Измерение Крулля

В коммутативной алгебре , то размерность Крулля из коммутативной кольца R , названной в честь Вольфганга Крулля , является гранью длин всех цепочек простых идеалов . Размерность Крулля не обязательно должна быть конечной даже для нетерова кольца . В более общем смысле размерность Крулля может быть определена для модулей над возможно некоммутативными кольцами как отклонение ч.у. подмодулей.

Размерность Крулля была введена , чтобы обеспечить алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия : размерность аффинного многообразия , определенное идеальный I в кольце полиномов R является размерностью Крулля R / I .

Поле к имеет размерность Крулля 0; в более общем случае k [ x ₁ , ..., x _n ] имеет размерность Крулля n .

Есть несколько других способов, которые использовались для определения размера кольца. Большинство из них совпадают с размерностью Крулля для нётеровых колец, но могут отличаться для нётеровых колец.

Объяснение [ править ]

Мы говорим, что цепь простых идеалов вида имеет длину n . То есть длина - это количество строгих включений, а не количество простых чисел; они отличаются на 1. Определим размерность Крулля от быть супремумом длин всех цепочек простых идеалов .${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ ldots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Учитывая простое в R , мы определяем высоту от , написанном , чтобы верхняя грань длин всех цепочек простых идеалов , содержащихся в , а это означает , что . ^[1] Другими словами, высота размерность Крулля локализации из R в . Простой идеал имеет нулевую высоту тогда и только тогда, когда он является минимальным простым идеалом . Размерность Крулля кольца - это верхняя грань высот всех максимальных идеалов или всех простых идеалов. Высота также иногда называется коразмерностью, рангом или высотой простого идеала. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

В нётеровом кольце каждый первичный идеал имеет конечную высоту. Тем не менее, Нагата привел пример нетеровского кольца бесконечного измерения Крулля. ^[2] Кольцо называется цепным, если любое включение простых идеалов может быть расширено до максимальной цепи простых идеалов между и , и любые две максимальные цепи между и имеют одинаковую длину. Кольцо называется универсально цепным, если любая конечно порожденная алгебра над ним цепная. Нагата привел пример нётерского кольца, которое не является цепной. ^[3]${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

В нётеровом кольце простой идеал имеет высоту не больше n тогда и только тогда, когда он является минимальным простым идеалом над идеалом, порожденным n элементами ( теорема Крулля о высоте и ее обратное). ^[4] Отсюда следует, что условие убывающей цепочки выполняется для простых идеалов таким образом, что длины цепей, спускающихся из простого идеала, ограничены числом образующих простого. ^[5]

В более общем плане , высота идеального I инфимуму высот всех простых идеалов , содержащих I . На языке алгебраической геометрии , это Коразмерность из подмногообразию Spec ( ) , соответствующий I . ^[6]${\displaystyle R}$

Схемы [ править ]

Из определения спектра кольца Spec ( R ), пространства первичных идеалов кольца R, снабженного топологией Зарисского, легко следует , что размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, т. Е. супремум длин всех цепочек неприводимых замкнутых подмножеств. Это вытекает непосредственно из связи Галуа между идеалами R и замкнутыми подмножествами Spec ( R ) и наблюдением , что, по определению Spec ( R ), каждый простой идеал из R соответствует общей точке замкнутого подмножества , связанной с${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ связью Галуа.

Примеры [ править ]

• Размерность кольца многочленов над полем k [ x ₁ , ..., x _n ] - это количество переменных n . На языке алгебраической геометрии это означает, что аффинное пространство размерности n над полем имеет размерность n , как и ожидалось. В общем, если R - нётерово кольцо размерности n , то размерность R [ x ] равна n + 1. Если нётерова гипотеза отброшена, то R [ x ] может иметь размерность где угодно междуп + 1 и 2 п + 1.
• Например, идеал имеет высоту 2, так как мы можем образовать максимальную возрастающую цепочку простых идеалов .${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle (0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}}$
• Для неприводимого многочлена идеал не является простым (поскольку , но ни один из факторов не является), но мы можем легко вычислить высоту, поскольку наименьший содержащий простой идеал равен .${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle I=(f^{3})}$${\displaystyle f\cdot f^{2}\in I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (f)}$
• Кольцо целых чисел Z имеет размерность 1. Вообще говоря, любая область главных идеалов , не являющаяся полем, имеет размерность 1.
• Область целостности является полем тогда и только тогда , когда ее размерность Крулля равна нулю. Дедекиндовы домены , не являющиеся полями (например, кольца дискретной оценки ), имеют размерность один.
• Размерность Крулля нулевого кольца обычно определяется как или . Нулевое кольцо - единственное кольцо с отрицательным размером.${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -1}$
• Кольцо артиново тогда и только тогда, когда оно нётерово и его размерность Крулля ≤0.
• Целое расширение кольца имеет ту же размерность , как кольцо делает.
• Пусть R - алгебра над полем k, которое является областью целостности. Тогда размерность Крулля кольца R меньше или равна степени трансцендентности поля частных R над k . ^[7] Равенство выполняется, если R конечно порождена как алгебра (например, по лемме Нётер о нормализации ).
• Пусть R нетеров кольцо, я идеал и быть в ассоциированном градуированное кольце (геометры называют это кольцом нормального конуса от I ) . Затем это грань высот максимальных идеалов R , содержащих I . ^[8]${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}}$${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)}$
• Коммутативное нётерово кольцо нулевой размерности Крулля является прямым произведением конечного числа (возможно, одного) локальных колец нулевой размерности Крулля.
• Нётерово локальное кольцо называется кольцом Коэна – Маколея, если его размерность равна его глубине . Регулярное локальное кольцо является примером такого кольца.
• Нетерово область целостности является однозначным разложением на множители , если и только если каждый высоту 1 идеал является главным. ^[9]
• Для коммутативного нётерова кольца три следующих условия эквивалентны: быть редуцированным кольцом нулевой размерности Крулля, быть полем или прямым произведением полей, быть регулярным по фон Нейману .

Модуля [ править ]

Если R является коммутативным кольцом, и М представляет собой R - модуль, мы определяем размерность Крулля M быть размерностью Крулля фактора- R делает M точный модуль . То есть определяем его формулой:

${\displaystyle \operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}$

где Энн _Р ( М ), то аннуляторное , является ядром естественного отображения R → End _R (М) R в кольцо R -линейного эндоморфизмов М .

На языке схем конечно порожденные модули интерпретируются как когерентные пучки или обобщенные векторные расслоения конечного ранга .

Для некоммутативных колец [ править ]

Размерность Крулля модуля над возможно некоммутативным кольцом определяется как отклонение ч.у.м. подмодулей, упорядоченных по включению. Для коммутативных нётеровых колец это то же самое, что определение с использованием цепочек простых идеалов. ^[10] Два определения могут быть разными для коммутативных колец, которые не являются нётеровыми.

См. Также [ править ]

• Аналитический спред
• Теория размерностей (алгебра)
• Размерность Гельфанда – Кириллова
• Функция Гильберта
• Гомологические гипотезы коммутативной алгебры
• Теорема Крулля о главном идеале
• Обычное местное кольцо

Примечания [ править ]

Библиография [ править ]

• Ирвинг Каплански , Коммутативные кольца (пересмотренное издание) , University of Chicago Press , 1974, ISBN  0-226-42454-5 . Стр.32.
• Л.А. Бохут; Львов И.В. В.К. Харченко (1991). «I. Некоммуативные кольца». В Кострикиным, AI ; Шафаревич, И.Р. (ред.). Алгебра II . Энциклопедия математических наук. 18 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6. Раздел 4.7.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics , 150 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• П. Серр, Локальная алгебра , Монографии Спрингера по математике