Пустой товар

В математике , в пустом продукте или нульарный продукте или праздного продукте , является результат не умножение нет факторов. По соглашению он равен мультипликативному тождеству (при условии, что для рассматриваемой операции умножения существует тождество), так же как пустая сумма - результат без добавления чисел - по соглашению равна нулю или аддитивному тождеству. ^{[1] [2] [3] [4]}

Термин « пустой продукт» чаще всего используется в указанном выше смысле при обсуждении арифметических операций. Однако этот термин иногда используется при обсуждении теоретико-множественных пересечений, категориальных продуктов и продуктов в компьютерном программировании; они обсуждаются ниже.

Нулевое арифметическое произведение [ править ]

Обоснование [ править ]

Пусть a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... последовательность чисел, и пусть

${\ displaystyle P_ {m} = \ prod _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} = a_ {1} \ cdots a_ {m}}$

- произведение первых m элементов последовательности. потом

${\ displaystyle P_ {m} = P_ {m-1} a_ {m}}$

для всех m = 1, 2, ... при условии, что мы используем следующие соглашения: и (этот выбор уникален). Другими словами, «продукт» только с одним фактором оценивается по этому фактору, в то время как «продукт» без каких-либо факторов оценивается как 1. Разрешение «продукта» только с одним или нулевым коэффициентом сокращает количество случаев, которые необходимо рассмотреть. во многих математических формулах. Такие «продукты» являются естественной отправной точкой в доказательствах индукции , а также в алгоритмах. По этим причинам соглашение «пустой продукт - один» является обычной практикой в ​​математике и компьютерном программировании.${\ displaystyle P_ {1} = a_ {1}}$${\ displaystyle P_ {0} = 1}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\displaystyle P_{0}}$

Актуальность определения пустых товаров [ править ]

Понятие пустого продукта полезно по той же причине, что и число ноль и пустое множество : хотя они, кажется, представляют довольно неинтересные понятия, их существование позволяет гораздо более короткое математическое представление многих предметов.

Например, пустых товаров 0! = 1 ( факториал нуля) и x ⁰  = 1 сокращают обозначение ряда Тейлора (см. Ноль в степени нуля для обсуждения, когда x = 0). Аналогично, если M - матрица размера n  ×  n , то M ⁰ - это единичная матрица размера n  ×  n , отражающая тот факт, что применение линейной карты нулевое значение имеет тот же эффект, что и применение идентичности карты .

В качестве другого примера, основная теорема арифметики гласит, что каждое положительное целое число может быть однозначно записано как произведение простых чисел. Однако, если мы не разрешаем продукты только с 0 или 1 множителем, то теорема (и ее доказательство) станут длиннее. ^{[5] [6]}

Дополнительные примеры использования пустого произведения в математике можно найти в биномиальной теореме (которая предполагает и подразумевает, что x ⁰ = 1 для всех x ), числе Стирлинга , теореме Кенига , биномиальном типе , биномиальном ряду , разностном операторе и символе Похгаммера. .

Логарифмы [ править ]

Поскольку логарифмы превращают произведения в суммы:

${\displaystyle \prod _{i}x_{i}=e^{\sum _{i}\ln x_{i}},}$

они должны сопоставить пустой продукт с пустой суммой . Итак, если мы определим, что пустой продукт равен 1, тогда должна быть пустая сумма . И наоборот, экспоненциальная функция превращает суммы в произведения, поэтому, если мы определяем пустую сумму равной 0, то должно быть и пустое произведение .${\displaystyle \ln(1)=0}$${\displaystyle e^{0}=1}$

Нулевое декартово произведение [ править ]

Рассмотрим общее определение декартова произведения :

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.}$

Если I пусто, единственным таким g является пустая функция , которая является уникальным подмножеством этой функции , а именно пустым подмножеством (единственным подмножеством, которое имеет):${\displaystyle f_{\varnothing }}$${\displaystyle \varnothing \times \varnothing }$${\displaystyle \varnothing \to \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.}$

Таким образом, мощность декартова произведения без множеств равна 1.

При, возможно, более знакомой интерпретации n - кортежей ,

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{()\},}$

то есть одноэлементный набор, содержащий пустой кортеж . Обратите внимание, что в обоих представлениях пустой продукт имеет мощность 1 - количество всех способов произвести 0 выходов из 0 входов равно 1.

Нулевой категориальный продукт [ править ]

В любой категории , то продукт пустого семейства является терминальным объектом из этой категории. Это можно продемонстрировать, используя определение предела продукта. П - кратная категоричны продукт может быть определен как предел по отношению к схеме , заданной дискретной категория с п объектами. Пустой продукт затем задается пределом по отношению к пустой категории, которая является конечным объектом категории, если она существует. Это определение специализируется на получении результатов, как указано выше. Например, в категории наборовкатегориальный продукт - это обычное декартово произведение, а конечный объект - одноэлементный набор. В категории групп категориальный продукт - это декартово произведение групп, а конечный объект - тривиальная группа с одним элементом. Чтобы получить обычное арифметическое определение пустого продукта, мы должны взять декатегоризацию пустого продукта в категории конечных множеств.

Соответственно , копродуктом пустой семьи является исходный объект . Нулевые категориальные продукты или сопутствующие продукты могут не существовать в данной категории; например, в категории полей ни того, ни другого не существует.

В логике [ править ]

Классическая логика определяет операцию конъюнкции , которая обобщается на универсальную квантификацию в исчислении предикатов и широко известна как логическое умножение, потому что мы интуитивно идентифицируем истину с 1 и ложь с 0, а наша конъюнкция ведет себя как обычный умножитель. Множители могут иметь произвольное количество входов. В случае 0 входов у нас есть пустая конъюнкция , которая тождественно равна истине.

Это связано с другим логическим понятием, пустой истиной , которая говорит нам, что пустой набор объектов может иметь любое свойство. Это можно объяснить тем, как конъюнкция (как часть логики в целом) имеет дело со значениями, меньшими или равными 1. Это означает, что чем длиннее конъюнкция, тем выше вероятность того, что в итоге получится 0. Конъюнкция просто проверяет предложения и возвращает 0 (или ложь), как только одно из предложений оценивается как ложное. Уменьшение количества объединенных предложений увеличивает шанс пройти проверку и остаться с 1. В частности, если есть 0 тестов или элементов для проверки, ни один из них не может потерпеть неудачу, поэтому по умолчанию мы всегда должны добиваться успеха, независимо от того, какие предложения или свойства членов должны были быть проверенным.

В компьютерном программировании [ править ]

Многие языки программирования, такие как Python , допускают прямое выражение списков чисел и даже функций, допускающих произвольное количество параметров. Если в таком языке есть функция, которая возвращает произведение всех чисел в списке, она обычно работает следующим образом:

 math.prod ([2, 3, 5]) # = 30 math.prod ([2, 3]) # = 6 math.prod ([2]) # = 2 math.prod ([]) # = 1

(Обратите внимание: prodнедоступно в mathмодуле до версии 3.8.)

Это соглашение помогает избежать необходимости кодировать особые случаи, такие как «если длина списка равна 1» или «если длина списка равна нулю», как особые случаи.

Умножение - это инфиксный оператор и, следовательно, бинарный оператор, усложняющий запись пустого произведения. Некоторые языки программирования справляются с этим путем реализации вариативных функций . Например, полностью в скобках префикс обозначение из Lisp языков приводит к естественной нотации нульарных функций:

(* 2 2 2); оценивается в 8(* 2 2); оценивается в 4(* 2); оценивается в 2(*); оценивается в 1

См. Также [ править ]

• Итерированная бинарная операция
• Пустая функция

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Статья PlanetMath о пустом продукте