Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о частных векторных пространств. О факторах топологических пространств см. Факторное пространство (топология) .

В линейной алгебре , то фактор из векторного пространства V с помощью подпространства N является векторным пространством получено «разрушающегося» N к нулю. Полученное пространство называется фактор-пространством и обозначается V / N (читай V mod N или V через N ).

Определение [ править ]

Формально конструкция выглядит следующим образом. [1] Пусть V является векторное пространство над полем К , и пусть N будет подпространство в V . Определим отношение эквивалентности ~ на V , заявив , что х ~ у , если х  -  у ∈ N . То есть, х имеет отношение к у , если один может быть получено из другого путем добавления элемента N . Из этого определения можно вывести, что любой элемент Nотносится к нулевому вектору; точнее, все векторы из N отображаются в класс эквивалентности нулевого вектора.

Класс эквивалентности (или, в данном случае, смежный класс ) элемента x часто обозначается

[ x ] = x + N

поскольку это дается

[ x ] = { x + n  : n ∈ N }.

Факторпространство V / N затем определяется как V / ~, множество всех классов эквивалентности над V посредством ~. Скалярное умножение и сложение определены в классах эквивалентности [2] [3]

  • α [ x ] = [α x ] для всех α ∈ K и
  • [ x ] + [ y ] = [ x + y ].

Нетрудно проверить, что эти операции четко определены (т.е. не зависят от выбора представителя). Эти операции превращают фактор-пространство V / N в векторное пространство над K, где N является нулевым классом [0].

Отображение, которое ставит в соответствие v  ∈  V класс эквивалентности [ v ], называется фактор-отображением .

В качестве альтернативы формулировки, фактор - пространство есть множество всех аффинных подмножеств из которых параллельно с . [4]

Примеры [ править ]

Пусть X  =  R 2 быть стандартной декартовой плоскости, и пусть Y быть линией , проходящей через начало координат в X . Тогда фактор - пространство X / Y можно отождествить с пространством всех линий в X , которые параллельны Y . То есть элементы множества X / Y являются прямыми в X, параллельными Y. Обратите внимание, что точки вдоль любой такой прямой будут удовлетворять отношению эквивалентности, потому что их векторы разности принадлежат Y. Это дает один из способов геометрической визуализации факторных пространств. (Повторно параметризуя эти линии, факторное пространство можно более условно представить как пространство всех точек вдоль линии, проходящей через начало координат, которая не параллельна Y. Аналогично, факторное пространство для R 3 по линии, проходящей через начало координат, может снова быть представлен как набор всех параллельных линий, или, альтернативно, быть представлен как векторное пространство, состоящее из плоскости, которая пересекает линию только в начале координат.)

Другой пример - частное R n по подпространству, натянутому на первые m стандартных базисных векторов. Пространство R n состоит из всех n наборов действительных чисел ( x 1 ,…, x n ). Подпространство, отождествляемое с R m , состоит из всех n -элементов таких, что последние nm элементов равны нулю: ( x 1 ,…, x m , 0,0,…, 0). Два вектора из R n находятся в одном классе сравнения по модулю подпространства тогда и только тогда, когда они идентичны в последних n- координаты m . Фактор - пространство R н / R м является изоморфными с R п - т очевидным образом.

В более общем смысле, если V является (внутренней) прямой суммой подпространств U и W,

то фактор - пространство V / U является естественно изоморфен к W . [5]

Важный пример функционального фактор - пространства является Ь р пространство .

Свойства [ править ]

Существует естественный эпиморфизм из V в фактор-пространство V / U, заданный переводом x в его класс эквивалентности [ x ]. Ядро (или нуль - пространство) этот эпиморфизм является подпространство U . Эти отношения аккуратно резюмируются короткой точной последовательностью

Если U является подпространством V , в размерности из V / U называется Коразмерность из U в V . Так как базис V может быть построен из базиса А из U и базис B из V / U путем добавления представителя каждого элемента B к A , размерность V является суммой размеров U и V / U . Если V естьконечномерным , отсюда следует, что коразмерность U в V - это разница между размерностями V и U : [6] [7]

Пусть T  : V → W - линейный оператор . Ядро Т , обозначается кег ( Т ), является множество всех х ∈ V такой , что Тх = 0. ядра является подпространством V . Первая теорема изоморфизмом линейной алгебры говорит о том , что фактор - пространство V / кег ( Т ) изоморфна образу V в W . Непосредственным следствием для конечномерных пространств является теорема ранга – нули : размерность Vравно размерности ядра (The дефектность из T ) плюс размерность изображения ( ранг из Т ).

Коядро линейного оператора T  : V → W определяется как фактор - пространство Ш / Im ( T ).

Фактор банахова пространства по подпространству [ править ]

Если X - банахово пространство, а M - замкнутое подпространство X , то фактор- пространство X / M снова является банаховым пространством. Фактор-пространство уже наделено структурой векторного пространства в результате построения предыдущего раздела. Определим норму на X / M следующим образом:

Когда X полно, то фактор - пространство X / M является полным по отношению к норме, и , следовательно , в банаховом пространстве. [ необходима цитата ]

Примеры [ править ]

Обозначим через C [0,1] банахово пространство непрерывных вещественнозначных функций на отрезке [0,1] с sup нормой . Обозначим через M подпространство всех функций f ∈ C [0,1] с f (0) = 0 . Тогда класс эквивалентности некоторой функции г определяется ее значением при 0, и фактор - пространство С [0,1] /  М изоморфна R .

Если X является гильбертово пространство , то фактор - пространство X / M изоморфна ортогонального дополнения в М .

Обобщение на локально выпуклые пространства [ править ]

Фактор локально выпуклого пространства по замкнутому подпространству снова является локально выпуклым. [8] Действительно, предположим, что X локально выпукло, так что топология на X порождается семейством полунорм { p α  | α ∈  A }, где A - индексное множество. Пусть M - замкнутое подпространство, и определим полунормы q α на X / M формулой

Тогда X / M - локально выпуклое пространство, и топология на нем является фактор-топологией .

Если, кроме того, Х является метризуемым , то и Х / М . Если X - пространство Фреше , то X / M тоже . [9]

См. Также [ править ]

  • Факторная группа
  • Модуль частных
  • Набор частных
  • Факторное пространство (топология)

Ссылки [ править ]

  1. ^ Халмош (1974) стр. 33-34 §§ 21-22
  2. ^ Кацнельсон и Кацнельсон (2008) стр. 9 § 1.2.4
  3. ^ Роман (2005) стр. 75-76, гл. 3
  4. ^ Axler (2015) стр. 95, § 3.83
  5. ^ Халмош (1974) р. 34, § 22, теорема 1
  6. ^ Axler (2015) стр. 97, § 3.89
  7. ^ Халмош (1974) р. 34, § 22, теорема 2
  8. ^ Дьедонне (1976) стр. 65, § 12.14.8
  9. ^ Дьедонне (1976) стр. 54, § 12.11.3

Источники [ править ]

  • Акслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделано правильно . Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Дьедонне, Жан (1976), Трактат по анализу , 2 , Academic Press , ISBN 978-0122155024
  • Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
  • Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.