В математике , то условие восходящей цепи ( ACC ) и нисходящее состояние цепи ( DCC ) являются конечность свойство удовлетворяют некоторые алгебраические структуры , наиболее важно идеалами в некоторых коммутативных кольцах . [1] [2] [3] Эти условия сыграли важную роль в развитии структурной теории коммутативных колец в работах Дэвида Гильберта , Эмми Нётер и Эмиля Артина . Сами условия можно сформулировать в абстрактной форме, чтобы они имели смысл для любогочастично заказанный комплект . Эта точка зрения полезна в абстрактной алгебраической теории размерности Габриэля и Рентшлера.
Определение [ править ]
Частично упорядоченное множество (ч.у.м.) Р называется удовлетворяет условие восходящей цепи (ACC) , если нет бесконечной строго не возрастающей последовательности
элементов P существует. [4] Аналогично, [примечание 1] каждая слабо возрастающая последовательность
элементов P в конечном итоге стабилизируется, что означает, что существует натуральное число n такое, что
Аналогичным образом , Р называется удовлетворяют условию минимальности (DCC) , если не существует бесконечная убывающая цепочка элементов P . [4] Аналогично, каждая слабо убывающая последовательность
элементов P в конечном итоге стабилизируется.
Комментарии [ редактировать ]
- Если предположить , что аксиомой зависимого выбора , условие минимальности на (возможно , бесконечный) посета P эквивалентно P быть обоснованным : каждое непустое подмножество Р имеет минимальный элемент (также называемый минимальное условие или минимальное условие ). Упорядоченное множество , хорошо обоснованный является вполне упорядоченным множеством .
- Точно так же условие возрастающей цепочки эквивалентно тому, что P является обратимым хорошо обоснованным (опять же, предполагая зависимый выбор): каждое непустое подмножество P имеет максимальный элемент ( условие максимума или условие максимума ).
- Каждый конечный уп удовлетворяет условиям как восходящей, так и нисходящей цепочки, и, таким образом, является хорошо обоснованным и обратное хорошо обоснованным.
Пример [ править ]
Рассмотрим кольцо
целых чисел. Каждый идеал состоит из всех кратных некоторого числа . Например, идеальный
состоит из всех кратных . Позволять
быть идеалом, состоящим из всех кратных . Идеал содержится внутри идеала , поскольку каждое кратное также является кратным . В свою очередь, идеал содержится в идеале , поскольку каждое кратное кратно . Однако на данный момент нет большего идеала; мы достигли максимума .
В общем, если есть идеалы такого, что содержится в , содержится в и т. Д., То есть такие, для которых все . То есть через какой-то момент все идеалы становятся равны друг другу. Следовательно, идеалы удовлетворяют условию возрастающей цепи, где идеалы упорядочены по включению множества. Следовательно , нетерово кольцо .
См. Также [ править ]
- Артиниан
- Условие возрастающей цепочки главных идеалов
- Измерение Крулля
- Максимальное условие на сравнения
- Нётерян
Заметки [ править ]
- ^ Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует восходящая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что он содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность. Обратите внимание, что доказательство не использует в полной мере выбранную аксиому. [ требуется разъяснение ]
Ссылки [ править ]
- Атья, MF , и IG MacDonald, Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Михиль Хазевинкель , Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Kluwer Academic Publishers , 2004. ISBN 1-4020-2690-0.
- Джон Б. Фрали, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры . Издательство Эддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3
- Натан Джейкобсон . Базовая алгебра И. Довер, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
Внешние ссылки [ править ]
- «Является ли эквивалентность условия восходящей цепи и условия максимума аксиоме зависимого выбора?» .