Система счисления

Числа написаны в разных системах счисления.

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Система счисления (или система счисления ) - это система письма для выражения чисел; то есть математическое обозначение для представления чисел данного набора с использованием цифр или других символов согласованным образом.

Одна и та же последовательность символов может представлять разные числа в разных системах счисления. Например, «11» представляет собой число одиннадцать в десятичной системе счисления (используется в повседневной жизни), число три в двоичной системе счисления (используется в компьютерах ) и число два в унарной системе счисления (например, используется при подсчете баллов).

Число, которое представляет цифра, называется ее значением.

В идеале система счисления будет:

• Представьте полезный набор чисел (например, все целые или рациональные числа )
• Дайте каждому числу представленное уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
• Отражайте алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Например, обычное десятичное представление целых чисел дает каждому ненулевое целое число единственное представление в виде конечной последовательности из цифр , начиная с ненулевой цифры. Однако, когда десятичное представление используется для рациональных или действительных чисел, такие числа, как правило, имеют бесконечное количество представлений, например, 2.31 также можно записать как 2.310, 2.3100000, 2.309999999 ... и т. Д., Все из которых имеют то же значение, за исключением некоторых научных и других контекстов, где большая точность подразумевается большим количеством показанных цифр.

Системы счисления иногда называют системами счисления , но это название неоднозначно, поскольку оно может относиться к различным системам чисел, таким как система действительных чисел , система комплексных чисел , система p -адических чисел и т. Д. однако не являются темой данной статьи.

Основные системы счисления [ править ]

Чаще всего используется десятичная система счисления . Индийским математикам приписывают разработку целочисленной версии, индуистско-арабской системы счисления . ^[1] Арьябхата из Кусумапура разработал обозначение числовой стоимости в V веке, а столетие спустя Брахмагупта ввел символ нуля . Система медленно распространилась на другие окружающие регионы, такие как Аравия, из-за их коммерческой и военной деятельности с Индией. Средневосточные математики расширили систему, включив в нее отрицательные степени 10 ( дроби ), как записано в трактате сирийца.математик Абу'л-Хасан аль-Уклидиси в 952–953 годах, и была введена запись с десятичной точкой ^{[ когда? ]} От Синда ибн Али , который также написал самый ранний трактат на арабские цифры. Затем индуистско-арабская система счисления распространилась в Европе из-за торговли купцами, а цифры, используемые в Европе, называются арабскими цифрами , поскольку они узнали их от арабов.

Простейшая система счисления - это унарная система счисления , в которой каждое натуральное число представлено соответствующим количеством символов. Если , например, выбран символ / , то число семь будет представлено как /////// . Счетные метки представляют собой одну из таких систем, которые все еще широко используются. Унарная система полезна только для небольших чисел, хотя она играет важную роль в теоретической информатике . Гамма-кодирование Элиаса , которое обычно используется при сжатии данных , выражает числа произвольного размера с помощью унарного обозначения длины двоичного числа.

Унарная запись может быть сокращена путем введения различных символов для определенных новых значений. Очень часто это значения степени 10; так, например, если / обозначает единицу, - для десяти и + для 100, то число 304 может быть компактно представлено как +++ ////, а число 123 как + - - /// без необходимости в нуле . Это называется знаковой нотацией . Древняя египетская система счисления принадлежала к этому типу, а римская система счисления была модификацией этой идеи.

Еще более полезными являются системы, в которых используются специальные сокращения для повторения символов; например, используя первые девять букв алфавита для этих сокращений, где A означает «одно вхождение», B «два вхождения» и так далее, можно написать C + D / для числа 304. Эта система используется при написании китайских цифр и других восточноазиатских цифр на основе китайского. Система счисления английского языка относится к этому типу («триста [и] четыре»), как и системы счисления других разговорных языков , независимо от того, какие письменные системы они приняли. Однако многие языки используют смесь основ и других функций,например 79 на французском - это soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ), а на валлийском -pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) или (несколько архаичный) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 - 1 ). По-английски можно было бы сказать «четыре балла меньше одного», как в знаменитом Геттисбергском обращении, где «87 лет назад» обозначалось как «четыре балла и семь лет назад».

Более элегантной является позиционная система , также известная как обозначение места. Опять же, работая с основанием 10, используются десять разных цифр 0, ..., 9, а позиция цифры используется для обозначения степени десяти, на которую должна быть умножена цифра, как в 304 = 3 × 100 + 0. × 10 + 4 × 1 или, точнее, 3 × 10 ² + 0 × 10 ¹ + 4 × 10 ⁰ . Ноль, который не нужен в других системах, имеет здесь решающее значение, чтобы иметь возможность «пропустить» мощность. Индусско-арабская система счисления, которая возникла в Индии и сейчас используется во всем мире, представляет собой позиционную систему с основанием 10.

Арифметика в позиционных системах намного проще, чем в более ранних аддитивных; кроме того, аддитивные системы нуждаются в большом количестве различных символов для различных степеней 10; позиционной системе нужно всего десять различных символов (при условии, что она использует основание 10). ^[2]

Позиционная десятичная система в настоящее время повсеместно используется в человеческом письме. База 1000 также используется (хотя и не повсеместно) путем группировки цифр и рассмотрения последовательности из трех десятичных цифр как одной цифры. Это значение общепринятого обозначения 1 000 234 567, используемого для очень больших чисел.

В компьютерах основные системы счисления основаны на позиционной системе с основанием 2 ( двоичная система счисления ) с двумя двоичными цифрами , 0 и 1. Позиционные системы, полученные путем группировки двоичных цифр по трем ( восьмеричная система счисления ) или четырем ( шестнадцатеричная система счисления). система ). Для очень больших целых чисел используется основание 2 ³² или 2 ⁶⁴ (группировка двоичных цифр по 32 или 64, длина машинного слова ), как, например, в GMP .

В некоторых биологических системах используется унарная система кодирования . Унарные числа, используемые в нейронных цепях, ответственных за воспроизведение пения птиц . ^[3] Ядром мозга певчих птиц, которое играет роль как в обучении, так и в производстве пения птиц, является HVC ( высокий вокальный центр ). Командные сигналы для разных нот в пении птиц исходят из разных точек HVC. Это кодирование работает как пространственное кодирование, которое является эффективной стратегией для биологических цепей из-за присущей ему простоты и надежности.

Цифры, используемые при написании чисел цифрами или символами, можно разделить на два типа, которые можно назвать арифметическими цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и геометрическими цифрами (1 , 10, 100, 1000, 10000 ...) соответственно. В знаковых системах используются только геометрические числа, а в позиционных системах используются только арифметические числа. Система знаковых значений не нуждается в арифметических числах, потому что они образуются путем повторения (за исключением ионной системы ), а позиционная система не нуждается в геометрических цифрах, потому что они образуются по позиции. Однако в разговорной речи используются как арифметические, так и геометрические числа.

В некоторых областях информатики используется модифицированная позиционная система с основанием k , называемая биективной нумерацией , где цифры 1, 2, ..., k ( k ≥ 1 ) и ноль представлены пустой строкой. Это устанавливает взаимное соответствие между набором всех таких строк цифр и набором неотрицательных целых чисел, избегая неединственности, вызванной ведущими нулями. Биективная система счисления по основанию k также называется k -адической нотацией, не путать с p -адическими числами . Биективное основание 1 такое же, как унарное.

Подробнее о позиционных системах [ править ]

В позиционной базе б системы счисления (с Ь на натуральное число больше 1 , известный как поразрядной ), б основных символов (или цифр) , соответствующих первому б натуральных чисел , включая нуль используются. Для создания остальных цифр используется положение символа на рисунке. Символ в последней позиции имеет собственное значение, и при движении влево его значение умножается на b .

Например, в десятичной системе счисления (основание 10) число 4327 означает ( 4 × 10 ³ ) + ( 3 × 10 ² ) + ( 2 × 10 ¹ ) + ( 7 × 10 ⁰ ) , отмечая, что 10 ⁰ = 1. .

В общем, если b является основанием, число записывается в системе счисления с основанием b , выражая его в форме a _n b ⁿ + a _{n - 1} b ^{n - 1} + a _{n - 2} b ^{n - 2} +. .. + a ₀ b ⁰ и запись пронумерованных цифр a _n a _{n - 1} a _{n - 2} ... a ₀ в порядке убывания. Цифры - это натуральные числа от 0 до b - 1., включительно.

Если текст (например, этот) обсуждает несколько оснований, и если существует двусмысленность, основание (само представленное в базе 10) добавляется в нижнем индексе справа от числа, например: _{основание} числа . Если не указано иное в контексте, числа без нижнего индекса считаются десятичными.

Используя точку для разделения цифр на две группы, можно также записывать дроби в позиционной системе. Например, цифра 10,11 с основанием 2 обозначает 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ + 1 × 2 ⁻¹ + 1 × 2 ⁻² = 2,75 .

В общем, числа в системе с основанием b имеют вид:

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

Числа b ^k и b ^{- k} - веса соответствующих цифр. Положение к является логарифмом соответствующего веса ш , т . Самая высокая используемая позиция близка к порядку величины числа.${\displaystyle k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}}$

Количество отметок, необходимых в унарной системе счисления для описания веса, было бы w . В позиционной системе количество цифр, необходимых для его описания, равно только для k ≥ 0. Например, для описания веса 1000 необходимы четыре цифры, потому что . Количество цифр необходимо описать положение находится (в положениях 1, 10, 100, ... только для простоты в примере десятичного).${\displaystyle k+1=\log _{b}w+1}$${\displaystyle \log _{10}1000+1=3+1}$${\displaystyle \log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|rrrrrrr}{\text{Position}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{Weight}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{Digit}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}}$

Число имеет завершающее или повторяющееся расширение тогда и только тогда, когда оно рационально ; это не зависит от базы. Число, оканчивающееся на одной базе, может повторяться в другой (таким образом, 0,3 ₁₀ = 0,0100110011001 ... ₂ ). Иррациональное число остается апериодическим (с бесконечным числом неповторяющихся цифр) во всех целочисленных основаниях. Таким образом, например, по основанию 2 π = 3,1415926 ... ₁₀ может быть записано как апериодическое число 11,001001000011111 ... ₂ .

Полагая overscores , п , или точки, N , выше общих цифр соглашение используется для представления повторяющихся рациональные разложения. Таким образом:

14/11 = 1,272727272727 ... = 1. 27   или +321,3217878787878 ... = 321,321 78 .

Если b = p - простое число , можно определить числа с основанием p , расширение которых влево никогда не прекращается; они называются p -адическими числами .

Обобщенные целые числа переменной длины [ править ]

Более общим является использование смешанной системы счисления (здесь написано с прямым порядком байтов ), например для и т. Д.${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}}$

Это используется в punycode , одним из аспектов которого является представление последовательности неотрицательных целых чисел произвольного размера в виде последовательности без разделителей, «цифр» из набора 36: a – z и 0–9 , представляющие 0–25 и 26–35 соответственно. Цифра ниже порогового значения означает, что это самая старшая цифра, следовательно, конец числа. Пороговое значение зависит от позиции в номере. Например, если пороговое значение для первой цифры равно b (то есть 1), то a (то есть 0) отмечает конец числа (у него только одна цифра), поэтому в числах, состоящих из более чем одной цифры, диапазон составляет только b. –9 (1–35), поэтому вес b ₁ равно 35 вместо 36. Предположим, что пороговые значения для второй и третьей цифр равны c (2), тогда третья цифра имеет вес 34 × 35 = 1190, и у нас есть следующая последовательность:

a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), bca (71), .., 99a (1260), BBC (1261) и др.

В отличие от обычной системы счисления, здесь есть числа вроде 9b, где 9 и b представляют собой 35; тем не менее, представление уникально, потому что ac и aca не допускаются - число a завершается.

Гибкость в выборе пороговых значений позволяет проводить оптимизацию в зависимости от частоты появления чисел различного размера.

Случай, когда все пороговые значения равны 1, соответствует биективной нумерации , где нули соответствуют разделителям чисел с ненулевыми цифрами.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Жорж Ифра. Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера , Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3 . 
• Д. Кнут . Искусство программирования . Том 2, 3-е изд. Аддисон-Уэсли . С. 194–213, «Позиционные системы счисления».
• А.Л. Кребер (Альфред Луи Кребер) (1876–1960), Справочник индейцев Калифорнии, Бюллетень 78 Бюро американской этнологии Смитсоновского института (1919)
• Дж. П. Мэллори и Д. К. Адамс, Энциклопедия индоевропейской культуры , издательство Fitzroy Dearborn Publishers, Лондон и Чикаго, 1997.
• Ханс Дж. Ниссен; Питер Дамеров; Роберт К. Инглунд (1993). Архаическая бухгалтерия: раннее письмо и методы экономического управления на древнем Ближнем Востоке . Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-58659-5.
• Шмандт-Бессера, Дениз (1996). Как возникла письменность . Техасский университет Press . ISBN 978-0-292-77704-0.
• Заславский, Клавдия (1999). Африка имеет значение: количество и образец в африканских культурах . Чикаго Ревью Пресс. ISBN 978-1-55652-350-2.

Внешние ссылки [ править ]

Поищите нумерацию  или числа в Викисловаре, бесплатном словаре.

• СМИ, связанные с системами счисления на Викискладе?