Тензорное произведение

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Март 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья читается как учебник и может потребовать очистки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, чтобы сделать ее нейтральной по тону и соответствовать стандартам качества Википедии . ( Ноябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то тензорное произведение V ⊗ W два векторных пространств V и W (над тем же полем ) является векторным пространством, наделенным билинейной картой от декартова продукта V × W к V ⊗ W . Это билинейное отображение универсально в том смысле, что для любого векторного пространства X билинейные отображения из V × W в X находятся во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями из V ⊗${\ displaystyle (v, w) \ mapsto v \ otimes w}$ W в X .

Если это основа из V , а также является основой из W , то млн элементы образуют базис V ⊗ W . Если и затем координатный вектор из - за этого основой является внешним произведением координатных векторов V и W над соответствующими основаниями.${\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {м})}$${\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {п})}$${\ displaystyle e_ {i} \ otimes f_ {j}}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle w \ in W,}$${\ displaystyle v \ otimes w}$

Это свойство можно использовать для определения тензорного произведения, но для этого необходимо доказать, что тензорное произведение двух векторных пространств не зависит от выбора базиса. Следовательно, тензорное произведение двух векторных пространств V и W обычно определяется как фактор-пространство векторного пространства, имеющего V × W в качестве базиса, по линейному подпространству, натянутому на минимальные условия, необходимые для наличия билинейности.

В более общем смысле тензорное произведение может быть определено таким же образом для модулей над коммутативным кольцом и абелевых групп (которые являются модулями над целыми числами). Для векторных пространств и модулей, которые имеют дополнительные структуры, тензорное произведение часто оснащается аналогичной структурой. Например, тензорное произведение двух ассоциативных алгебр является ассоциативной алгеброй. Однако в случае топологических векторных пространств приведенное выше определение изменено для рассмотрения только непрерывных билинейных отображений.

Интуитивная мотивация и конкретный тензорный продукт [ править ]

Интуитивная мотивация тензорного произведения в более общем смысле основана на концепции тензоров . В частности, тензор - это объект, который можно рассматривать как особый тип полилинейной карты , которая принимает определенное количество векторов (его порядок ) и выводит скаляр. Такие объекты могут быть использованы в ряде областей применения, такие как римановая геометрия , известная для его использования в Альберте Эйнштейн «с общей теорией относительности в современной физике , где метрический тензорэто фундаментальная концепция. В частности, метрический тензор принимает два вектора, представленные примерно как маленькие стрелки, исходящие из определенной точки в искривленном пространстве или многообразии , и возвращает их локальное скалярное произведение относительно этой конкретной точки - операция, которая кодирует некоторую информацию. о длинах векторов, а также об угле между ними. Поскольку скалярное произведение является скаляром, считается, что метрический тензор заслуживает своего названия. В каждой точке многообразия есть один метрический тензор, и вариация метрического тензора, таким образом, кодирует, как понятия расстояния и угла, а значит, и законы аналитической геометрии , меняются по всему многообразию.

Можно представить себе тензорное произведение двух векторных пространств и , как представление набора всех тензоров, которые берут вектор из и вектор из и выводят скаляр в их общем базовом поле (и, таким образом, могут быть определены только в том случае, если они имеют такие общее базовое поле). Эти два пространства могут быть одинаковыми - выше, они являются векторами в касательном пространстве в точке: грубо говоря, плоское пространство крошечный кусок многообразия «выглядит» около определенной точки, и, таким образом, метрический тензор живет в тензорном произведении этого пространства с собой. Но эти два пространства также могут быть разными.${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

Если у нас есть базис для каждого из векторных пространств, а векторные пространства конечномерны, мы можем представить векторы в терминах компонентов этих базисных векторов:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}},\ \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{bmatrix}}.}$

где каждый вектор-столбец обозначает компоненты в конкретном базисе, т. е. (и аналогично ).${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {w} }$

Тензор - это карта, которая работает, как указано выше, возвращает скаляр и является линейной по обоим своим аргументам. Такой тензор можно представить с помощью матричного умножения:${\displaystyle T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$

${\displaystyle T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {T} \mathbf {w} }$

где верхний индекс обозначает транспонирование матрицы , которое отправляет вектор в его двойственный вектор .${\displaystyle {\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Учитывая два вектора, мы можем довольно естественно сформировать из них собственный тензор, используя внешнее произведение , которое обозначено и равно . Этот тензор представляет собой матрицу${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} ^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}v_{1}w_{1}&v_{1}w_{2}&\cdots &v_{1}w_{m}\\v_{2}w_{1}&v_{2}w_{2}&\cdots &v_{2}w_{m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}w_{1}&v_{n}w_{2}&\cdots &v_{n}w_{m}\end{bmatrix}}}$

и эта матрица соответствует тензору по предыдущей конструкции, что напоминает то, как она соответствует линейной карте (путем умножения только с одной стороны). Эти тензоры сами генерируют векторное пространство, складывая их вместе и умножая на скаляры обычными способами, которые мы делаем для матриц и функций, и набор всех таких тензоров, сформированных таким образом, является тензорным произведением самих двух векторных пространств. Фактически, это пространство эквивалентно пространству карт, представленных каждой возможной матрицей указанного выше размера, как можно увидеть, отметив, что простые тензорные произведения (здесь базис другого векторного пространства ) имеют "1" в${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{j}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (i,j)}$-я позиция и "0" везде, что позволяет умножить их на любое число, а затем сложить, чтобы получить матрицу с произвольными записями.

Цель следующих разделов - найти определение, которое эквивалентно этому, где оно применимо, но которое не требует конкретного выбора основы и которое также может быть более легко применено к бесконечномерным параметрам, где обычные базовые концепции ( Hamel основание ) может вести себя плохо. Отсутствие необходимости в конкретном базисе полезно с теоретической точки зрения, поскольку, хотя у каждого векторного пространства есть базис, не все базисы обязательно могут быть построены, и, кроме того, сам результат зависит от принятия аксиомы выбора , которая может быть отвергнута в некоторых случаях. системы математики. Также полезно найти абстрактную конструкцию для анализа с точки зрения теории категорий.- теория сильно уменьшенной «большой математической картины» и того, как все математические объекты соотносятся друг с другом в очень общем смысле. Очень важное практическое применение такого определения можно найти в квантовой механике : тензорное произведение в этой форме позволяет нам говорить о волновой функции системы двух частиц как об абстрактном векторе гильбертова пространства без необходимости указывать конкретная основа наблюдаемых .

Маленький шаг к абстрактному тензорному произведению: свободное векторное пространство [ править ]

Первый шаг, который мы рассмотрим, включает введение так называемого « свободного векторного пространства » над заданным набором. Суть этой идеи в основном состоит в том, что мы сказали в последнем пункте: поскольку тензор может быть записан двойной суммой${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(v_{i}w_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j})}$

наиболее естественный способ подойти к этой проблеме как - то понять, как мы можем «забыть» о конкретном выборе оснований и которые используются здесь. В математике мы «забываем» о репрезентативных деталях чего-либо, устанавливая идентификацию, которая говорит нам, что две разные вещи, которые следует рассматривать как репрезентации одного и того же предмета, на самом деле таковы, т.е. , они есть »или« нет, они не », а затем« объединить вместе »все репрезентации как составляющие« представляемую вещь »без ссылки на какую-либо конкретную вещь, упаковывая их все вместе в единый набор. Формально мы сначала строим отношение эквивалентности ,а затем взять фактор, установленный этим отношением.${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$

Но прежде чем мы сможем это сделать, нам сначала нужно разработать то, что мы собираемся использовать в отношении отношения эквивалентности. Мы делаем это с другой стороны, «снизу вверх»: поскольку нам не гарантируется, по крайней мере, конструктивная основа при запуске из произвольных векторных пространств, мы могли бы вместо этого попытаться начать с гарантии того, что у нас есть один, то есть мы начнем сначала с рассмотрения «основы» как данности, а затем построим векторное пространство поверх него. С этой целью мы выполняем следующее: предположим, что это некоторый набор, который мы могли бы назвать абстрактным базисным набором . Теперь рассмотрим все формальные выражения вида${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\beta _{1}+a_{2}\beta _{2}+\cdots +a_{n}\beta _{n}}$

произвольной, но конечной длины и для которых являются скалярами и являются членами . Интуитивно это линейная комбинация базисных векторов в обычном смысле расширения элемента векторного пространства. Мы называем это «формальным выражением», потому что технически умножение недопустимо, так как по умолчанию нет определенной операции умножения для произвольного набора и произвольного поля скаляров. Вместо этого мы «притворимся» (аналогично определению мнимых чисел ), что это относится к чему-то, а затем будем манипулировать им в соответствии с правилами, которые мы ожидаем для векторного пространства, например, сумма двух таких строк с использованием одной и той же последовательности членов ИС${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{j}\beta _{j}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle (a_{1}\beta _{1}+a_{2}\beta _{2}+\cdots +a_{n}\beta _{n})+(b_{1}\beta _{1}+b_{2}\beta _{2}+\cdots +b_{n}\beta _{n})=(a_{1}+b_{1})\beta _{1}+(a_{2}+b_{2})\beta _{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\beta _{n}}$

где мы использовали ассоциативный , коммутативный и дистрибутивный законы, чтобы преобразовать первую сумму во вторую. Продолжение этого способа для скалярных кратных и всех комбинаций векторов разной длины позволяет нам построить векторное сложение и скалярное умножение на этом наборе формальных выражений, и мы называем это свободным векторным пространством поверх записи . Обратите внимание, что элементы , рассматриваемые как формальные выражения длины один с коэффициентом 1 спереди, образуют базис Гамеля для этого пространства.${\displaystyle B}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle B}$

Выражение тензорного произведения затем абстрагируется с учетом того, что если и представляют «абстрактные базисные векторы» из двух наборов и , то есть эти « » и « », то их пары в декартовом произведении , то есть принимаются как обозначающие тензорные произведения . (Обратите внимание, что тензорные произведения в выражении в некотором смысле «атомарны», то есть сложения и скалярные умножения не разделяют их ни на что другое, поэтому мы можем заменить их чем-то другим, не изменяя математическую структуру.) С такой идентификацией. , мы, таким образом, можем определить тензорное произведение двух свободных векторных пространств и как нечто (еще предстоит решить), изоморфное .${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle \gamma _{j}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta _{j}=\mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \gamma _{j}=\mathbf {f} _{j}}$${\displaystyle B\times G}$${\displaystyle (\beta _{i},\gamma _{j})}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j}}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle F(G)}$${\displaystyle F(B\times G)}$

Использование свободного векторного пространства, чтобы «забыть» о основе [ править ]

Приведенное выше определение будет работать для любого векторного пространства, в котором мы можем указать базис, поскольку мы можем просто перестроить его как свободное векторное пространство на этом базисе: приведенная выше конструкция точно отражает то, как вы представляете векторы через конструкцию базиса Хамеля по дизайну. По сути, мы ничего не добились ... пока не сделаем это.

Теперь мы не предполагаем доступа к базам векторных пространств и хотим сформировать тензорное произведение . Вместо этого мы будем принимать все из и в качестве «основы» для наращивания тензоры. Это следующая лучшая вещь, и единственная вещь, которую мы гарантированно сможем сделать, независимо от каких-либо проблем с поиском конкретной основы; это соответствует сложению произвольных внешних произведений произвольных векторов в последней части раздела «Интуитивная мотивация». Единственная разница здесь в том, что если мы воспользуемся конструкцией свободного векторного пространства и сформируем очевидное , у него будет много избыточных версий того, что должно быть тем же тензором; возвращаясь к нашему базовому случаю, если мы рассмотрим пример, где${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle F(V)\otimes F(W)=F(V\times W)}$${\displaystyle V=W=\mathbb {R} ^{2}}$в стандартном базисе можно считать, что тензор, образованный векторами и , т.е.${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0&3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}5&-3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle T:=\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0&0\\15&-9\end{bmatrix}},}$

может также быть представлены другими суммами, например, суммы , используя отдельные основные тензоры , например ,${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle T=0(\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1})+0(\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2})+15(\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1})-9(\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}).}$

Они, будучи равными выражениями в конкретном случае, соответствовали бы различным элементам свободного векторного пространства , а именно${\displaystyle F(V\times W)}$

${\displaystyle T=(x,y)}$

в первом случае и

${\displaystyle T=0(e_{1},e_{1})+0(e_{1},e_{2})+15(e_{2},e_{1})-9(e_{2},e_{2})}$

во втором случае. Таким образом, мы должны их сжать - здесь вступает в игру отношение эквивалентности. Уловка для его создания состоит в том, чтобы заметить, что для любого вектора в векторном пространстве всегда можно представить его как сумму двух других векторов, а не как исходный. Если ничего другого, пусть будет любой вектор, а затем возьмите - что также показывает, что если нам дан один вектор, а затем второй вектор, мы можем записать первый вектор в терминах второго вместе с подходящим третьим вектором (действительно, многими способами - просто рассмотрите скалярные кратные второго вектора в том же вычитании.).${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} :=\mathbf {x} -\mathbf {a} }$

Это полезно для нас, потому что внешнее произведение удовлетворяет следующим свойствам линейности, которые можно доказать простой алгеброй на соответствующих матричных выражениях:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\mathsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$

Если мы хотим связать внешний продукт с, скажем,, мы можем использовать первое отношение выше вместе с подходящим выражением в виде суммы некоторого вектора и некоторого скалярного кратного .${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {e_{1}} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {e_{1}} }$

Затем достигается равенство между двумя конкретными тензорами, если использование приведенных выше правил позволит нам переставить одну сумму внешних произведений в другую, соответствующим образом разложив векторы - независимо от того, есть ли у нас набор фактических базисных векторов. Применяя это к нашему примеру выше, мы видим, что, конечно, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=0\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {y} &=5\mathbf {e} _{1}-3\mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

для которого замена в

${\displaystyle T=\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} }$

дает нам

${\displaystyle T=(0\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2})\otimes (5\mathbf {e} _{1}-3\mathbf {e} _{2})}$

а разумное использование свойств дистрибутивности позволяет нам преобразовать их в желаемую форму. Кроме того, есть соответствующее «зеркало» манипуляция с точкой зрения свободных элементов векторного пространства и , и т.д., и это в конечном итоге приводит нас к формальному определению тензорного произведения.${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (e_{1},e_{1})}$${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$

Определение абстрактного тензорного произведения [ править ]

Абстрактное тензорное произведение двух векторных пространств и над общим базовым полем - это факторное векторное пространство${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle V\otimes W:=F(V\times W)/{\sim }}$

где есть отношение эквивалентности из формального равенства , порожденное в предположении , что для каждого и принято в качестве формальных выражений в свободном векторном пространстве , следующий трюм:${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle (v',w')}$${\displaystyle F(V\times W)}$

Личность .${\displaystyle (v,w)\sim (v,w).}$

Симметрия . подразумевает${\displaystyle (v,w)\sim (v',w')}$${\displaystyle (v',w')\sim (v,w).}$

Транзитивность . и подразумевает${\displaystyle (v,w)\sim (v',w')}$${\displaystyle (v',w')\sim (v'',w'')}$${\displaystyle (v,w)\sim (v'',w'').}$

Распределительность. и${\displaystyle (v,w)+(v',w)\sim (v+v',w)}$${\displaystyle (v,w)+(v,w')\sim (v,w+w').}$

Скалярные кратные. и${\displaystyle c(v,w)\sim (cv,w)}$${\displaystyle c(v,w)\sim (v,cw).}$

а затем проверка эквивалентности общих формальных выражений с помощью соответствующих манипуляций. ^{[ необходимая цитата ]} Арифметика определяется на тензорном произведении путем выбора репрезентативных элементов, применения арифметических правил и, наконец, взятия класса эквивалентности. Кроме того, для любых двух векторов и обозначается класс эквивалентности .${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle [(v,w)]}$${\displaystyle v\otimes w}$

Свойства [ править ]

Обозначение [ править ]

Элементы V ⊗ W часто называют тензорами , хотя этот термин также относится ко многим другим связанным понятиям. ^[1] Если v принадлежит V, а w принадлежит W , то класс эквивалентности ( v , w ) обозначается через v ⊗ w , который называется тензорным произведением v на w . В физике и технике такое использование символа «⊗» относится конкретно к работе внешнего продукта ; результат внешнего продуктаv ⊗ w - один из стандартных способов представления класса эквивалентности v ⊗ w . ^[2] Элемент V ⊗ W, который можно записать в виде v ⊗ w , называется чистым или простым тензором . В общем, элемент пространства тензорного произведения - это не чистый тензор, а скорее конечная линейная комбинация чистых тензоров. Например, если v ₁ и v ₂ являются линейно независимыми , и ш ₁ и ш ₂также линейно независимы, то v ₁ ⊗ w ₁ + v ₂ ⊗ w ₂ не может быть записано как чистый тензор. Количество простых тензоров, необходимых для выражения элемента тензорного произведения, называется тензорным рангом (не путать с тензорным порядком , который представляет собой количество пространств, произведенных пользователем, в данном случае 2; в обозначениях число индексов), а для линейных операторов или матриц, рассматриваемых как (1, 1) тензоры (элементы пространства V ⊗ V ^∗ ), соответствует рангу матрицы .

Размер [ править ]

Указанные основы { v _я } и { ш _J } для V и W , соответственно, тензоры { v _я ⊗ ш _J } образуют базис V ⊗ W . Следовательно, если V и W конечномерны, размерность тензорного произведения является произведением размерностей исходных пространств; например, R ^m ⊗ R ⁿ изоморфен R ^mn .

Тензорное произведение линейных карт [ править ]

Тензорное произведение также работает с линейными отображениями между векторными пространствами. В частности, для двух линейных отображений S  : V → X и T  : W → Y между векторными пространствами тензорное произведение двух линейных отображений S и T является линейным отображением

${\displaystyle S\otimes T:V\otimes W\to X\otimes Y}$

определяется

${\displaystyle (S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w).}$

Таким образом, тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам. ^[3]

Если S и T оба инъективны , сюръективны или (в случае, когда V , X , W и Y - нормированные векторные пространства или топологические векторные пространства ) непрерывны , то S ⊗ T инъективно, сюръективно или непрерывно, соответственно.

Выбирая базы всех задействованных векторных пространств, линейные отображения S и T могут быть представлены матрицами . Тогда, в зависимости от того, как векторизуется тензор , матрица, описывающая тензорное произведение S ⊗ T, является произведением Кронекера двух матриц. Например, если вышеупомянутые V , X , W и Y двумерны и для всех них фиксированы базисы, а S и T задаются матрицами${\displaystyle v\otimes w}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$

соответственно, то тензорное произведение этих двух матриц равно

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$

Результирующий ранг не превосходит 4, и, следовательно, результирующая размерность равна 4. Обратите внимание, что ранг здесь обозначает тензорный ранг, то есть количество необходимых индексов (в то время как ранг матрицы подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). Примечание . ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$

Диадический продукт является частным случаем тензорного произведения между двумя векторами одного и того же размера.

Универсальная собственность [ править ]

Эта коммутативная диаграмма демонстрирует универсальное свойство тензорного произведения. Здесь и билинейны, тогда как линейны.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\tilde {h}}}$

В контексте векторных пространств тензорное произведение и связанное с ним билинейное отображение характеризуются с точностью до изоморфизма универсальным свойством относительно билинейных отображений . (Напомним, что билинейное отображение - это функция, которая по отдельности линейна по каждому из своих аргументов.) Неформально, это наиболее общее билинейное отображение из .${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V\times W}$

Векторное пространство и связанный с билинейной картой обладает свойством , что любая билинейной карта от любых векторных пространственных факторов через однозначно. Говоря « пропускает однозначно», мы имеем в виду, что существует уникальное линейное отображение, такое что .${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$${\displaystyle h:V\times W\to Z}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ \varphi }$

Эта характеризация может упростить доказательства тензорного произведения. Например, тензорное произведение симметрично, что означает канонический изоморфизм :

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V.}$

Чтобы построить, скажем, отображение из в , достаточно дать билинейное отображение, которое отображается в . Затем универсальное свойство средних складывается в карту . Карта в направлении , противоположном определяется аналогичным образом, и проверяется , что два линейных отображения и имеет обратный к друг друг, снова используя свои универсальные свойства.${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle W\otimes V}$${\displaystyle h:V\times W\to W\otimes V}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle w\otimes v}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to W\otimes V}$${\displaystyle {\tilde {g}}:W\otimes V\to V\otimes W}$${\displaystyle {\tilde {h}}}$${\displaystyle {\tilde {g}}}$

Универсальное свойство чрезвычайно полезно для демонстрации инъективности отображения тензорного произведения. Например, предположим, что мы хотим показать, что изоморфно . Поскольку все простые тензоры имеют форму и, следовательно, все элементы тензорного произведения имеют форму благодаря аддитивности по первой координате, у нас есть естественный кандидат на изоморфизм, заданный отображением в , и это отображение тривиально сюръективно.${\displaystyle \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a\otimes b=(ab)\otimes 1}$${\displaystyle x\otimes 1}$${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\otimes 1}$

Непосредственное проявление инъективности потребовало бы того, чтобы каким-то образом показать, что нет нетривиальных отношений между и для , что кажется пугающим. Тем не менее, мы знаем , что существует билинейное отображение задается умножением координат вместе, и универсальное свойство тензорного произведения , то обставляет отображение векторных пространств отображающее к , и , следовательно , является обратным по отношению к ранее построенного гомоморфизма, сразу подразумевающий желаемый результат. Обратите внимание, что априори даже не ясно, правильно ли определено это обратное отображение, но универсальное свойство и связанное с ним билинейное отображение вместе подразумевают, что это так.${\displaystyle x\otimes 1}$${\displaystyle y\otimes 1}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\otimes 1}$${\displaystyle x}$

Аналогичные рассуждения можно использовать, чтобы показать, что тензорное произведение ассоциативно, то есть существуют естественные изоморфизмы

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.}$

Поэтому круглые скобки принято опускать и писать .${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}}$

Категория векторных пространств с тензорным произведением является примером симметричной моноидальной категории .

Определение универсального свойства тензорного произведения справедливо в большем количестве категорий, чем только категория векторных пространств. Вместо использования полилинейных (билинейных) отображений в общем определении тензорного произведения используются мультиморфизмы. ^[4]

Тензорные силы и плетение [ править ]

Пусть n - целое неотрицательное число. П - й тензор мощности векторного пространства V является п - кратная тензорное произведение V с самим собой. То есть

${\displaystyle V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.}$

Перестановки σ множества {1, 2, ..., п } определяет отображение из п - й декартовой степени V следующим образом :

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :V^{n}\to V^{n}\\\sigma (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (n)}\right)\end{cases}}}$

Позволять

${\displaystyle \varphi :V^{n}\to V^{\otimes n}}$

естественное вложение полилинейная декартова силы V в тензорной степени V . Тогда по универсальному свойству существует единственный изоморфизм

${\displaystyle \tau _{\sigma }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$

такой, что

${\displaystyle \varphi \circ \sigma =\tau _{\sigma }\circ \varphi .}$

Изоморфизм τ _σ называется отображением косы, связанным с перестановкой σ .

Произведение тензоров [ править ]

Для неотрицательных целых чисел r и s тензор типа ( r , s ) в векторном пространстве V является элементом

${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$

Здесь V ^∗ - двойственное векторное пространство (которое состоит из всех линейных отображений f из V в основное поле K ).

Существует отображение произведения, называемое (тензорным) произведением тензоров ^[5]

${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$

Он определяется путем группирования всех встречающихся «факторов» V вместе: запись v _i для элемента V и f _i для элемента двойственного пространства,

${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$

Комплектование базис V и соответствующий двойственный базис в V ^* естественным образом индуцирует базис Т^r
_s( V ) (эта основа описана в статье о продуктах Кронекера ). В терминах этих базисов можно вычислить компоненты (тензорного) произведения двух (или более) тензоров . Например, если F и G - два ковариантных тензора порядков m и n соответственно (т.е. F ∈ T⁰
_мес., и G ∈ T⁰
_п), то компоненты их тензорного произведения имеют вид ^[6]

${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$

Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U - тензор типа (1, 1) с компонентами U ^α _β , а V - тензор типа (1, 0) с компонентами V  ^γ . потом

${\displaystyle (U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$

и

${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$

Тензоры, оснащенные операцией произведения, образуют алгебру , называемую тензорной алгеброй .

Карта оценки и сжатие тензора [ править ]

Для тензоров типа (1, 1) существует каноническая оценочная карта

${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$

определяется его действием на чистые тензоры:

${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$

В более общем смысле, для тензоров типа ( r , s ) с r , s > 0 существует отображение, называемое тензорным сжатием ,

${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$

( Необходимо указать копии V и V ^*, к которым будет применяться эта карта.)

С другой стороны, если V является конечномерен , существует каноническое отображение в другом направлении ( так называемое coevaluation картой )

${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$

где v ₁ , ..., v _n - любой базис V , а v _i ^∗ - его дуальный базис . Эта карта не зависит от выбора основы. ^[7]

Взаимодействие оценки и сооценки может быть использовано для характеристики конечномерных векторных пространств без ссылки на базисы. ^[8]

Присоединенное представление [ править ]

Тензорное произведение может быть естественным образом рассматривать как модуль для алгебры End ( V ) с помощью диагонального действия: для простоты предположим , г = s = 1 , то для каждого U ∈ End ( V ) ,${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$

${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$

где у ^* в End ( V ^* ) является транспонированной из U , то есть, с точки зрения очевидного спаривания на V ⊗ V ^* ,

${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle }$.

Существует канонический изоморфизм :${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$

${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$

При этом изоморфизме каждое u в End ( V ) можно сначала рассматривать как эндоморфизм, а затем рассматривать как эндоморфизм End ( V ) . Фактически это присоединенное представление ad ( u ) группы End ( V ) .${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$

Связь тензорного произведения с Hom [ править ]

Для двух конечномерных векторных пространств U , V над одним и тем же полем K обозначим двойственное пространство к U как U * , а K- векторное пространство всех линейных отображений из U в V как Hom ( U , V ) . Есть изоморфизм,

${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$

определяемый действием чистого тензора на элемент ,${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$

Его «инверсия» может быть определена с использованием базиса и его двойственного базиса, как в разделе « Карта оценки и сжатие тензора » выше:${\displaystyle \{u_{i}\}}$${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$

Из этого результата следует

${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$

который автоматически дает важный факт , что образует основу , где есть основания U и V .${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$${\displaystyle U\otimes V}$${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

Кроме того, для трех векторных пространств U , V , W тензорное произведение связано с векторным пространством всех линейных отображений следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$

Это пример сопряженных функторов : тензорное произведение «сопряжено слева» к Hom.

Тензорные произведения модулей над кольцом [ править ]

Тензорное произведение двух модулей A и B над коммутативным кольцом R определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем:

${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$

где теперь F ( A × B ) - свободный R -модуль, порожденный декартовым произведением, а G - R -модуль, порожденный теми же соотношениями, что и выше .

В более общем смысле тензорное произведение может быть определено, даже если кольцо некоммутативно . В этом случае A должен быть правым R -модулем, а B - левым R -модулем, и вместо двух последних соотношений, приведенных выше, соотношение

${\displaystyle (ar,b)-(a,rb)}$

навязывается. Если R некоммутативен, это уже не R -модуль, а просто абелева группа .

Универсальное свойство также сохраняется, но с небольшими изменениями: отображение φ  : A × B → A ⊗ _R B, определенное как ( a , b ) ↦ a ⊗ b, является средним линейным отображением (называемым «каноническим средним линейным отображением»). ^[9] ); то есть удовлетворяет: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (a+a',b)&=\phi (a,b)+\phi (a',b)\\\phi (a,b+b')&=\phi (a,b)+\phi (a,b')\\\phi (ar,b)&=\phi (a,rb)\end{aligned}}}$

Первые два свойства делают φ билинейной карты абелевой группы × B . Для любого среднего линейного отображения ψ группы A × B единственный групповой гомоморфизм f группы A ⊗ _R B удовлетворяет условию ψ = f ∘ φ , и это свойство определяется внутри группового изоморфизма. Подробности смотрите в основной статье . ${\displaystyle \phi }$

Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом [ править ]

Пусть A - правый R -модуль, а B - левый R -модуль. Тогда тензорное произведение A и B является абелевой группой, определяемой формулой

${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$

где - свободная абелева группа над и G - подгруппа в, порожденная отношениями${\displaystyle F(A\times B)}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle F(A\times B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,\forall r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$

Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть G - абелева группа с билинейным отображением в том смысле, что${\displaystyle q:A\times B\to G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$

Тогда есть уникальная карта такая, что для всех и .${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$

Кроме того, мы можем задать структуру модуля при некоторых дополнительных условиях:${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. Если A - ( S , R ) -бимодуль, то - левый S -модуль, где .${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$
2. Если B - ( R , S ) -бимодуль, то является правым S -модулем, где .${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$
3. Если A - ( S , R ) -бимодуль, а B - ( R , T ) -бимодуль, то это ( S , T ) -бимодуль, в котором левое и правое действия определены так же, как и предыдущие два. Примеры.${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. Если R - коммутативное кольцо, то A и B - ( R , R ) -бимодули, где и . По 3) можно заключить, что это ( R , R ) -бимодуль.${\displaystyle ra:=ar}$${\displaystyle br:=rb}$${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Вычисление тензорного произведения [ править ]

Для векторных пространств тензорное произведение V ⊗ W вычисляется быстро, поскольку базисы V из W сразу определяют базис V ⊗ W , как упоминалось выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z / n Z не является свободной абелевой группой ( Z -модулем). Тензорное произведение с Z / n Z имеет вид

${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$

В более общем плане, если дано представление некоторого R -модуля M , то есть ряда генераторов m _i ∈ M , i ∈ I вместе с соотношениями

${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$

тензорное произведение можно вычислить как следующее коядро :

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$

Здесь N ^J = ⨁ _{J ∈ J} N , и отображение Н ^J → Н ^Я определяются путем посылки некоторого п ∈ N в J - е копии N ^J в виде _джи  н (в N ^I ). Colloquially, это можно перефразировать, сказав , что презентация М приводит к представлению M ⊗ _R N . Об этом говорят, говоря, что тензорное произведение является точным правым функтором. Вообще говоря, он не является точным слева, т. Е. При инъективном отображении R -модулей M ₁ → M ₂ тензорное произведение

${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$

обычно не является инъективным. Например, тензорное отображение (инъективного) отображения, заданного умножением на n , n  : Z → Z на Z / n Z, дает нулевое отображение 0: Z / n Z → Z / n Z , которое не является инъективным. Высшие функторы Tor измеряют дефект тензорного произведения, не являющегося точным слева. Все высшие функторы Tor собраны в производное тензорное произведение .

Тензорное произведение алгебр [ править ]

Пусть R - коммутативное кольцо. Тензорное произведение R -модулей применимо, в частности, если A и B являются R -алгебрами . В этом случае тензорное произведение A ⊗ _R B само является R -алгеброй, если положить

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$

Например,

${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$

Конкретный пример, когда и B являются поля , содержащих общий подпол R . Тензорное произведение полей тесно связана с теорией Галуа : если, скажем, = Р [ х ] / е ( х ) , где е некоторый неприводимый многочлен с коэффициентами в R , тензор продукт может быть вычислена как

${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$

где сейчас F интерпретируется как же полинома, но с его коэффициентами , рассматриваемые как элементы B . В более широком поле B полином может стать приводимым, что приводит к теории Галуа. Например, если = B является расширение Галуа из R , то,

${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$

изоморфна (как A -алгебра) A ^{deg ( f )} .

Собственные конфигурации тензоров [ править ]

Квадратные матрицы с элементами из поля представляют собой линейные карты из векторных пространств , скажем , и , таким образом , линейные карты из проективных пространств над . Если это неособо , то есть четко определенные везде, и собственные векторы из соответствуют фиксированным точкам . Eigenconfiguration из состоит из точек , при условии , носит общий характер и является алгебраически замкнутым . Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Позволять${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$быть -мерном тензором формата с элементами , лежащих в алгебраически замкнутом поле с характерным нулем. Такой тензор определяет полиномиальные отображения и с координатами${\displaystyle d}$${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},...,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,...,n}$

Таким образом, каждая из координат является однородным многочленом степени in . Собственные векторы являются решениями ограничения${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$

и eigenconfiguration дается разнообразием из миноров этой матрицы. ^[11]${\displaystyle 2\times 2}$

Другие примеры тензорных произведений [ править ]

Тензорное произведение гильбертовых пространств [ править ]

Гильбертовы пространства обобщают конечномерные векторные пространства до счетно-бесконечных измерений. Тензорное произведение все еще определено; это тензорное произведение гильбертовых пространств .

Топологическое тензорное произведение [ править ]

Когда базис для векторного пространства больше не является счетным, тогда подходящей аксиоматической формализацией для векторного пространства является топологическое векторное пространство . Тензорное произведение все еще определено, это топологическое тензорное произведение .

Тензорное произведение градуированных векторных пространств [ править ]

Некоторые векторные пространства можно разложить на прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств можно разложить на суммы произведений подпространств (аналогично тому, как умножение распределяется по сложению).

Тензорное произведение представлений [ править ]

Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами . Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда – Ричардсона .

Тензорное произведение квадратичных форм [ править ]

Тензорное произведение полилинейных форм [ править ]

Для двух полилинейных форм и в векторном пространстве над полем их тензорное произведение есть полилинейная форма${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$^[12]

Это частный случай произведения тензоров, если они рассматриваются как полилинейные карты (см. Также тензоры как полилинейные карты ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью произведения Кронекера .

Тензорное произведение связок модулей [ править ]

Тензорное произведение линейных пучков [ править ]

Тензорное произведение полей [ править ]

Тензорное произведение графов [ править ]

Следует отметить, что, хотя это и называется «тензорным произведением», это не тензорное произведение графов в указанном выше смысле; фактически это теоретико-категориальный продукт в категории графов и гомоморфизмов графов . Однако на самом деле тензорное произведение Кронекера из матрицы смежности графов. Сравните также раздел Тензорное произведение линейных карт выше.

Моноидальные категории [ править ]

Наиболее общая настройка тензорного произведения - это моноидальная категория . Он отражает алгебраическую сущность тензора без каких-либо конкретных ссылок на то, что подвергается тензору. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как приложение моноидальной категории к некоторой конкретной установке, действующей на некоторые конкретные объекты.

Факторные алгебры [ править ]

Ряд важных подпространств тензорной алгебры можно построить дроби : они включают в себя внешнюю алгебру , то симметричную алгебру , то алгебру Клиффорд , то алгебру Вейля , и универсальные обертывающую в целом.

Внешняя алгебра строится из внешнего продукта . Для векторного пространства V внешний продукт определяется как${\displaystyle V\wedge V}$

${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V/\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$

Обратите внимание, что когда основное поле V не имеет характеристики 2, это определение эквивалентно

${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}\}.}$

Изображение во внешнем продукте обычно обозначается и удовлетворяет, по построению . Подобные конструкции возможны для ( п факторов), что приводит к , то п - й внешней степени из V . Последнее понятие лежит в основе дифференциальных n -форм .${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}}$${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$

Симметрическая алгебра строится аналогично из симметричного произведения

${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}\}.}$

В более общем смысле

${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}/(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$

То есть в симметрической алгебре два соседних вектора (а значит, и все) можно поменять местами. Полученные объекты называются симметричными тензорами .

Тензорный продукт в программировании [ править ]

Языки программирования массивов [ править ]

В языках программирования массивов этот шаблон может быть встроен. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.×(например, A ○.× Bили A ○.× B ○.× C). В J тензорное произведение - это диадическая форма */(например, a */ bили a */ b */ c).

Обратите внимание , что лечение J также допускает представление некоторых тензорных полей, aи bможет быть функции вместо константы. Это произведение двух функций является производной функции, а если aи bявляются дифференцируема , то a */ bдифференцируема.

Однако такие нотации не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки массивов могут требовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и / или могут не поддерживать функции более высокого порядка, такие как производная Якоби (например, Fortran / APL).

См. Также [ править ]

Поищите тензорное произведение в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Диадическое произведение
• Расширение скаляров
• Моноидальная категория  - Категория, допускающая тензорные произведения
• Тензорная алгебра  - Универсальная конструкция в полилинейной алгебре
• Тензорное сжатие
• Топологическое тензорное произведение  - конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств

Примечания [ править ]