Добавление

3 + 2 = 5 с яблоками , популярный вариант в учебниках ^[1]

Добавление (обычно обозначается в плюс символ + ) является одним из четырех основных операций в арифметической , остальные три является вычитание , умножение и деление . Сложение двух целых чисел дает общую сумму или сумму этих значений. Пример на соседнем изображении показывает комбинацию из трех яблок и двух яблок, в результате чего получается пять яблок. Это наблюдение эквивалентно математическому выражению «3 + 2 = 5» (то есть «3 плюс 2 равно 5»).

Помимо подсчета элементов, сложение также может быть определено и выполнено без ссылки на конкретные объекты , используя вместо этого абстракции, называемые числами , например целые числа , действительные числа и комплексные числа . Сложение относится к арифметике, разделу математики . В алгебре , другой области математики, сложение также может выполняться для абстрактных объектов, таких как векторы , матрицы , подпространства и подгруппы . ^[2]

Дополнение имеет несколько важных свойств. Он коммутативен , что означает, что порядок не имеет значения, и он ассоциативен , что означает, что при добавлении более двух чисел порядок, в котором выполняется сложение, не имеет значения (см. Суммирование ). Повторное добавление 1 - это то же самое, что и подсчет; добавление 0 не меняет числа. Сложение также подчиняется предсказуемым правилам относительно связанных операций, таких как вычитание и умножение.

Выполнение сложения - одна из простейших числовых задач. Для малышей доступно добавление очень маленьких номеров; Самую простую задачу, 1 + 1 , могут выполнять младенцы в возрасте от пяти месяцев и даже некоторые представители других видов животных. В начальной школе учащихся учат складывать числа в десятичной системе, начиная с однозначных чисел и постепенно решая более сложные задачи. Механические приспособления варьируются от древних абаков до современных компьютеров , где исследования наиболее эффективных способов сложения продолжаются и по сей день.

Обозначения и терминология [ править ]

Дополнение пишется со знаком плюс «+» между терминами; ^{[2] [3]} то есть в инфиксной записи . Результат обозначается знаком равенства . Например,

${\ Displaystyle 1 + 1 = 2}$ («один плюс один равен двум»)

${\ Displaystyle 2 + 2 = 4}$ ("два плюс два равняется четыре")

${\ displaystyle 1 + 2 = 3}$ («один плюс два равно трем»)

${\ displaystyle 5 + 4 + 2 = 11}$(см. «ассоциативность» ниже )

${\ displaystyle 3 + 3 + 3 + 3 = 12}$(см. «умножение» ниже )

Также существуют ситуации, когда добавление «понимается», даже если символ не появляется:

• Целое число, за которым сразу следует дробь, обозначает сумму двух, называемую смешанным числом . ^[4] Например,
        3½ = 3 + ½ = 3,5.
  Это обозначение может вызвать путаницу, поскольку в большинстве других контекстов сопоставление вместо этого означает умножение . ^[5]

Сумма ряда связанных чисел может быть выражена с помощью прописной сигмы , которая компактно обозначает итерацию . Например,

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {5} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} = 55.}$

Числа или объекты , которые будут добавлены в общем дополнении коллективно упоминается как точки , ^[6] в Слагаемом ^{[7] [8] [9]} или слагаемых ; ^[10] эта терминология переносится на суммирование нескольких терминов. Это следует отличать от факторов , которые умножаются . Некоторые авторы называют первое слагаемое augend . ^{[7] [8] [9]} Фактически, в эпоху Возрождения многие авторы вообще не считали первое дополнение "дополнением". Сегодня благодаря коммутативностиКроме того, «augend» используется редко, и оба термина обычно называют «дополнениями». ^[11]

Вся приведенная выше терминология происходит от латинского языка . « Сложение » и « добавить » - английские слова, образованные от латинского глагола addere , который, в свою очередь, является составной частью ad «to» и dare «давать», от протоиндоевропейского корня * deh₃- «давать» ; таким образом, добавить - значит отдать . ^[11] Использование герундивного суффикса -nd приводит к «добавлению», «добавляемому». ^[a] Аналогично от Augere «увеличивать» - значит «увеличивать», «увеличивать».

«Сумма» и «слагаемое» происходят от латинского существительного summa «высший, наивысший» и связанного с ним глагола summare . Это уместно не только потому, что сумма двух положительных чисел больше любого из них, но и потому, что древние греки и римляне обычно складывали в большую сторону, в отличие от современной практики сложения в меньшую сторону, так что сумма была буквально больше, чем сумма. добавляет. ^[13] Аддере и Summare восходят, по крайней мере, к Боэцию , если не к более ранним римским писателям, таким как Витрувий и Фронтин ; Боэций также использовал несколько других терминов для операции сложения. ПозжеСреднеанглийские термины «добавление» и «добавление» были популяризированы Чосером . ^[14]

Знак плюс «+» ( Unicode : U + 002B, ASCII : +) это аббревиатура от латинского слова и др , что означает «и». ^[15] Он появляется в математических работах, датируемых по крайней мере 1489 годом. ^[16]

Интерпретации [ править ]

Дополнение используется для моделирования многих физических процессов. Даже для простого случая сложения натуральных чисел существует множество возможных интерпретаций и даже более наглядных представлений.

Объединение наборов [ править ]

Возможно, наиболее фундаментальная интерпретация сложения заключается в объединении множеств:

• Когда две или несколько непересекающихся коллекций объединяются в одну коллекцию, количество объектов в одной коллекции является суммой количества объектов в исходных коллекциях.

Эту интерпретацию легко визуализировать с небольшой опасностью двусмысленности. Он также полезен в высшей математике (его строгое определение см. Ниже в § Натуральные числа ). Однако не очевидно, как следует расширить эту версию сложения, включив в нее дробные или отрицательные числа. ^[17]

Одно из возможных исправлений - рассмотреть набор объектов, которые можно легко разделить, например пироги или, что еще лучше, сегментированные стержни. ^[18] Вместо того, чтобы просто комбинировать наборы сегментов, стержни могут быть соединены встык, что иллюстрирует другую концепцию сложения: добавление не стержней, а длины стержней.

Увеличение длины [ править ]

Вторая интерпретация сложения заключается в увеличении начальной длины на заданную длину:

• Когда исходная длина увеличивается на заданную величину, окончательная длина является суммой исходной длины и длины удлинения. ^[19]

Сумму a + b можно интерпретировать как двоичную операцию, которая объединяет a и b в алгебраическом смысле, или ее можно интерпретировать как добавление еще b единиц к a . Согласно последней интерпретации, части суммы a + b играют асимметричные роли, и операция a + b рассматривается как применение унарной операции + b к a . ^[20] Вместо того, чтобы называть слагаемые a и b , более уместно называтьaugend в этом случае, так как играет пассивную роль. Унарное представление также полезно при обсуждении вычитания , потому что каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания и наоборот .

Свойства [ править ]

Коммутативность [ править ]

Сложение является коммутативным , что означает, что можно изменить порядок членов в сумме, но все равно получить тот же результат. Символически, если a и b - любые два числа, то

а + Ь = Ь + а .

Тот факт, что сложение является коммутативным, известен как «коммутативный закон сложения» или «коммутативное свойство сложения». Некоторые другие бинарные операции коммутативны, например умножение, но многие другие нет, например вычитание и деление.

Ассоциативность [ править ]

Сложение является ассоциативным , что означает, что при сложении трех или более чисел порядок операций не влияет на результат.

Например, следует ли определять выражение a + b + c как означающее ( a + b ) + c или a + ( b + c )? Учитывая, что сложение ассоциативно, выбор определения не имеет значения. Для любых трех чисел a , b и c верно, что ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Например, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Когда сложение используется вместе с другими операциями, порядок операций становится важным. В стандартном порядке операций сложение имеет более низкий приоритет, чем возведение в степень , корни n-й степени , умножение и деление, но имеет тот же приоритет, что и вычитание. ^[21]

Элемент идентичности [ править ]

При добавлении нуля к любому числу количество не меняется; ноль - это элемент идентичности для сложения, также известный как аддитивная идентичность . В символах для любого a ,

а + 0 = 0 + а = а .

Этот закон был впервые идентифицирован в Брахмагупте «s Brahmasphutasiddhanta в 628 г. н.э., хотя он написал это как три отдельных законов, в зависимости от того , отрицательные, положительного, или обнулять себя, и он использовал слова , а не алгебраические символов. Позже индийские математики уточнили эту концепцию; Примерно в 830 году Махавира писал: «ноль становится тем же, что к нему прибавляется», что соответствует унарному утверждению 0 + a = a . В XII веке Бхаскара писал: «При добавлении шифра или его вычитании количество, положительное или отрицательное, остается неизменным», что соответствует унарному утверждению a+ 0 = а . ^[22]

Преемник [ править ]

В контексте целых чисел, добавление одного также играет особую роль: для любого целого числа а , целое число ( + 1) является наименьшим целым числом , большим , чем , также известный как преемника из . ^[23] Например, 3 является преемником 2, а 7 является преемником 6. Из-за этой последовательности значение a + b также может рассматриваться как b- й преемник a , что делает добавление повторной последовательности. Например, 6 + 2 равно 8, потому что 8 является преемником 7, который является преемником 6, что делает 8 вторым преемником 6.

Единицы [ править ]

Чтобы численно сложить физические величины с единицами , они должны быть выражены в общих единицах. ^[24] Например, добавление 50 миллилитров к 150 миллилитрам дает 200 миллилитров. Однако если 5 футов увеличить на 2 дюйма, получится 62 дюйма, поскольку 60 дюймов являются синонимами 5 футов. С другой стороны, обычно бессмысленно пытаться прибавить 3 метра и 4 квадратных метра, поскольку эти единицы несопоставимы; такого рода соображения являются фундаментальными в анализе размерностей .

Выполнение сложения [ править ]

Врожденная способность [ править ]

Исследования математического развития, начатые примерно в 1980-х годах, использовали феномен привыкания : младенцы дольше смотрят на неожиданные ситуации. ^[25] Оригинальный эксперимент Карен Винн в 1992 году с куклами Микки Мауса, которыми манипулируют за ширмой, продемонстрировал, что пятимесячные младенцы ожидают, что 1 + 1 будет 2, и они сравнительно удивлены, когда физическая ситуация, кажется, подразумевает, что 1 + 1 равно 1 или 3. С тех пор этот вывод был подтвержден множеством лабораторий, использующих разные методологии. ^[26] Еще один эксперимент 1992 года с детьми старшего возраста.в возрасте от 18 до 35 месяцев использовали развитие моторного контроля, позволяя им извлекать мячи для пинг-понга из коробки; самые молодые хорошо ответили на небольшие числа, в то время как испытуемые старшего возраста могли вычислить суммы до 5. ^[27]

Даже некоторые животные, не являющиеся людьми, демонстрируют ограниченную способность к добавлению, особенно приматы . В эксперименте 1995 года, имитирующем результат Винна 1992 года (но с использованием баклажанов вместо кукол), макаки-резус и тамарин- макаки работали так же, как и человеческие младенцы. Более того, после обучения значениям арабских цифр от 0 до 4, один шимпанзе смог вычислить сумму двух цифр без дальнейшего обучения. ^[28] Совсем недавно азиатские слоны продемонстрировали способность выполнять основную арифметику. ^[29]

Обучение в детстве [ править ]

Как правило, дети сначала осваивают счет . Когда возникает задача, требующая объединения двух и трех предметов, маленькие дети моделируют ситуацию с помощью физических объектов, часто пальцев или рисунка, а затем подсчитывают общую сумму. По мере накопления опыта они изучают или открывают для себя стратегию «подсчета»: их просят найти два плюс три, дети считают три четверти, говорят «три, четыре, пять » (обычно ставят галочку на пальцах) и получают пять. . Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко подобрать его у сверстников или учителей. ^[30]Большинство обнаруживают это самостоятельно. Обладая дополнительным опытом, дети учатся складывать быстрее, используя коммутативность сложения, считая от большего числа, в данном случае начиная с трех и считая «четыре, пять ». В конце концов дети начинают вспоминать определенные факты сложения (« числовые связи ») либо на собственном опыте, либо наизусть. Как только некоторые факты запоминаются, дети начинают извлекать неизвестные факты из известных. Например, ребенок, которого попросили сложить шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12, а затем решить, что 6 + 7 - это на единицу больше, или 13. ^[31]Такие производные факты можно найти очень быстро, и большинство учеников начальной школы в конечном итоге полагаются на смесь заученных и извлеченных фактов, чтобы свободно добавлять их. ^[32]

Разные страны вводят целые числа и арифметику в разном возрасте, а во многих странах в дошкольных учреждениях преподают сложение. ^[33] Однако во всем мире сложение преподается к концу первого года начальной школы. ^[34]

Таблица [ править ]

Детям часто предлагают для запоминания таблицу сложения пар чисел от 0 до 9. Зная это, дети могут выполнять любое сложение.

Десятичная система [ править ]

Предварительным условием сложения в десятичной системе является беглый вызов или вывод 100 однозначных «фактов сложения». Можно запомнить все факты наизусть , но стратегии, основанные на шаблонах, более информативны и для большинства людей более эффективны: ^[35]

• Коммутативное свойство : Упомянутое выше использование шаблона a + b = b + a уменьшает количество «фактов сложения» со 100 до 55.
• Еще одно или два : сложение 1 или 2 - основная задача, и ее можно решить, полагаясь на или, в конечном счете, на интуицию . ^[35]
• Ноль : поскольку ноль является аддитивным тождеством, добавление нуля тривиально. Тем не менее, при обучении арифметике некоторые студенты знакомятся с сложением как процессом, который всегда увеличивает слагаемые; проблемы со словами могут помочь рационализировать «исключение» нуля. ^[35]
• Двойники : сложение числа само по себе связано со счетом на два и умножением . Факты-двойники составляют основу многих связанных фактов, и учащиеся находят их относительно легкими для понимания. ^[35]
• Почти двойные : такие суммы, как 6 + 7 = 13, могут быть быстро получены из факта удвоений 6 + 6 = 12 , добавив еще один, или из 7 + 7 = 14, но вычитая один. ^[35]
• Пять и десять : суммы в форме 5 + x и 10 + x обычно запоминаются рано и могут использоваться для получения других фактов. Например, 6 + 7 = 13 можно получить из 5 + 7 = 12 , добавив еще один. ^[35]
• Десять : продвинутая стратегия использует 10 как промежуточное звено для сумм, включающих 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 . ^[35]

По мере взросления учащиеся запоминают больше фактов и учатся быстро и плавно извлекать другие факты. Многие студенты никогда не запоминают все факты, но все же могут быстро найти любой основной факт. ^[32]

Нести [ править ]

Стандартный алгоритм добавления многозначных чисел заключается в выравнивании слагаемых по вертикали и добавлении столбцов, начиная с столбца единиц справа. Если в столбце больше девяти, дополнительная цифра « переносится » в следующий столбец. Например, в сложении 27 + 59

 ¹ 27+ 59———— 86

7 + 9 = 16, а цифра 1 - перенос. ^[b] В альтернативной стратегии сложение начинается со старшей цифры слева; этот маршрут делает транспортировку немного неудобной, но позволяет быстрее получить приблизительную сумму. Есть много альтернативных методов.

Десятичные дроби [ править ]

Десятичные дроби могут быть добавлены простой модификацией описанного выше процесса. ^[36] Один выравнивает две десятичные дроби друг над другом, с десятичной точкой в ​​одном и том же месте. При необходимости можно добавить нули в конце к более короткому десятичному знаку, чтобы он был такой же длины, как и более длинный десятичный разделитель. Наконец, выполняется тот же процесс сложения, что и выше, за исключением того, что десятичная точка помещается в ответ точно там, где она была размещена в слагаемых.

Например, 45.1 + 4.34 можно решить следующим образом:

 4 5. 1 0+ 0 4. 3 4———————————— 4 9. 4 4

Научная запись [ править ]

В научных обозначениях числа записываются в виде , где - значение, а - экспоненциальная часть. Сложение требует, чтобы два числа в экспоненциальном представлении были представлены с использованием одной и той же экспоненциальной части, чтобы можно было просто сложить два значащих числа.${\ displaystyle x = a \ times 10 ^ {b}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 10 ^ {b}}$

Например:

${\ displaystyle 2.34 \ times 10 ^ {- 5} +5.67 \ times 10 ^ {- 6} = 2.34 \ times 10 ^ {- 5} +0,567 \ times 10 ^ {- 5} = 2,907 \ times 10 ^ {- 5}}$

Недесятичные [ править ]

Сложение в других базах очень похоже на десятичное сложение. В качестве примера можно рассмотреть сложение в двоичном формате. ^[37] Сложить два однозначных двоичных числа относительно просто, используя форму переноса:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, перенесем 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

Добавление двух цифр «1» дает цифру «0», а 1 необходимо добавить в следующий столбец. Это похоже на то, что происходит в десятичной системе счисления, когда некоторые однозначные числа складываются вместе; если результат равен или превышает значение системы счисления (10), цифра слева увеличивается:

5 + 5 → 0, перенесем 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, перенесем 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Это называется переноской . ^[38] Когда результат сложения превышает значение цифры, процедура состоит в том, чтобы «перенести» избыточное количество, разделенное на основание системы счисления (то есть 10/10), влево, добавив его к следующему позиционному значению. Это правильно, поскольку вес следующей позиции выше на коэффициент, равный основанию системы счисления. В двоичном формате перенос работает точно так же:

 1 1 1 1 1 (переносимые цифры) 0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере складываются две цифры: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) и 10111 ₂ (23 ₁₀ ). В верхнем ряду показаны использованные биты переноса. Начиная с крайнего правого столбца, 1 + 1 = 10 ₂ . 1 переносится влево, а 0 пишется внизу самого правого столбца. Добавляется второй столбец справа: снова 1 + 0 + 1 = 10 ₂ ; переносится 1, а внизу пишется 0. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . На этот раз переносится 1, а в нижнем ряду написано 1. В результате получается окончательный ответ 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Компьютеры [ править ]

Аналоговые компьютеры работают напрямую с физическими величинами, поэтому их механизмы сложения зависят от формы слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых положения скользящих блоков, и в этом случае они могут быть добавлены с помощью рычага усреднения . Если слагаемые скорости вращения двух валов , их можно сложить с помощью дифференциала . Гидравлический сумматор может добавлять давления в двух камерах, используя второй закон Ньютона для уравновешивания сил, действующих на узел поршней . Наиболее распространенная ситуация для аналогового компьютера общего назначения - добавить два напряжения (относительно земли); это можно сделать примерно с помощью резисторной сети , но в лучшей конструкции используется операционный усилитель . ^[39]

Добавление также имеет фундаментальное значение для работы цифровых компьютеров , где эффективность добавления, в частности механизма переноса , является важным ограничением для общей производительности.

Счеты , называемый также подсчета кадров, является расчет инструмент , который был в использовании веков до принятия письменных современной системы счисления , и до сих пор широко используется торговцами, торговцами и клерки в Азии , Африке и в других местах; он датируется по крайней мере 2700–2300 гг. до н.э., когда его использовали в Шумере . ^[40]

Блез Паскаль изобрел механический калькулятор в 1642 году; ^[41] это была первая действующая арифметическая машина . В нем использовался механизм переноски с гравитацией. Это был единственный действующий механический калькулятор в 17 веке ^[42] и самый ранний автоматический цифровой компьютер. Калькулятор Паскаля был ограничен механизмом переноски, который заставлял его колеса поворачиваться только в одну сторону, чтобы он мог складывать. Для вычитания оператору приходилось использовать дополнение калькулятора Паскаля , которое требовало столько же шагов, сколько и сложение. Джованни Полени последовал за Паскалем, построив в 1709 году второй функциональный механический калькулятор - счетные часы из дерева, которые после настройки могли автоматически умножать два числа.

Сумматоры выполняют сложение целых чисел в электронных цифровых компьютерах, обычно используя двоичную арифметику . Самая простая архитектура - это сумматор с переносом пульсаций, который следует стандартному многозначному алгоритму. Одно небольшое улучшение - конструкция пропуска переноса , опять же следуя человеческой интуиции; один не выполняет всех переносов при вычислении 999 + 1 , но обходит группу девяток и переходит к ответу. ^[43]

На практике вычислительное сложение может быть достигнуто с помощью побитовых логических операций XOR и AND в сочетании с операциями битового сдвига, как показано в псевдокоде ниже. И XOR, и логические элементы AND легко реализовать в цифровой логике, что позволяет реализовать полные схемы сумматора, которые, в свою очередь, могут быть объединены в более сложные логические операции. В современных цифровых компьютерах сложение целых чисел обычно является самой быстрой арифметической инструкцией, но при этом оказывает наибольшее влияние на производительность, поскольку лежит в основе всех операций с плавающей запятой, а также таких базовых задач, как генерация адреса во время доступа к памяти и выборка инструкций во времяразветвление . Для увеличения скорости современные конструкции вычисляют цифры параллельно ; эти схемы носят такие имена, как выбор переноса, просмотр вперед и псевдоперенос Линга . Фактически, многие реализации являются гибридами этих трех последних разработок. ^{[44] [45]} В отличие от добавления на бумаге, добавление на компьютере часто меняет слагаемые. На древних счетах и суммирующей доске оба слагаемых уничтожаются, остается только сумма. Влияние счётов на математическое мышление было достаточно сильным, поэтому ранние латинские тексты часто утверждали, что в процессе добавления «числа к числу» оба числа исчезают. ^[46]В наше время команда ADD микропроцессора часто заменяет augend суммой, но сохраняет слагаемое. ^[47] В языке программирования высокого уровня вычисление a + b не изменяет ни a, ни b ; если цель состоит в том, чтобы заменить a суммой, это должно быть явно запрошено, обычно с помощью оператора a = a + b . Некоторые языки, такие как C или C ++, позволяют сокращать это как a + = b .

// Итерационный алгоритм int  add ( int  x ,  int  y )  {  int  carry  =  0 ;  в то время как  ( у  ! =  0 )  {  нести  =  И ( х ,  у );  // Логическое И  x  =  XOR ( x ,  y );  // Логический XOR  y  =  carry  <<  1 ;  // сдвиг влево переносится на единицу  }  return  x ;  }// Рекурсивный алгоритм int  add ( int  x ,  int  y )  {  return  x  if  ( y  ==  0 )  else  add ( XOR ( x ,  y ),  AND ( x ,  y )  <<  1 ); }

На компьютере, если результат сложения слишком велик для сохранения, происходит арифметическое переполнение , что приводит к неправильному ответу. Непредвиденное арифметическое переполнение - довольно частая причина ошибок программы . Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, поскольку они могут проявляться только для очень больших наборов входных данных, которые с меньшей вероятностью будут использоваться в проверочных тестах. ^[48] Проблема 2000 года представляла собой серию ошибок, когда ошибки переполнения возникали из-за использования двухзначного формата в течение многих лет. ^[49]

Сложение чисел [ править ]

Чтобы доказать обычные свойства сложения, нужно сначала определить добавление для рассматриваемого контекста. Сложение сначала определяется для натуральных чисел . В теории множеств сложение затем распространяется на все более крупные множества, которые включают натуральные числа: целые числа , рациональные числа и действительные числа . ^[50] (В математическом образовании , ^[51] положительные фракции добавлены до отрицательные числа даже считается;. Это также исторический маршрут ^[52] )

Натуральные числа [ править ]

Есть два популярных способа определить сумму двух натуральных чисел a и b . Если определить натуральные числа как мощности конечных множеств (мощность множества - это количество элементов в множестве), то целесообразно определить их сумму следующим образом:

• Пусть N ( S ) является мощность множества S . Возьмем два непересекающихся множества A и B , где N ( A ) = a и N ( B ) = b . Тогда a + b определяется как . ^[53]${\ Displaystyle N (A \ чашка B)}$

Здесь, ∪ B является объединением из A и B . Альтернативная версия этого определения позволяет A и B, возможно, перекрываться, а затем использует их несвязное объединение , механизм, который позволяет разделять общие элементы и, следовательно, подсчитывать их дважды.

Другое популярное определение - рекурсивное:

• Пусть п ⁺ быть преемник по п , то есть число следующего п в натуральных числах, так что 0 ⁺ = 1, 1 ⁺ = 2. Определим a + 0 = a . Рекурсивно определить общую сумму как a + ( b ⁺ ) = ( a + b ) ⁺ . Следовательно, 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = 1 ⁺ = 2 . ^[54]

Опять же, в литературе есть незначительные вариации этого определения. Буквально приведенное выше определение является приложением теоремы о рекурсии на частично упорядоченном множестве N ² . ^[55] С другой стороны, некоторые источники предпочитают использовать ограниченную теорему рекурсии, которая применяется только к набору натуральных чисел. Затем каждый считает a временно "фиксированным", применяет рекурсию к b для определения функции " a  +" и вставляет эти унарные операции для всех a вместе, чтобы сформировать полную двоичную операцию. ^[56]

Эта рекурсивная формулировка сложения была разработана Дедекиндом еще в 1854 году, и он расширит ее в следующие десятилетия. ^[57] Он доказал ассоциативные и коммутативные свойства, среди прочего, с помощью математической индукции .

Целые числа [ править ]

Простейшая концепция целого числа состоит в том, что оно состоит из абсолютного значения (которое является натуральным числом) и знака (обычно положительного или отрицательного ). Целое число ноль - это особый третий случай, который не является ни положительным, ни отрицательным. Соответствующее определение сложения должно исходить из случаев:

• Для целого числа n пусть | п | быть его абсолютным значением. Пусть a и b целые числа. Если либо a, либо b равно нулю, рассматривать его как идентичность. Если a и b положительны, определите a + b = | а | + | б | . Если a и b оба отрицательны, определите a + b = - (| a | + | b |) . Если a и b имеют разные знаки, определите a+ b, чтобы быть разницей между | а | и | b |, со знаком члена, абсолютное значение которого больше. ^[58] Например, −6 + 4 = −2 ; поскольку −6 и 4 имеют разные знаки, их абсолютные значения вычитаются, а поскольку абсолютное значение отрицательного члена больше, ответ отрицательный.

Хотя это определение может быть полезно для конкретных задач, количество рассматриваемых случаев излишне усложняет доказательства. Поэтому для определения целых чисел обычно используется следующий метод. Он основан на замечании о том, что каждое целое число является разностью двух натуральных чисел и что две такие разности, a - b и c - d , равны тогда и только тогда, когда a + d = b + c . Таким образом, можно формально определить целые числа , как на классы эквивалентности в упорядоченных пар натуральных чисел по отношению эквивалентности

( a , b ) ~ ( c , d ) тогда и только тогда, когда a + d = b + c .

Класс эквивалентности ( a , b ) содержит либо ( a - b , 0), если a ≥ b , либо (0, b - a ) в противном случае. Если n натуральное число, можно обозначить + n класс эквивалентности ( n , 0) , а через - n класс эквивалентности (0, n ) . Это позволяет отождествить натуральное число n с классом эквивалентности + n.

Добавление упорядоченных пар производится покомпонентно:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

Прямое вычисление показывает, что класс эквивалентности результата зависит только от классов эквивалентности слагаемых, и, таким образом, это определяет добавление классов эквивалентности, то есть целых чисел. ^[59] Другое простое вычисление показывает, что это добавление совпадает с приведенным выше определением случая.

Этот способ определения целых чисел как классов эквивалентности пар натуральных чисел может использоваться для включения в группу любой коммутативной полугруппы со свойством сокращения . Здесь полугруппа образована натуральными числами, а группа - аддитивной группой целых чисел. Аналогично строятся рациональные числа, взяв в качестве полугруппы ненулевые целые числа с умножением.

Эта конструкция также была обобщена под названием группы Гротендика на случай любой коммутативной полугруппы. Без свойства сокращения гомоморфизм полугруппы из полугруппы в группу может быть неинъективным. Первоначально группа Гротендика была, точнее говоря, результатом этой конструкции, примененной к классам эквивалентности при изоморфизмах объектов абелевой категории с прямой суммой как полугрупповой операцией.

Рациональные числа (дроби) [ править ]

Сложение рациональных чисел может быть вычислено с использованием наименьшего общего знаменателя , но концептуально более простое определение включает только целочисленное сложение и умножение:

• Определять ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Например, сумма .${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$

Сложить дроби намного проще, когда знаменатели совпадают; в этом случае можно просто сложить числители, оставив знаменатель прежним:, итак . ^[60]${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$

Коммутативность и ассоциативность рационального сложения - простое следствие законов целочисленной арифметики. ^[61] Для более строгого и общего обсуждения см. Поле дробей .

Реальные числа [ править ]

Распространенной конструкцией множества действительных чисел является дедекиндовское пополнение множества рациональных чисел. Действительное число определяется как дедекиндовский разрез рациональных чисел: непустой набор рациональных чисел, замкнутый вниз и не имеющий наибольшего элемента . Сумма действительных чисел a и b определяется поэлементно:

• Определить ^[62]${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$

Это определение было впервые опубликовано в слегка измененной форме Ричардом Дедекиндом в 1872 году. ^[63] Коммутативность и ассоциативность действительного сложения очевидны; определяя действительное число 0 как набор отрицательных рациональных чисел, легко увидеть, что это аддитивное тождество. Вероятно, самая сложная часть этой конструкции, относящаяся к сложению, - это определение аддитивных инверсий. ^[64]

К сожалению, умножение сокращений Дедекинда - это трудоемкий индивидуальный процесс, аналогичный сложению целых чисел со знаком. ^[65] Другой подход - метрическое пополнение рациональных чисел. Действительное число по существу определяется как предел последовательности рациональных чисел Коши , lim  a _n . Дополнение определяется по срокам:

• Определить ^[66]${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$

Это определение было впервые опубликовано Георгом Кантором также в 1872 году, хотя его формализм несколько отличался. ^[67] Необходимо доказать, что эта операция корректно определена, имея дело с ко-последовательностями Коши. Как только эта задача будет выполнена, все свойства реального сложения немедленно следуют из свойств рациональных чисел. Более того, другие арифметические операции, включая умножение, имеют простые аналогичные определения. ^[68]

Комплексные числа [ править ]

Комплексные числа складываются путем сложения действительной и мнимой частей слагаемых. ^{[69] [70]} То есть:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

Используя визуализацию комплексных чисел на комплексной плоскости, сложение имеет следующую геометрическую интерпретацию: сумма двух комплексных чисел A и B , интерпретируемых как точки комплексной плоскости, представляет собой точку X, полученную путем построения параллелограмма, три вершины которого являются O , A и B . Эквивалентно, Х является точка, что треугольники с вершинами О , , В и Х , В , , являются конгруэнтны .

Обобщения [ править ]

Есть много бинарных операций, которые можно рассматривать как обобщения операции сложения действительных чисел. Поле абстрактной алгебры в центре связанно с такими обобщенными операциями, и они также появляются в теории множеств и теории категорий .

Абстрактная алгебра [ править ]

Векторы [ править ]

В линейной алгебре , А векторное пространство является алгебраической структурой , которая позволяет добавлять любые два вектора и для масштабирования векторов. Знакомое векторное пространство - это набор всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара ( a , b ) интерпретируется как вектор от начала координат на евклидовой плоскости до точки ( a , b ) на плоскости. Сумма двух векторов получается сложением их индивидуальных координат:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

Эта операция сложения является центральной в классической механике , в которой векторы интерпретируются как силы .

Матрицы [ править ]

Сложение матриц определяется для двух матриц одинаковых размеров. Сумма двух матриц A и B размером m × n (произносится как «m by n») , обозначаемых A + B , снова представляет собой матрицу размера m × n, вычисляемую путем сложения соответствующих элементов: ^{[71] [72]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

Модульная арифметика [ править ]

В модульной арифметике набор целых чисел по модулю 12 состоит из двенадцати элементов; он наследует операцию сложения целых чисел, которая является центральной в теории музыкальных множеств . Набор целых чисел по модулю 2 состоит всего из двух элементов; унаследованная им операция сложения известна в булевой логике как функция « исключающее ИЛИ ». В геометрии сумма двух угловых мер часто принимается как их сумма в виде действительных чисел по модулю 2π. Это составляет операцию сложения на окружности , которая, в свою очередь, обобщается на операции сложения на многомерных торах .

Общая теория [ править ]

Общая теория абстрактной алгебры позволяет операцией «сложения» быть любой ассоциативной и коммутативной операцией на множестве. Основные алгебраические структуры с такой операцией сложения включают коммутативные моноиды и абелевы группы .

Теория множеств и теория категорий [ править ]

Одним из далеко идущих обобщений сложения натуральных чисел является сложение порядковых и кардинальных чисел в теории множеств. Они дают два разных обобщения добавления натуральных чисел к трансфиниту . В отличие от большинства операций сложения, сложение порядковых чисел не коммутативно. Однако сложение кардинальных чисел - это коммутативная операция, тесно связанная с операцией несвязного объединения .

В теории категорий дизъюнктное объединение рассматривается как частный случай операции копроизведения , а общие копроизведения, возможно, являются наиболее абстрактными из всех обобщений сложения. Некоторые сопутствующие произведения, такие как прямая сумма и сумма клина , названы так, чтобы показать их связь с сложением.

Связанные операции [ править ]

Сложение, наряду с вычитанием, умножением и делением, считается одной из основных операций и используется в элементарной арифметике .

Арифметика [ править ]

Вычитание можно рассматривать как своего рода сложение, то есть добавление обратного аддитивного . Вычитание само по себе является своего рода обратным сложению, поскольку сложение x и вычитание x являются обратными функциями .

Учитывая набор с операцией сложения, нельзя всегда определить соответствующую операцию вычитания на этом наборе; набор натуральных чисел - простой пример. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения, аддитивную обратную операцию и аддитивную идентичность; по этой причине аддитивную группу можно описать как множество, замкнутое при вычитании. ^[73]

Умножение можно рассматривать как повторное сложение . Если один член x встречается в сумме n раз, то сумма является произведением n и x . Если n не является натуральным числом , произведение все равно может иметь смысл; например, умножение на -1 дает аддитивное обратное число.

В действительных и комплексных числах сложение и умножение можно поменять местами экспоненциальной функцией : ^[74]

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$

Это тождество позволяет умножение быть осуществлено путем консультаций таблицы из логарифмов и вычисления добавления вручную; он также позволяет умножать на логарифмической линейке . Формула по-прежнему является хорошим приближением первого порядка в широком контексте групп Ли , где она связывает умножение бесконечно малых групповых элементов со сложением векторов в связанной алгебре Ли . ^[75]

Есть даже больше обобщений умножения, чем сложения. ^[76] В общем, операции умножения всегда распределяются по сложению; это требование формализовано в определении кольца . В некоторых контекстах, таких как целые числа, распределенность по сложению и наличие мультипликативной идентичности достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Свойство распределения также предоставляет информацию о добавлении; расширяя произведение (1 + 1) ( a + b ) в обоих направлениях, можно сделать вывод, что сложение должно быть коммутативным. По этой причине сложение колец вообще коммутативно. ^[77]

Деление - это арифметическая операция, удаленно связанная со сложением. Поскольку a / b = a ( b ⁻¹ ) , деление дистрибутивно справа над сложением: ( a + b ) / c = a / c + b / c . ^[78] Однако деление не является распределением по сравнению с сложением; 1 / (2 + 2) не то же самое, что 1/2 + 1/2 .

Заказ [ править ]

Максимальная операция «max ( a , b )» - это двоичная операция, аналогичная сложению. На самом деле, если два неотрицательных числа a и b имеют разные порядки величины , то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение чрезвычайно полезно в математических приложениях, например, при усечении ряда Тейлора . Однако это представляет собой постоянную трудность для численного анализа , в основном потому, что "max" не обратимо. Если b намного больше, чем a , то прямое вычисление ( a + b ) - bможет накапливать недопустимую ошибку округления , возможно, даже возвращая ноль. См. Также Потеря значимости .

Приближение становится точным в своего рода бесконечном пределе; если a или b - бесконечное кардинальное число , их кардинальная сумма в точности равна большему из двух. ^[80] Соответственно, для бесконечных кардиналов нет операции вычитания. ^[81]

Максимизация коммутативна и ассоциативна, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет порядок действительных чисел, сложение распределяется по "max" так же, как умножение распределяется по сложению:

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$

По этим причинам в тропической геометрии умножение заменяется сложением, а сложение - максимизацией. В этом контексте сложение называется «тропическим умножением», максимизация - «тропическим сложением», а тропическая «аддитивная идентичность» - отрицательной бесконечностью . ^[82] Некоторые авторы предпочитают заменять добавление минимизацией; тогда аддитивная единица равна положительной бесконечности. ^[83]

Связывая эти наблюдения вместе, тропическое сложение приблизительно связано с регулярным сложением через логарифм :

${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$

что становится более точным с увеличением основания логарифма. ^[84] Приближение может быть сделано точным путем извлечения константы h , названной по аналогии с постоянной Планка из квантовой механики , ^[85] и принятия « классического предела », когда h стремится к нулю:

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

В этом смысле операция максимума - это деквантованная версия сложения. ^[86]

Другие способы добавить [ редактировать ]

Приращение, также известное как операция преемника , - это прибавление 1 к числу.

Суммирование описывает сложение произвольного количества чисел, обычно более двух. Он включает в себя идею суммы одного числа, которое есть само по себе, и пустой суммы , которая равна нулю . ^[87] Бесконечное суммирование - это деликатная процедура, известная как ряд . ^[88]

Подсчет конечного набора эквивалентен суммированию 1 по набору.

Интегрирование - это своего рода «суммирование» по континууму , точнее и вообще по дифференцируемому многообразию . Интегрирование по нульмерному многообразию сводится к суммированию.

Линейные комбинации сочетают умножение и суммирование; они представляют собой суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычно действительное или комплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в ситуациях , когда просто добавление будет нарушать некоторые правила нормализации, такие как смешение из стратегий в теории игр или суперпозиции из состояний в квантовой механике .

Свертка используется для добавления двух независимых случайных величин, определенных функциями распределения . Его обычное определение сочетает в себе интегрирование, вычитание и умножение. В общем, свертка полезна как своего рода дополнение на стороне домена; Напротив, сложение векторов - это своего рода добавление на стороне диапазона.

См. Также [ править ]

• Счет в уме
• Параллельное сложение (математика)
• Словесная арифметика (также известная как криптарифметика), головоломки на сложение

Заметки [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Баруди, Артур; Тииликайнен, Сирпа (2003). Развитие арифметических понятий и навыков. Две точки зрения на развитие дополнения . Рутледж. п. 75 . ISBN 0-8058-3155-X.
• Дэвисон, Дэвид М .; Ландау, Марша С .; Маккракен, Лия; Томпсон, Линда (1999). Математика: исследования и приложения (TE ред.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-435817-8.
• Bunt, Lucas NH; Джонс, Филип С .; Бедиент, Джек Д. (1976). Исторические корни элементарной математики . Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-389015-0.
• Пунен, Бьорн (2010). «Дополнение» . Бюллетень Girls 'Angle . 3 (3-5). ISSN  2151-5743 .
• Уивер, Дж. Фред (1982). Сложение и вычитание: когнитивная перспектива. Интерпретации числовых операций и символические представления сложения и вычитания . Тейлор и Фрэнсис. п. 60. ISBN 0-89859-171-6.