Отличное кольцо

В коммутативной алгебре , А квази-превосходное кольцо является нетерово коммутативным кольцом , что хорошо ведет себя по отношению к операции завершения, и называются превосходным кольцом , если оно также универсально контактная сеть . Превосходные кольца - это один из ответов на проблему поиска естественного класса «хороших» колец, содержащего большинство колец, встречающихся в теории чисел и алгебраической геометрии . Одно время казалось, что класс нётерских колец может быть ответом на эту проблему, но Масаёши Нагатаи другие нашли несколько странных контрпримеров, показывающих, что в целом нётеровы кольца не обязательно должны хорошо себя вести: например, нормальное нётерово локальное кольцо не обязательно должно быть аналитически нормальным .

Класс превосходных колец был определен Александром Гротендиком (1965) как кандидат в такой класс качественных колец. Предполагается, что квази-отличные кольца являются базовыми кольцами, для которых может быть решена проблема разрешения особенностей ; Хейсуке Хиронака ( 1964 ) показал это в характеристике 0, но случай положительной характеристики (по состоянию на 2016 год) все еще остается большой открытой проблемой. По сути, все нётеровы кольца, которые естественным образом встречаются в алгебраической геометрии или теории чисел, превосходны; на самом деле довольно сложно построить не превосходные примеры нётеровых колец.

Определения [ править ]

Определение отличных колец довольно сложное, поэтому напомним определения технических условий, которым оно удовлетворяет. Хотя это кажется длинным списком условий, большинство схем на практике превосходны, такие как поля , кольца многочленов , полные нётеровы кольца , области Дедекинда над характеристикой 0 (например, ), а также кольца частных и локализационных этих колец. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Напомним определения [ править ]

Кольцо , содержащее поле называется геометрически правильной над , если для любого конечного расширения из кольца является регулярным . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle R \ otimes _ {k} K}$
Гомоморфизм колец из называется регулярным , если он является плоским , и для каждого волокно является геометрический правильным над полем вычетов из . ${\ displaystyle R \ to S}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in {\ text {Spec}} (R)}$ ${\ Displaystyle S \ otimes _ {k} к ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ Displaystyle к ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$
Кольцо называется G-кольцом ^[1] (или кольцом Гротендика ), если оно нётерово и его формальные слои геометрически регулярны; это означает, что для любого отображение от локального кольца до его пополнения является регулярным в указанном выше смысле. ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in {\ text {Spec}} (R)}$ ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}} \ to {\ hat {R _ {\ mathfrak {p}}}}}$

Наконец, кольцо является J-2 ^[2], если любая -алгебра конечного типа является J-1 , что означает, что регулярная подсхема открыта. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ text {Reg}} ({\ text {Spec}} (S)) \ subset {\ text {Spec}} (S)}$

Определение (квази) совершенства [ править ]

Кольцо называется квази-превосходным, если оно является G -кольцом и J-2 кольцом. Он называется отличным ^[3]^{pg 214,} если он квази-отлично и универсален . На практике почти все кольца Нётерана являются универсальными цепными, поэтому разница между превосходными и квази-превосходными кольцами невелика. ${\ displaystyle R}$

Схема называется отличной или квази-отлично , если он имеет крышку, открытыми аффинные подсхемы с тем же свойством, что означает , что каждая открытая аффинная подсхема обладает этим свойством.

Свойства [ править ]

Поскольку отличное кольцо является G-кольцом ^[1], оно нётерово по определению. Поскольку это универсальная цепочка, каждая максимальная цепь простых идеалов имеет одинаковую длину. Это полезно для изучения теории размерности таких колец, поскольку их размерность может быть ограничена фиксированной максимальной цепью. На практике это означает, что бесконечномерные нётеровы кольца ^[4], которые имеют индуктивное определение максимальных цепочек простых идеалов, дающих бесконечномерное кольцо, не могут быть построены. ${\ displaystyle R}$

Схемы [ править ]

Учитывая отличную схему и локально конечного типа морфизм , то отлично ^[3]^{стр 217} . ${\ displaystyle X}$ $f:X'\to X$ $X'$

Квази-совершенство [ править ]

Любое квази-превосходное кольцо - это кольцо Нагаты .

Любое квази-превосходное редуцированное локальное кольцо сокращается аналитически .

Любое квази-превосходное нормальное локальное кольцо аналитически нормально .

Примеры [ править ]

Отличные кольца [ править ]

Большинство естественно встречающихся коммутативных колец в теории чисел или алгебраической геометрии превосходны. Особенно:

Все полные Нетеровы локальные кольца, например , все поля и кольцо $Z р$ о $р$ -адических чисел, отлично.
Все дедекиндовы домены характеристики $0$ превосходны. В частности, кольцо $Z$ целых чисел превосходно. Дедекиндовы области над полями с характеристикой больше $0$ не обязательно должны быть отличными.
Кольца сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над $R$ или $C$ превосходны.
Отлично любая локализация отличного кольца.
Любая конечно порожденная алгебра над отличным кольцом превосходна. Сюда входят все полиномиальные алгебры с отличным. Это означает, что большинство колец, рассматриваемых в алгебраической геометрии, превосходны. $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ $R$

Кольцо J-2, не являющееся кольцом G [ править ]

Вот пример кольца дискретной оценки $A$ размерности $1$ и характеристики $p > 0,$ которое является $J-2,$ но не $G$ -кольцом, и поэтому не является квази-превосходным. Если $k$ - любое поле характеристики $p$ с $[k : k p] = \infty$ и $A$ - кольцо степенных рядов $Σ a i x i$ таких, что $[k p (a 0, a 1, ...): k p]$ конечно, то формальные слои $A$ не все геометрически регулярны, поэтому $A$ не является $G$ -кольцом. Это кольцо $J-2,$ поскольку все нётеровы локальные кольца размерности не выше $1$ являются кольцами $J-2$ . Это также универсальная цепочка, поскольку это домен Дедекинда. Здесь $k p$ обозначает образ $k$ при морфизме Фробениуса $a \to a p$ .

G-кольцо, не являющееся кольцом J-2 [ править ]

Вот пример кольца, которое является G-кольцом, но не является кольцом J-2 и поэтому не является квази-превосходным. Если $R$ - подкольцо кольца многочленов $k [x 1, x 2, ...]$ в бесконечном числе образующих, порожденных квадратами и кубами всех образующих, а $S$ получается из $R$ присоединением обратных ко всем элементам, не входящим ни в какие идеалов, порожденных некоторым $x n$ , то $S$ является одномерной нётеровой областью, которая не является кольцом J-1, поскольку $S$ имеет особенность возврата в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто, хотя это G-кольцо. Это кольцо также является универсально цепным, поскольку его локализация в каждом первичном идеале является фактором регулярного кольца.

Квази-отличное кольцо, не превосходное [ править ]

Пример Нагаты двумерного нетерова локального кольца, которое является цепным, но не универсально цепным, является G-кольцом, а также кольцом J-2, поскольку любое локальное G-кольцо является кольцом J-2 ( Matsumura 1980 , p.88 , 260) . Так что это почти превосходное местное кольцо контактной сети, которое не является превосходным.

Разрешение особенностей [ править ]

Квази-отличные кольца тесно связаны с проблемой разрешения сингулярностей , и это, по-видимому, было мотивацией Гротендика ^[3],^{стр. 218} для их определения. Гротендик (1965) заметил, что если возможно разрешить особенности всех полных целочисленных локальных нётеровых колец, то можно разрешить особенности всех редуцированных квази-превосходных колец. Хиронака (1964) доказал это для всех полных целочисленных нётеровых локальных колец над полем характеристики 0, из чего следует его теорема о том, что все особенности превосходных схем над полем характеристики 0 могут быть разрешены. Наоборот, если возможно разрешить все особенности спектров всех целочисленных конечных алгебр над нётеровым кольцом Rто кольцо R квази-отлично.

См. Также [ править ]

Разрешение особенностей

Ссылки [ править ]

^ a b «Раздел 15.49 (07GG): G-кольца - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .
^ «Раздел 15.46 (07P6): Особый локус - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .
^ a b c Гротендик, Александр (1965). "Algébrique Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 : 5–231.
^ «Раздел 108.14 (02JC): Нетерово кольцо бесконечной размерности - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .

Александр Гротендик , Жан Дьедонне , Eléments de géométrie algébrique IV Publications Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965), раздел 7
В.И. Данилов (2001) [1994], "Отличное кольцо" , Математическая энциклопедия , EMS Press
Хейсуке Хиронака , Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики. I , II . Annals of Mathematics (2) 79 (1964), 109-203; там же. (2) 79 1964 205-326.
Хидеюки Мацумура, ISBN коммутативной алгебры 0-8053-7026-9 , глава 13.

[stacks.math.columbia.edu-1] «Раздел 15.49 (07GG): G-кольца - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .

[2] «Раздел 15.46 (07P6): Особый локус - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .

[:0-3] Гротендик, Александр (1965). "Algébrique Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 : 5–231.

[4] «Раздел 108.14 (02JC): Нетерово кольцо бесконечной размерности - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .

[1]