Коразмерность

В математике , Коразмерность является основной геометрической мыслью , что относится и к подпространствам в векторных пространствах , на подмногообразие в многообразиях и подходящие подмножества из алгебраических многообразий .

Для аффинных и проективных алгебраических многообразий коразмерность равна высоте определяющего идеала . По этой причине высоту идеала часто называют его коразмерностью.

Двойственное понятие - относительное измерение .

Определение [ править ]

Коразмерность - понятие относительное : оно определено только для одного объекта внутри другого. Существует нет «Коразмерность векторного пространства (в изоляции)», только Коразмерность вектора к югу пространства.

Если W представляет собой линейное подпространство из конечномерного векторного пространства V , то Коразмерность из W в V представляет собой разность между размерами:

${\ displaystyle \ operatorname {codim} (W) = \ dim (V) - \ dim (W).}$

Это дополнение к размерности W в том смысле, что вместе с размерностью W она складывается с размерностью окружающего пространства V:

${\ displaystyle \ dim (W) + \ operatorname {codim} (W) = \ dim (V).}$

Аналогично, если N - подмногообразие или подмногообразие в M , то коразмерность N в M равна

${\ displaystyle \ operatorname {codim} (N) = \ dim (M) - \ dim (N).}$

Так же, как размерность подмногообразия - это размерность касательного расслоения (количество измерений, которые вы можете перемещать на подмногообразии), коразмерность - это размерность нормального расслоения (количество измерений, которые вы можете переместить с подмногообразия).

В более общем смысле , если W представляет собой линейное подпространство из (возможно , бесконечномерным) векторного пространства V , то коразмерность W в V размерность (возможно бесконечное) в фактор - пространство V / W , которое более абстрактно известный как коядром из включение. Для конечномерных векторных пространств это согласуется с предыдущим определением

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),}$

и двойственна относительной размерности как размерности ядра .

Конечно-коразмерные подпространства бесконечномерных пространств часто полезны при изучении топологических векторных пространств .

Аддитивность коразмерности и подсчета размерностей [ править ]

Основное свойство коразмерности заключается в ее связи с пересечением : если W ₁ имеет коразмерность k ₁ , а W ₂ имеет коразмерность k ₂ , то если U является их пересечением с коразмерностью j, то

Макс ( К ₁ , К ₂ ) ≤ Дж ≤ К ₁ + К ₂ .

Фактически j может принимать любое целочисленное значение в этом диапазоне. Это утверждение более наглядно, чем перевод с точки зрения измерений, потому что RHS - это просто сумма коразмерностей. Прописью

коразмерности (не более) доп .

Если подпространства или подмногообразия пересекаются трансверсально (что происходит в общем случае ), коразмерности складываются точно.

Это утверждение называется подсчетом размерностей, особенно в теории пересечений .

Двойное толкование [ править ]

Что касается двойного пространства , совершенно очевидно, почему прибавляются размеры. Подпространства могут быть определены обращением в нуль некоторого числа линейных функционалов , которые, если мы примем линейно независимыми , их число является коразмерностью. Следовательно, мы видим, что U определяется путем объединения наборов линейных функционалов, определяющих W _i . Это объединение может ввести некоторую степень линейной зависимости : возможные значения jвыражают эту зависимость, причем сумма RHS соответствует случаю, когда зависимости нет. Это определение коразмерности в терминах числа функций, необходимых для вырезания подпространства, распространяется на ситуации, в которых как объемлющее пространство, так и подпространство бесконечномерны.

На другом языке, который является основным для любой теории пересечений , мы берем объединение определенного количества ограничений . У нас есть два явления, на которые следует обратить внимание:

1. два набора ограничений не могут быть независимыми;
2. два набора ограничений могут быть несовместимы.

Первый из них часто выражается как принцип подсчета ограничений : если мы имеем число N из параметров для настройки (т.е. мы имеем N степеней свободы ), а также ограничение означает , мы должны «потреблять» параметр , чтобы удовлетворить его, то коразмерность множества решений является не более чем количество ограничений. Мы не ожидаем , чтобы быть в состоянии найти решение , если предсказанное Коразмерность, то есть число независимых ограничений, превышает N (в линейной алгебре случае, всегда есть тривиальный , нулевой вектор решение, поэтому сбрасывать со счетов).

Второй - вопрос геометрии, на модели параллельных прямых ; это то, что может обсуждаться для линейных задач методами линейной алгебры, а для нелинейных задач в проективном пространстве - над полем комплексных чисел .

В геометрической топологии [ править ]

Коразмерность также имеет ясный смысл в геометрической топологии : на многообразии коразмерность 1 - это размерность топологической несвязности подмногообразием, а коразмерность 2 - это размерность ветвления и теории узлов . Фактически, теория многомерных многообразий, которая начинается с размерности 5 и выше, альтернативно можно сказать, что она начинается с коразмерности 3, потому что более высокие коразмерности избегают явления узлов. Поскольку теория хирургии требует проработки до среднего измерения, как только человек попадает в измерение 5, коразмерность среднего измерения больше 2, и, следовательно, можно избежать узлов.

Это замечание не лишено смысла: изучение вложений в коразмерности 2 является теорией узлов и сложно, в то время как изучение вложений в коразмерности 3 или более поддается инструментам геометрической топологии большой размерности и, следовательно, значительно проще.

См. Также [ править ]

• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии

Ссылки [ править ]

• "Коразмерность" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]