Биномиальный ряд

Биномиальный ряд является рядом Тейлора для функции , заданной , где представляет собой произвольное комплексное число . Явно,${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (х) = (1 + х) ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (1 + x) ^ {\ alpha} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \; {\ alpha \ choose k} \; x ^ {k} \ qquad \ qquad \ qquad (1) \\ & = 1+ \ alpha x + {\ frac {\ alpha (\ alpha -1)} {2!}} x ^ {2} + \ cdots, \ end {выровнено} }}$

а биномиальный ряд - это степенной ряд в правой части (1), выраженный через (обобщенные) биномиальные коэффициенты

${\ displaystyle {\ alpha \ choose k}: = {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) (\ alpha -2) \ cdots (\ alpha -k + 1)} {k!}}.}$

Особые случаи [ править ]

Если α - неотрицательное целое число  n , то ( n  + 2) -й член и все последующие члены в ряду равны 0, поскольку каждый содержит множитель ( n  -  n ); таким образом, в этом случае ряд конечен и дает алгебраическую биномиальную формулу .

Следующий вариант справедлив для произвольного комплексного  β , но особенно полезен для обработки отрицательных целочисленных показателей в (1):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}$

Чтобы доказать это, подставим x  = - z в (1) и применим тождество биномиальных коэффициентов, а именно,

${\displaystyle {-\beta -1 \choose k}=(-1)^{k}{k+\beta \choose k}.}$

Конвергенция [ править ]

Условия конвергенции [ править ]

Сходится ли (1) зависит от значений комплексных чисел α и  x . Точнее:

1. Если | х | <1 ряд сходится абсолютно для любого комплексного числа α.
2. Если | х | = 1 , ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо Re (α)> 0, либо α = 0 .
3. Если | х | = 1 и x ≠ −1 , ряд сходится тогда и только тогда, когда Re (α)> −1 .
4. Если x = −1 , ряд сходится тогда и только тогда, когда либо Re (α)> 0, либо α = 0 .
5. Если | х | > 1 , ряд расходится, если α не является целым неотрицательным числом (в этом случае ряд является конечной суммой).

В частности, если не является целым неотрицательным числом, ситуация на границе круга сходимости, резюмируется следующим образом:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |x|=1}$

• Если Re ( α )> 0 , ряд абсолютно сходится.
• Если −1 <Re ( α ) ≤ 0 , ряд условно сходится, если x ≠ −1, и расходится, если x = −1 .
• Если Re ( α ) ≤ −1 , ряд расходится.

Личности, которые будут использоваться в доказательстве [ править ]

Для любого комплексного числа α имеет место следующее:

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.\qquad \qquad (3)}$

Если не является неотрицательным целым числом (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются в нуль, если больше чем ), полезное асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в обозначениях Ландау :${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .\qquad \qquad (4)}$

По сути, это эквивалентно определению Эйлером гамма-функции :

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},\qquad }$

и сразу следует более грубые оценки

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}},\qquad \qquad (5)}$

для некоторой положительной константы т и М .

Формулу (2) для обобщенного биномиального коэффициента можно переписать в виде

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).\qquad \qquad (6)}$

Доказательство [ править ]

Чтобы доказать (i) и (v), примените критерий отношения и используйте формулу (2) выше, чтобы показать, что всякий раз, когда не является неотрицательным целым числом, радиус сходимости равен точно 1. Часть (ii) следует из формулы (5), по сравнению с серией p${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},\qquad }$

с . Чтобы доказать (iii), сначала воспользуйтесь формулой (3), чтобы получить${\displaystyle p=1+{\text{Re}}\,\alpha }$

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},\qquad \qquad (7)}$

а затем снова используйте (ii) и формулу (5), чтобы доказать сходимость правой части, когда предполагается. С другой стороны, ряд не сходится, если и , опять же по формуле (5). В качестве альтернативы мы можем наблюдать это для всех . Таким образом, по формуле (6) для всех . Это завершает доказательство (iii). Обращаясь к (iv), мы используем тождество (7), указанное выше , с формулой (4) и вместо нее, чтобы получить${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha >-1}$${\displaystyle |x|=1}$${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha \leq -1}$${\displaystyle j,\left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {{\text{Re}}\,\alpha +1}{j}}\geq 1}$${\displaystyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle \alpha -1}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

как . Утверждение (iv) теперь следует из асимптотики последовательности . (Точно, конечно , сходится к , если и расходится , если If. , То сходится тогда и только тогда , когда последовательность сходится , что, безусловно , верно , если , но неверно , если : в последнем случае последовательность плотно , из - за того , что расходится и сходится до нуля).${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$${\displaystyle {\big |}e^{-\alpha \log n}{\big |}=e^{-{\text{Re}}\,\alpha \,\log n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha >0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha <0}$${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha =0}$${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i{\text{Im}}\,\alpha \log n}}$${\displaystyle {\text{Im}}\,\alpha \log n}$${\displaystyle {\text{mod}}\;2\pi }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle {\text{Im}}\,\alpha \neq 0}$${\displaystyle {\text{mod}}\;2\pi }$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \log(n+1)-\log n}$

Суммирование биномиального ряда [ править ]

Обычный аргумент для вычисления суммы биномиального ряда выглядит следующим образом. Почленно дифференцируя биномиальный ряд в пределах круга сходимости | х | <1 и используя формулу (1), получаем, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей обыкновенное дифференциальное уравнение (1 +  x ) u '( x ) = αu ( x ) с начальными данными u (0) = 1 . Единственным решением этой проблемы является функция u ( x ) = (1 +  x ) ^α , которая, следовательно, является суммой биномиального ряда, по крайней мере, для | х | <1. Равенство распространяется на |х | = 1, если ряд сходится, как следствие теоремы Абеля и непрерывности (1 +  x ) ^α .

История [ править ]

Первые результаты, касающиеся биномиальных рядов для показателей, отличных от положительных целых, были даны сэром Исааком Ньютоном при изучении областей, заключенных под определенными кривыми. Джон Уоллис опирался на эту работу, рассматривая выражения вида y  = (1 -  x ² ) ^m, где m - дробь. Он обнаружил, что (записанные в современных терминах) последовательные коэффициенты c _k при (- x ² ) ^k должны быть найдены путем умножения предыдущего коэффициента на${\displaystyle {\tfrac {m-(k-1)}{k}}}$(как в случае целочисленных показателей), тем самым неявно давая формулу для этих коэффициентов. Он явно пишет следующие экземпляры ^[1]

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Поэтому биномиальный ряд иногда называют биномиальной теоремой Ньютона . Ньютон не дает никаких доказательств и не уточняет природу ряда; скорее всего, он проверил примеры, трактуя ряд как (опять же в современной терминологии) формальный степенной ряд . ^{[ необходимая цитата ]} Позже Нильс Хенрик Абель обсудил эту тему в мемуарах, особо затронув вопросы конвергенции.

См. Также [ править ]

• Биномиальная теорема
• Таблица ньютоновских рядов
• Биномиальное приближение

Ссылки [ править ]