В коммутативной алгебре , то размерность Крулля из коммутативной кольца R , названной в честь Вольфганга Крулля , является гранью длин всех цепочек простых идеалов . Размерность Крулля не обязательно должна быть конечной даже для нётерова кольца . В более общем смысле размерность Крулля может быть определена для модулей над возможно некоммутативными кольцами как отклонение ч.у. множества подмодулей.
Размерность Крулля была введена , чтобы обеспечить алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия : размерность аффинного многообразия , определенное идеальный I в кольце полиномов R является размерностью Крулля R / I .
Поле к имеет размерность Крулля 0; в более общем случае k [ x 1 , ..., x n ] имеет размерность Крулля n . Основной домен идеала , который не является поле имеет размерность Крулля 1. локальное кольца имеет размерность Крулль 0 тогда и только тогда , когда каждый элемент его максимальный идеал нильпотентен.
Существует несколько других способов определения размера кольца. Большинство из них совпадают с размерностью Крулля для нётеровых колец, но могут отличаться для нётеровых колец.
Объяснение
Мы говорим, что цепочка простых идеалов вида имеет длину n . То есть длина - это количество строгих включений, а не количество простых чисел; они отличаются на 1. Определим размерность Крулля из быть супремумом длин всех цепочек простых идеалов в .
Учитывая простое в R определимвысота от, написано , как супремум длин всех цепочек простых идеалов, содержащихся в , означающий, что . [1] Другими словами, высотаразмерность Крулля локализации из R в. Простой идеал имеет нулевую высоту тогда и только тогда, когда он является минимальным простым идеалом . Размерность Крулля кольца - это верхняя грань высот всех максимальных идеалов или всех простых идеалов. Высота также иногда называется коразмерностью, рангом или высотой простого идеала.
В нётеровом кольце каждый первичный идеал имеет конечную высоту. Тем не менее, Нагата привел пример нетеровского кольца бесконечного измерения Крулля. [2] Кольцо называется цепным, если любое включение простых идеалов можно продолжить до максимальной цепочки простых идеалов между а также , и любые две максимальные цепи между а также иметь одинаковую длину. Кольцо называется универсально цепным, если любая конечно порожденная алгебра над ним цепная. Нагата привел пример нётерского кольца, которое не является цепной цепью. [3]
В нётеровом кольце первичный идеал имеет высоту не больше n тогда и только тогда, когда он является минимальным первичным идеалом над идеалом, порожденным n элементами ( теорема Крулля о высоте и ее обратное). [4] Отсюда следует, что условие убывающей цепи выполняется для простых идеалов таким образом, что длины цепей, спускающихся из простого идеала, ограничены числом образующих простого. [5]
В более общем плане , высота идеального I инфимуму высот всех простых идеалов , содержащих I . На языке алгебраической геометрии это коразмерность подмногообразия в Spec () , Соответствующие I . [6]
Схемы
Из определения спектра кольца Spec ( R ), пространства первичных идеалов кольца R, снабженного топологией Зарисского, легко следует , что размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, т. Е. супремум длин всех цепочек неприводимых замкнутых подмножеств. Это непосредственно следует из связи Галуа между идеалами в R и замкнутыми подмножествами в Spec ( R ) и наблюдения, что по определению Spec ( R ) каждый простой идеализ R соответствует общей точке замкнутого подмножества , связанной с связью Галуа.
Примеры
- Размерность кольца многочленов над полем k [ x 1 , ..., x n ] - это количество переменных n . На языке алгебраической геометрии это означает, что аффинное пространство размерности n над полем имеет размерность n , как и ожидалось. В общем, если R - нётерово кольцо размерности n , то размерность R [ x ] равна n + 1. Если нётерова гипотеза отброшена, то R [ x ] может иметь размерность где угодно между n + 1 и 2 n + 1.
- Например, идеальный имеет высоту 2, так как мы можем образовать максимальную возрастающую цепочку простых идеалов.
- Для неприводимого многочлена , идеал не является простым (поскольку , но ни один из факторов не является), но мы можем легко вычислить высоту, поскольку наименьший простой идеал, содержащий просто .
- Кольцо целых чисел Z имеет размерность 1. В общем, любая область главных идеалов , не являющаяся полем, имеет размерность 1.
- Область целостности является полем тогда и только тогда , когда ее размерность Крулля равна нулю. Дедекиндовы домены , не являющиеся полями (например, кольца дискретной оценки ), имеют размерность один.
- Размерность Крулля нулевого кольца обычно определяется как или же . Нулевое кольцо - единственное кольцо с отрицательным размером.
- Кольцо артиново тогда и только тогда, когда оно нётерово и его размерность Крулля ≤0.
- Целое расширение кольца имеет тот же размер, что и кольцо.
- Пусть R - алгебра над полем k, которое является областью целостности. Тогда размерность Крулля кольца R меньше или равна степени трансцендентности поля частных R над k . [7] Равенство выполняется, если R конечно порождена как алгебра (например, по лемме Нётер о нормализации ).
- Пусть R - нётерово кольцо, I - идеал ибыть в ассоциированном градуированное кольце (геометры называют это кольцом нормального конуса от I ) . Тогдаэто верхняя грань высот максимальных идеалов R , содержащих I . [8]
- Коммутативное нётерово кольцо нулевой размерности Крулля является прямым произведением конечного числа (возможно, одного) локальных колец нулевой размерности Крулля.
- Нётерово локальное кольцо называется кольцом Коэна – Маколея, если его размерность равна его глубине . Регулярное локальное кольцо является примером такого кольца.
- Нетерово область целостности является однозначным разложением на множители , если и только если каждый высоту 1 идеал является главным. [9]
- Для коммутативного нётерова кольца три следующих условия эквивалентны: быть редуцированным кольцом нулевой размерности Крулля, быть полем или прямым произведением полей, быть регулярным по фон Нейману .
Модуля
Если R является коммутативным кольцом, и М представляет собой R - модуль, мы определяем размерность Крулля M быть размерностью Крулля фактора- R делает M точный модуль . То есть определяем его формулой:
где Энн Р ( М ), то аннуляторное , является ядром естественного отображения R → End R (М) R в кольцо R -линейного эндоморфизмов М .
На языке схем конечно порожденные модули интерпретируются как когерентные пучки или обобщенные векторные расслоения конечного ранга .
Для некоммутативных колец
Размерность Крулля модуля над возможно некоммутативным кольцом определяется как отклонение ч.у. подмодулей, упорядоченных по включению. Для коммутативных нётеровых колец это то же самое, что определение с использованием цепочек простых идеалов. [10] Два определения могут быть разными для коммутативных колец, которые не являются нётеровыми.
Смотрите также
- Аналитический спред
- Теория размерностей (алгебра)
- Размерность Гельфанда – Кириллова
- Функция Гильберта
- Гомологические гипотезы коммутативной алгебры
- Теорема Крулля о главном идеале
- Обычное местное кольцо
Заметки
- ↑ Мацумура, Хидеюки: «Теория коммутативных колец», стр. 30–31, 1989 г.
- ^ Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Упражнение 9.6.
- ^ Мацумура, Х. Коммутативная алгебра (1970). Бенджамин, Нью-Йорк. Пример 14.E.
- ^ Серр , гл. III, § B.2, теорема 1, следствие 4.
- ^ Эйзенбуд , следствие 10.3.
- ↑ Мацумура, Хидеюки: «Теория коммутативных колец», стр. 30–31, 1989 г.
- ^ Размерность Крулля меньше или равна степени трансцендентности?
- ^ Эйзенбад 2004 , упражнения 13,8
- ^ Хартсхорн, Робин: "Алгебраическая геометрия", стр. 7,1977
- Перейти ↑ McConnell, JC and Robson, JC Noncommutative Noetherian Rings (2001). Амер. Математика. Soc., Providence. Следствие 6.4.8.
Библиография
- Ирвинг Каплански , Коммутативные кольца (пересмотренное издание) , University of Chicago Press , 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Стр.32.
- Л.А. Бохут; Львов И.В. В.К. Харченко (1991). «I. Некоммуативные кольца». В Кострикиным, AI ; Шафаревич, И.Р. (ред.). Алгебра II . Энциклопедия математических наук. 18 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6. Раздел 4.7.
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
- П. Серр, Локальная алгебра , Монографии Спрингера по математике