Контактное кольцо

В математике , А коммутативное кольцо R является контактной сетью , если для любой пары простых идеалов

р , д ,

любые две строго возрастающие цепочки

p = p ₀ ⊂ p ₁ ... ⊂ p _n = q простых идеалов

содержатся в максимальных строго возрастающих цепях от p до q одинаковой (конечной) длины. В геометрической ситуации, когда размерность алгебраического многообразия, связанного с первичным идеалом, будет уменьшаться по мере того, как первичный идеал становится больше, длина такой цепочки n обычно равна разнице в размерах.

Кольцо называется универсально цепным, если все конечно порожденные алгебры над ним являются цепными кольцами.

Слово «цепочка» происходит от латинского слова « катена» , что означает «цепь».

Существует следующая цепочка включений.

Универсально катенарных кольца ⊃ Коэн-Маколея кольца ⊃ горенштейновых кольца ⊃ полное пересечения кольца ⊃ регулярные локальные кольца

Формула измерения [ править ]

Предположим , что является нетеровым домена и В представляет собой область , содержащая , что конечно порожден над A . Если P простой идеал B и p его пересечение с A , то

${\ displaystyle {\ text {height}} (P) \ leq {\ text {height}} (p) + {\ text {tr.deg.}} _ {A} (B) - {\ text {tr. град.}} _ {\ kappa (p)} (\ kappa (P)).}$

Формула размерности универсально цепных колец утверждает, что равенство имеет место, если A универсально цепная. Здесь κ ( Р ) является полем вычетов из Р и tr.deg. означает степень трансцендентности (частных полей). Фактически, когда A не является универсальной цепной связью, но , тогда также имеет место равенство. ^[1]${\ displaystyle B = A [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$

Примеры [ править ]

Почти все нётеровы кольца, которые появляются в алгебраической геометрии, являются универсальными цепными. В частности, следующие кольца являются универсальными цепными:

• Завершите местные кольца Нётериана
• Дедекиндовы домены (и поля)
• Кольца Коэна-Маколея (и обычные местные кольца )
• Любая локализация универсального контактного кольца
• Любая конечно порожденная алгебра над универсально цепным кольцом.

Кольцо, которое является контактным, но не универсальным [ править ]

Очень сложно построить примеры нётеровых колец, которые не являются универсальными цепными. Первый пример был найден Масаёши Нагатой  ( 1956 , 1962 , стр. 203, пример 2), который обнаружил 2-мерную локальную область Нётера, которая является цепной, но не универсальной.

Пример Нагаты следующий. Выберем поле k и формальный степенной ряд z = Σ _{i > 0} a _i x ⁱ в кольце S формальных степенных рядов по x над k так , что z и x алгебраически независимы.

Определим z ₁ = z и z _{i +1} = z _i / x– a _i .

Пусть R - (нётерово) кольцо, порожденное x и всеми элементами z _i .

Пусть m - идеал ( x ), и пусть n - идеал, порожденный x –1 и всеми элементами z _i . Это оба максимальных идеала R с полями вычетов, изоморфными k . Локальное кольцо R _m является регулярным локальным кольцом размерности 1 (доказательство этого использует тот факт, что z и x алгебраически независимы), а локальное кольцо R _n является регулярным нетеровым локальным кольцом размерности 2.

Пусть B - локализация R относительно всех элементов, не входящих ни в m, ни в n . Тогда B - двумерное нётерово полулокальное кольцо с двумя максимальными идеалами: mB (высоты 1) и nB (высоты 2).

Пусть я Джекобсона радикал B , и пусть A = K + I . Кольцо A является локальной областью размерности 2 с максимальным идеалом I , поэтому оно является цепным, потому что все двумерные локальные области являются цепными. Кольцо A нётерово, поскольку B нётерово и является конечным A -модулем. Однако не универсально цепной линии, потому что если бы это было тогда идеальным тВ из B будет иметь такую же высоту , как и тВ П Апо формуле размерности универсально цепных колец, но последний идеал имеет высоту, равную dim ( A ) = 2.

Пример Нагаты также является квази-отличным кольцом , поэтому он дает пример квази-отличного кольца, которое не является отличным кольцом .

См. Также [ править ]

• Формально цепное кольцо (то же самое, что и универсальное цепное кольцо).

Ссылки [ править ]

• Х. Мацумура, коммутативная алгебра 1980 ISBN  0-8053-7026-9 .
• Нагата, Масаёши (1956), "Проблема цепочки первичных идеалов" , Nagoya Math. J. , 10 : 51–64, MR  0078974
• Нагата, Масаёши Местные кольца. Interscience Tractors in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г., перепечатано RE Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0-88275-228-6