Подсчет

Подсчет представляет собой процесс определения числа из элементов одного конечного множества объектов. Традиционный способ подсчета состоит в непрерывном увеличении (мысленного или устного) счетчика на единицу для каждого элемента набора в определенном порядке, при этом отмечая (или смещая) эти элементы, чтобы избежать посещения одного и того же элемента более одного раза, пока не прекратится остаются немаркированные элементы; если счетчик был установлен на единицу после первого объекта, значение после посещения последнего объекта дает желаемое количество элементов. Связанный термин перечисление относится к уникальной идентификации элементов конечного (комбинаторного) набора или бесконечного набора путем присвоения номера каждому элементу.

В счет иногда используются числа, отличные от единицы; например, при счете денег, отсчете сдачи, «счете по два» (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) или «счете по пять» (5, 10, 15, 20, 25 , ...).

Существуют археологические данные, свидетельствующие о том, что люди вели подсчет по крайней мере 50 000 лет. ^[1] Подсчет в основном использовался в древних культурах для отслеживания социальных и экономических данных, таких как количество членов группы, добыча животных, собственность или долги (то есть бухгалтерский учет ). Зубчатые кости были также найдены в Пограничных пещерах в Южной Африке, что может свидетельствовать о том, что концепция счета была известна людям еще в 44000 году до нашей эры. ^[2] Развитие счета привело к развитию математической записи , систем счисления и письма .

Формы подсчета [ править ]

Подсчет по счетным меткам на пляже Ханакапяй

Подсчет может происходить в самых разных формах.

Подсчет может быть словесным; то есть произносить каждое число вслух (или мысленно), чтобы отслеживать прогресс. Это часто используется для подсчета уже имеющихся объектов, вместо того, чтобы подсчитывать различные вещи с течением времени.

Подсчет также может осуществляться в виде отметок , когда делается отметка для каждого числа, а затем подсчитываются все отметки после подсчета. Это полезно при подсчете объектов с течением времени, например, количества раз, когда что-то происходит в течение дня. Подсчет ведется по основанию 1; нормальный счет выполняется по основанию 10. Компьютеры используют счет по основанию 2 (нули и единицы), также известный как булева алгебра .

Счет также может осуществляться в форме счета по пальцам , особенно при подсчете небольших чисел. Это часто используется детьми для облегчения счета и выполнения простых математических операций. Для подсчета пальцев используется унарная запись (один палец = одна единица), поэтому он ограничен счетом до 10 (если вы не начинаете с пальцев ног). В старых методах подсчета пальцев использовались четыре пальца и три кости на каждом пальце ( фаланге ), чтобы считать до числа двенадцать. ^[3] Также используются другие системы жестов рук, например китайская система, по которой можно считать до 10, используя жесты только одной руки. Используя двоичный код пальца (счет по основанию 2), можно вести счет пальца до 1023 = 2 · ¹⁰ - 1 .

Для облегчения подсчета можно также использовать различные устройства, такие как ручные счетчики и счеты .

Инклюзивный подсчет [ править ]

Инклюзивный счет обычно встречается при работе со временем в романских языках. ^[4] В языках эксклюзивного подсчета, таких как английский, при отсчете «8» дней с воскресенья понедельник будет днем 1 , вторник - днем 2 , а следующий понедельник будет восьмым днем . При подсчете «включительно» воскресенье (день начала) будет днем 1, и, следовательно, следующее воскресенье будет восьмым днем . Например, французское словосочетание « две недели » - quinzaine (15 [дней]), и похожие слова присутствуют в греческом (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero ), испанском ( quincena) и португальский ( quinzena ). Напротив, само английское слово «две недели» происходит от «четырнадцати ночей», а архаичное « sennight » - от «семи ночей»; английские слова не являются примерами инклюзивного счета.

Имена, основанные на инклюзивном счете, появляются и в других календарях: в римском календаре нон (означает «девять») на 8 дней раньше ид ; а в христианском календаре Quinquagesima (то есть 50) - это 49 дней до пасхального воскресенья.

В музыкальной терминологии также используется инклюзивный подсчет интервалов между нотами стандартной шкалы: подъем на одну ноту - это второй интервал, подъем на две ноты - это третий интервал и т. Д., Подъем на семь нот - октава .

Образование и развитие [ править ]

Обучение счету является важной вехой в образовании и развитии в большинстве культур мира. Обучение счету - это самый первый шаг ребенка в математику и составляет самую фундаментальную идею этой дисциплины. Однако некоторые культуры в Амазонии и австралийской глубинке не считаются ^{[5] [6],} а их языки не имеют числовых слов.

Многие дети в возрасте всего 2 лет имеют определенные навыки в чтении списка счета (то есть, говоря «один, два, три, ...»). Они также могут ответить на вопросы об обычности для небольших чисел, например, «Что будет после трех ?». Они могут даже научиться указывать на каждый объект в наборе и произносить слова одно за другим. Это приводит многих родителей и педагогов к выводу, что ребенок умеет использовать счет для определения размера набора. ^[7] Исследования показывают, что после изучения этих навыков ребенку требуется около года, чтобы понять, что они означают и почему выполняются процедуры. ^{[8] [9]} А пока дети учатся называть мощности, которые они могут субитизировать .

Счет в математике [ править ]

В математике сущность подсчета набора и нахождения результата n заключается в том, что он устанавливает взаимно однозначное соответствие (или взаимно однозначное соответствие) набора с набором чисел {1, 2, ..., n }. Фундаментальный факт, который можно доказать с помощью математической индукции , заключается в том, что не может существовать взаимно однозначного соответствия между {1, 2, ..., n } и {1, 2, ..., m }, если только n = m ; этот факт (вместе с тем, что две биекции могут быть составленычтобы дать другое взаимное соответствие) гарантирует, что подсчет одного и того же набора разными способами никогда не приведет к разным числам (если не будет сделана ошибка). Это основная математическая теорема, которая дает счету его цель; как бы вы ни считали (конечное) множество, ответ тот же. В более широком контексте теорема является примером теоремы из математической области (конечной) комбинаторики - поэтому (конечную) комбинаторику иногда называют «математикой счета».

Многие множества, возникающие в математике, не позволяют установить биекцию с {1, 2, ..., n } для любого натурального числа n ; они называются бесконечными множествами , а те множества, для которых существует такая биекция (для некоторого n ), называются конечными множествами . Бесконечные множества нельзя считать в обычном смысле; во-первых, математические теоремы, лежащие в основе этого обычного смысла для конечных множеств, неверны для бесконечных множеств. Кроме того, различные определения понятий, в терминах которых сформулированы эти теоремы, хотя и эквивалентны для конечных множеств, не эквивалентны в контексте бесконечных множеств.

Понятие счета может быть распространено на них в смысле установления (существования) взаимно однозначности с некоторым хорошо понятным множеством. Например, если набор может быть сопоставлен с множеством всех натуральных чисел, то он называется « счетно бесконечным ». Этот вид подсчета принципиально отличается от подсчета конечных множеств тем, что добавление новых элементов к набору не обязательно увеличивает его размер, поскольку не исключена возможность взаимного соответствия с исходным множеством. Например, набор всех целых чисел(включая отрицательные числа) могут быть приведены в соответствие с множеством натуральных чисел, и даже, казалось бы, гораздо большие множества, такие как все конечные последовательности рациональных чисел, все еще (только) счетно бесконечны. Тем не менее, есть наборы, такие как набор действительных чисел , которые можно показать как «слишком большие», чтобы допустить взаимное соответствие с натуральными числами, и эти множества называются « несчетными ». Говорят, что множества, между которыми существует взаимно однозначное соответствие, имеют одинаковую мощность, и в самом общем смысле подсчет множества может означать определение его мощности. Помимо мощностей, задаваемых каждым из натуральных чисел, существует бесконечная иерархия бесконечных мощностей, хотя в обычной математике (то есть вне теории множеств, которая явно изучает возможные мощности) встречается очень мало таких мощностей .

Счет, в основном состоящий из конечных множеств, имеет различные приложения в математике. Один важный принцип состоит в том, что если два множества X и Y имеют одинаковое конечное число элементов, а функция f : X → Y, как известно, инъективна , то она также сюръективна , и наоборот. Связанный с этим факт известен как принцип голубятни , который гласит, что если два множества X и Y имеют конечное число элементов n и m с n > m , то любое отображение f : X →У это не инъективны (так существуют два различных элементов X , что F посылает к одному элементу из Y ); это следует из первого принципа, так как если бы f был инъективным, то и его ограничение на строгое подмножество S в X с m элементами было бы сюръективным, что противоречит тому факту, что для x в X вне S , f ( x) не может быть в образе ограничения. Подобные аргументы подсчета могут доказать существование определенных объектов без явного указания примера. В случае бесконечных множеств это применимо даже в ситуациях, когда невозможно привести пример. ^{[ необходима цитата ]}

Область перечислительной комбинаторики имеет дело с вычислением числа элементов конечных множеств без их фактического подсчета; последнее обычно невозможно, потому что сразу рассматриваются бесконечные семейства конечных множеств, например, множество перестановок {1, 2, ..., n } для любого натурального числа n .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]