накано в .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• "Векторное расслоение, аналитическое" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

См. Также [ править ]

• Теорема Биркгофа – Гротендика
• Квиллен метрика
• Двойственность Серра

Внешние ссылки [ править ]

• Принцип расщепления голоморфных векторных расслоений