Локализация (коммутативная алгебра)

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , локализация является формальным способом ввести «знаменатели» для данного кольца или модуля . То есть, он вводит новое кольцо / модуль из уже существующего , так что она состоит из фракций , так что знаменатель ей принадлежит данному подмножеству S из R . Если S есть множество ненулевых элементов области целостности , то локализация является полем частных : этот случай обобщает конструкцию кольца Q из рациональных чисел${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$ от кольца Z от целых чисел .

Этот метод стал фундаментальным, особенно в алгебраической геометрии , поскольку он обеспечивает естественную связь с теорией пучков . Фактически, термин локализация возник в алгебраической геометрии : если R - кольцо функций, определенных на некотором геометрическом объекте ( алгебраическом многообразии ) V , и кто-то хочет изучить это многообразие «локально» вблизи точки p , то он рассматривает множество S всех функций , которые не равны нулю на р и локализует R относительно S . Полученное кольцо R *содержит только информацию о поведении V около p (см. пример, приведенный на локальном кольце ).

Важным связанным процессом является завершение : один часто локализует кольцо / модуль, а затем завершается.

Конструкция и свойства коммутативных колец [ править ]

Множество S считается подмоноидом мультипликативной моноиде из R , т.е. 1 находится в S и S и T в S , мы также ули в S . Подмножество R с этим свойством называется мультипликативно замкнутым множеством , мультипликативным множеством или мультипликативной системой . Это требование к S естественно и необходимо, так как его элементы будут превращены в единицы локализации, а единицы должны быть замкнуты при умножении.

Стандартно предполагать, что S мультипликативно замкнута. Если S не является мультипликативно замкнутым, достаточно заменить его мультипликативным замыканием , состоящим из множества произведений элементов S (включая пустое произведение 1). Это не меняет результат локализации. Примером этого является тот факт, что мы говорим о «локализации по мощности элемента» вместо «локализации по отношению к элементу». Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что S мультипликативно замкнута.

Строительство [ править ]

Для интегральных областей [ править ]

В случае, когда R является областью целостности , легко построить локализацию. Так как только кольцо , в котором 0 является единицей является тривиальным кольцом {0}, локализация R * {0} , если 0 в S . В противном случае, поле частных K из R может быть использовано: мы берем R * , чтобы подмножество K , состоящее из элементов вида г / ев с т в R и ˙s в S ; как мы и предполагали, S мультипликативно замкнута, R* Является подкольцом K . Стандартное вложение из R в R * является инъективны в этом случае, хотя это может быть не инъективны в более общей ситуации. Например, диадические дроби - это локализация кольца целых чисел относительно степеней двойки. В этом случае R * - это двоичные дроби, R - целые числа, знаменатели - степени двойки, а естественное отображение из R в R * инъективно. Результат был бы точно таким же, если бы мы взяли  S  = {2}.

Для общих коммутативных колец [ править ]

Для общих коммутативных колец у нас нет поля частных. Тем не менее, можно построить локализацию, состоящую из «дробей» со знаменателями, взятыми из S ; в отличие от интегрального домена случае можно безопасно «отменить» из числитель и знаменатель только элементов S .

Это построение происходит следующим образом: на R × S определим отношение эквивалентности ~, положив ( r ₁ , s ₁ ) ~ ( r ₂ , s ₂ ), если существует t в S такое, что

т ( г ₁ с ₂ - г ₂ с ₁ ) = 0.

(Наличие t имеет решающее значение для транзитивности ~)

Мы думаем о классе эквивалентности ( r , s ) как о «дроби» r / s, и, используя эту интуицию, множество классов эквивалентности R * можно превратить в кольцо с операциями, которые выглядят идентичными операциям элементарной алгебры: a / s + b / t = ( at + bs ) / st и ( a / s ) ( b / t ) = ab / st . Отображение j  : R →R *, который отображает r в класс эквивалентности ( r , 1), тогда является гомоморфизмом колец . В общем, это не инъективно; если a и b - два элемента R такие, что существует s в S с s ( a - b ) = 0 , то их образы при j равны.

Универсальная собственность [ править ]

Кольцевой гомоморфизм J  : R → R * (как определено выше) отображает каждый элемент S в блок в R * = S  ^-1 R . Универсальное свойство состоит в том, что если f  : R → T - некоторый другой гомоморфизм колец в другое кольцо T, который отображает каждый элемент S в единицу в T , то существует единственный гомоморфизм колец g  : R * → T такой, что f = g ∘ j .

Это также можно сформулировать на языке теории категорий . Если R представляет собой кольцо , и S представляет собой подмножество, рассмотрит все R - алгебры А , так что, при каноническом гомоморфизме R → A , каждый элемент из S отображается на единицу . Эти алгебры являются объектами из в категории , с R - гомоморфизмы как морфизмов . Тогда локализация R в S является исходным объектом этой категории.

Примеры [ править ]

• Пусть R коммутативное кольцо и е ненильпотентной элемент R . Мы можем рассматривать мультипликативную систему { f ⁿ  : n = 0,1, ...}. Эта локализация получается в точности присоединением корня многочлена в и, таким образом . Обычно его также обозначают как .${\displaystyle ft-1=0}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle S^{-1}R=R[t]/(ft-1)}$${\displaystyle R[f^{-1}]}$
• Учитывая коммутативное кольцо R , мы можем рассмотреть мультипликативный множество S не-делителей нуля (т.е. элементы из R , умножение на инъекция из R в себя.) Кольцо S ^-1 R называется полное кольцо частных из R . S - это наибольшее мультипликативное множество, такое что каноническое отображение из R в S ⁻¹ R инъективно. Когда R является областью целостности, это фракция поле R .
• Кольцо Z / п Z , где п является композит не является областью целостности. Когда n - степень простого числа, это конечное локальное кольцо , а его элементы либо единицы, либо нильпотентны . Это означает, что он может быть локализован только в нулевом кольце. Но когда n можно факторизовать как ab с a и b, взаимно простыми и большими, чем 1, тогда Z / n Z по китайской теореме об остатках изоморфно Z / a Z× Z / б Z . Если взять S состоит только из (1,0) и 1 = (1,1), то соответствующая локализация Z / Z .
• Пусть R = Z и p простое число. Если S = Z  -  p Z , то R * - локализация целых чисел в p . См. «Теорию алгебраических чисел» Лэнга, особенно страницы 3–4 и нижнюю часть страницы 7.
• В качестве обобщения предыдущего примера, пусть R коммутативное кольцо и р является простым идеалом R . Тогда R  -  p - мультипликативная система, и соответствующая локализация обозначается R _p . Это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом pR _p .
• Для коммутативного кольца его локализация в максимальном идеале равна${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]_{(x,y)}=\{f/g:f,g\in \mathbb {C} [x,y]{\text{ and }}g(0,0)\neq 0\}.}$

Свойства [ править ]

Некоторые свойства локализации R * = S  ⁻¹ R :

• S ⁻¹ R = {0} тогда и только тогда, когда S содержит 0.
• Гомоморфизм колец R → S  ⁻¹ R инъективен тогда и только тогда, когда S не содержит никаких делителей нуля .
• Существует биекция между множеством простых идеалов S ^-1 R и множеством простых идеалов R , которые не пересекаются S . Это биекция индуцируется данного гомоморфизма R → S  ^-1 R .
• В частности, после локализации в простой идеал P получается локальное кольцо , то есть кольцо с одним максимальным идеалом, а именно идеал , порожденный расширением P .
• Пусть R область целостности с полем дробей K . Тогда его локализации в простом идеале можно рассматривать как подкольцу K . Более того,${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

где первое пересечение проходит по всем простым идеалам, а второе - по максимальным идеалам. ^[1]

• Локализация коммутирует с формациями конечных сумм, произведений, пересечений и радикалов; ^[2] например, если обозначить радикал идеала I в R , то${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

В частности, R является уменьшена , если и только если его общее кольцо фракций уменьшается. ^[3]

• Локализацию можно выполнить поэлементно:

${\displaystyle \displaystyle S^{-1}R=\varinjlim R[f^{-1}]}$ где предел пробегает все ${\displaystyle f\in S.}$

Интуиция и приложения [ править ]

Термин локализация происходит из алгебраической геометрии : если R - кольцо функций, определенных на некотором геометрическом объекте ( алгебраическом многообразии ) V , и кто-то хочет изучить это многообразие «локально» вблизи точки p , то он рассматривает множество S всех функций которые не равны нулю на р и локализует R относительно S . Полученное кольцо R * содержит только информацию о поведении V вблизи p . Подробнее см. Кольцо микробов .

Два класса локализаций встречается обычно в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии и используется для построения кольца функций на открытых подмножествах в топологии Зарисской в спектре кольца , Spec ( R ).

• Множество S состоит из всех степеней данного элемента r . Локализация соответствует ограничению на открытое подмножество Зарисского U _r ⊂ Spec ( R ), где функция r отлична от нуля (множества такого вида называются главными открытыми множествами Зарисского ). Например, если R = K [ X ] - кольцо многочленов и r = X, то локализация дает кольцо многочленов Лорана K [ X , X ⁻¹]. В этом случае локализация соответствует вложению U ⊂ A ¹ , где A ¹ - аффинная прямая, а U - ее открытое подмножество Зарисского, являющееся дополнением к 0.
• Множество S является дополнением данного простого идеала P в R . Из простоты P следует, что S - мультипликативно замкнутое множество. В этом случае также говорят о «локализации в точке P ». Локализация соответствует ограничению на произвольные малые открытые окрестности неприводимого замкнутого подмножества Зарисского V ( P ), определяемого первичным идеалом P в Spec ( R ).

В теории чисел и алгебраической топологии , один относится к поведению кольца в ряде п или прочь от п . « Вдали от n » означает «в кольце, локализованном множеством степеней n » (что является Z [1 / n ] -алгеброй). Если n - простое число, «at n » означает «в кольце, локализованном с помощью набора целых чисел, не кратных n ».

Локализация модуля [ править ]

Пусть R быть коммутативное кольцо и S быть мультипликативно замкнутое подмножество из R (как определено выше). Тогда локализация М по отношению к S , обозначается S ^-1 М , определяется как следующий модуль: в виде набора, она состоит из классов эквивалентности пар ( м , ев ), где т ∈ M и s ∈ S . Две такие пары ( m , s ) и ( n , t) считаются эквивалентными, если существует третий элемент u из S такой, что

и ( sn - tm ) = 0.

Класс эквивалентности ( m , s ) принято обозначать через .${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$

Чтобы сделать этот набор R -модулем, определите

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}:={\frac {tm+sn}{st}}}$

и

${\displaystyle a\cdot {\frac {m}{s}}:={\frac {am}{s}},\ \ \ a\in R.}$

Несложно проверить, что эти операции корректно определены, т. Е. Дают одинаковый результат для разных вариантов выбора представителей фракций. Одна интересная характеристика отношения эквивалентности является то , что это наименьшее отношение (рассматриваемое как совокупность) таким образом, что законы отмены держат для элементов в S . То есть, это наименьшее отношение такое , что см / ст = т / т для всех х , т в S и м в М .

Один случай особенно важен: если S равен дополнение к простому идеалу р ⊂ R (которое мультипликативно закрыто по определению простого идеала) , то локализация обозначается M _р вместо ( R \ р ) ^-1 М . Поддержка модуля М есть множество простых идеалов р такие , что М _р ≠ 0. Просмотр M как функция от спектра от R до R - модулей, отображение

${\displaystyle p\mapsto M_{p}}$

это соответствует поддержке функции. Локализация модуля в простых числах также отражает «локальные свойства» модуля. В частности, есть много случаев, когда более общая ситуация может быть сведена к утверждению о локализованных модулях. Редукция происходит потому, что R -модуль M тривиален тогда и только тогда, когда все его локализации в простых числах или максимальных идеалах тривиальны.

Замечание :

• Есть гомоморфизм модулей

φ: M → S ⁻¹ M

отображение

φ ( м ) = м / 1.

Здесь φ, вообще говоря, не обязательно должен быть инъективным, поскольку может иметь место значительное кручение . Дополнительное u, появляющееся в определении приведенного выше отношения эквивалентности, нельзя отбросить (иначе отношение не было бы транзитивным), если только модуль не имеет кручения.

• По определениям локализация модуля тесно связана с локализацией кольца через тензорное произведение

S ^-1 М = М ⊗ _R S ^-1 R .

Такой подход к локализации часто называют расширением скаляров . Соответствующая структура S ⁻¹ R -модуля задается тем, что в правой части у нас есть скалярное умножение в числителе и кольцевое умножение в знаменателе.${\displaystyle {\frac {a}{s}}\cdot {\frac {m}{t}}:={\frac {a\cdot m}{st}},}$

Как тензорное произведение, локализация удовлетворяет обычному универсальному свойству .

Свойства [ править ]

Из определения, можно видеть , что локализация модулей является точный функтор , или, другими словами (чтение этого в тензорной продукта) , что S ^-1 R представляет собой плоский модуль над R . Этот факт является основополагающим для использования плоскостности в алгебраической геометрии, говоря, в частности, что включение открытого множества Spec ( S ⁻¹ R ) в Spec ( R ) (см. Спектр кольца ) является плоским морфизмом .

Функтор локализации (обычно) сохраняет Hom и тензорные произведения в следующем смысле: естественное отображение

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

является изоморфизмом и, если он конечно определен, естественное отображение${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

является изоморфизмом.

Если модуль М является конечно порожденным над R ,

• ${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}$, где означает аннигилятор . ^[4]${\displaystyle \operatorname {Ann} }$
• ${\displaystyle S^{-1}M=0}$тогда и только тогда, когда для некоторых , то есть тогда и только тогда, когда пересекает аннигилятор . ^[5]${\displaystyle tM=0}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

Местная собственность [ править ]

Если является -модулем, утверждение о том, что свойство P выполняется для «простого идеала », имеет два возможных значения. Во-первых, P выполняется для , а во-вторых, что P выполняется для окрестности . Первая интерпретация более распространена, ^[6] но для многих свойств первая и вторая интерпретации совпадают. В явном виде второе означает, что следующие условия эквивалентны:${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

• (i) P выполняется для .${\displaystyle M}$
• (II) Р имеет место для всех простых идеалов из .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$
• (III) P имеет место для всех максимальных идеалов в .${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R}$

Тогда следующие свойства являются локальными во втором смысле:

• M равно нулю.
• M не имеет кручения (когда R - область).
• М является плоским .
• М является обратимым (когда R является областью , и М представляет собой подмодуль области фракций R ).
• ${\displaystyle f:M\to N}$инъективен (соответственно сюръективен), когда N - другой R -модуль.

С другой стороны, некоторые свойства не являются локальными. Например, «нётерово», вообще говоря, не является локальным свойством: то есть существует нётерово кольцо, локализация которого в каждом максимальном идеале нётерова: Рассмотрим булево кольцо . Тогда не является нётеровым, поскольку логическое нётерово кольцо должно быть конечным. Однако локальное булево кольцо является полем, изоморфным , следовательно, нётеровым.${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\mathbb {2Z} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} /\mathbb {2Z} }$

(Квази) когерентные пучки [ править ]

В терминах локализации модулей можно определить квазикогерентные пучки и когерентные пучки на локально окольцованных пространствах . В алгебраической геометрии квазикогерентный О _Й - модули для схем X являются те, которые локально по образцу пучков на Spec ( R ) локализаций любого R - модуль M . Когерентный О _Й - модуле такого пучок, локально моделируется на конечно-представленный модуль над R .

Некоммутативный регистр [ править ]

Локализовать некоммутативные кольца сложнее. Хотя локализация существует для каждого набора S предполагаемых единиц, она может принимать форму, отличную от описанной выше. Одним из условий, обеспечивающих хорошее поведение при локализации, является состояние Оре .

Один случай для некоммутативных колец, где локализация представляет очевидный интерес, - это кольца дифференциальных операторов. Он имеет интерпретацию, например, прилегающей формальный обратный D ^-1 для оператора дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах дифференциальных уравнений . В настоящее время существует большая математическая теория, называемая микролокализацией , которая связана с множеством других разделов. Микро- тег делать со связями с теорией Фурье , в частности.

См. Также [ править ]

• Завершение (алгебра)
• Гомоморфизм
• Overring
• Оценочное кольцо
• Комплекс Амицура , обобщение локализации

Локализация [ править ]

Категория: Локализация (математика)

• Локальный анализ
• Локализация категории
• Локализация топологического пространства

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Локализация от MathWorld .