Алфавитная система счисления

Алфавитная система счисления представляет собой тип системы счисления . Развитый в классической античности , он процветал в раннем средневековье . ^[1] В алфавитной системе счисления, числа записываются с использованием символов из в алфавит , слоговом или другую систему письма . В отличие от акрофонических систем счисления , где числительное представлено первой буквой лексического названия числа, буквенные системы счисления могут произвольно назначать буквы числовым значениям. Некоторые системы, в том числе арабский , грузинскийи еврейские системы используют уже установленный алфавитный порядок . ^[2] Алфавитные системы счисления произошли от греческих цифр около 600 г. до н.э. и в значительной степени вымерли к 16 веку. ^[3] После развития позиционных систем счисления , таких как индуистско-арабские цифры , использование буквенных систем счисления сократилось до преимущественно упорядоченных списков, нумерации страниц , религиозных функций и гадательной магии. ^[4]

История [ править ]

Первой засвидетельствованной буквенной системой счисления является греческая алфавитная система (названная ионической или милетской системой из-за ее происхождения в Западной Малой Азии ). Структура системы повторяет структуру египетских демотических числительных ; Греческие буквы заменили египетские знаки. Первые образцы греческой системы датируются 6 веком до нашей эры и написаны буквами архаического греческого письма, использовавшегося в Ионии . ^[5]

Другие культуры, контактировавшие с Грецией, приняли это числовое обозначение, заменив греческие буквы своим собственным письмом; в их число входили евреи в конце 2 века до нашей эры. Готический алфавит принял свои собственные алфавитные цифры наряду с греческим влиянием сценария. ^[6] В Северной Африке , то Коптская система была разработана в 4 веке нашей эры, ^[7] и Ge'ez система в Эфиопии была разработана около 350 AD. ^[8] Оба были разработаны на основе греческой модели.

Арабы разработали свою собственную буквенную систему счисления, цифры абджад , в 7 веке нашей эры и использовали ее в математических и астрологических целях даже в 13 веке, после введения индуистско-арабской системы счисления . ^[9] После принятия христианства армяне и грузины разработали свою алфавитную систему счисления в 4-м или начале 5-го века, в то время как в Византийской империи кириллические цифры и глаголицабыли введены в 9 веке. Алфавитные системы счисления были известны и использовались на севере, в Англии, Германии и России, на юге, в Эфиопии, на востоке, в Персии, и в Северной Африке, от Марокко до Центральной Азии. ^{[ необходима цитата ]}

К 16 веку нашей эры большинство алфавитных систем счисления вымерли или мало использовались, вытесненные арабскими позиционными и западными цифрами в качестве обычных цифр в торговле и управлении по всей Европе и на Ближнем Востоке. ^[10]

Новейшие применяемые буквенные системы счисления, все они позиционные, являются частью систем тактильного письма для слабовидящих . Несмотря на то, что система Брайля 1829 года имела простую шифровально-позиционную систему, скопированную с западных цифр с отдельным символом для каждой цифры, ранний опыт работы со студентами вынудил его дизайнера Луи Брайля упростить систему, уменьшив количество доступных шаблонов (символов) со 125 до 63, поэтому ему пришлось использовать дополнительный символ, чтобы обозначить буквы a – j как цифры. Помимо этой традиционной системы, еще одна была разработана во Франции в 20 веке, а еще одна - в США.

Системы [ править ]

В алфавитной системе счисления буквы алфавита используются в определенном порядке алфавита для обозначения цифр.

В греческом языке буквы назначаются соответствующим числам в следующих наборах: от 1 до 9, от 10 до 90, от 100 до 900 и так далее. Десятичные разряды представлены одним символом. По мере того, как алфавит заканчивается, более высокие числа представляются с помощью различных методов умножения. Однако, поскольку системы письма имеют разное количество букв, другие системы письма не обязательно группируют числа таким образом. В греческом алфавите 24 буквы; Чтобы получить 900, нужно было добавить еще три буквы. В отличие от греческого, 22 буквы еврейского алфавита позволяли числовое выражение до 400. Арабский абджад28 согласных знаков могли представлять числа до 1000. В древних арамейских алфавитах было достаточно букв, чтобы достигать 9000. В математических и астрономических рукописях для представления больших чисел использовались другие методы. Римские цифры и аттические цифры , которые также были буквенными системами счисления, со временем стали более лаконичными, но потребовали от их пользователей знать гораздо больше знаков. Акрофонические цифры не принадлежат к этой группе систем, потому что их буквенно-цифровые обозначения не соответствуют порядку алфавита.

У этих различных систем нет единой объединяющей черты или особенности. Наиболее распространенной является зашифрованная аддитивная структура с десятичным основанием с использованием или без использования мультипликативно-аддитивного структурирования для более высоких чисел. Исключения включают армянское обозначение ширакаци , которое является мультипликативно-аддитивным и иногда использует основание 1000, а также греческую и арабскую системы астрономической записи.

Цифровые знаки [ править ]

В таблицах ниже показаны буквенно-цифровые конфигурации различных систем письма.

Греческие буквенные цифры  - «ионические» или «милетские цифры» - (минускульные буквы)

единицы	α	β	γ	δ	ε	ϛ	ζ	η	θ
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	ι	κ	λ	μ	ν	ξ	ο	π	ϟ
	10	20	30	40	50	60	70	80	90
сотни	ρ	σ	τ	υ	φ	χ	ψ	ω	ϡ
	100	200	300	400	500	600	700	800	900
тысячи	͵α	͵β	͵γ	͵δ	͵ε	͵ϛ	͵ζ	͵η	͵θ
	1000	2000 г.	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000

Некоторые числа представлены греческими буквенными цифрами :

͵γϡμβ = (3000 + 900 + 40 + 2) = 3942

χξϛ = (600 + 60 + 6) = 666

Буквенные цифры на иврите :

единицы	א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח	ט
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	י	כ	ל	מ	נ	ס	ע	פ	צ
	10	20	30	40	50	60	70	80	90
сотни	ק	ר	ש	ת
	100	200	300	400
тысячи	' א	' ב	' ג	' ד	' ה	'ו	'ז	'ח	'ט
	1000	2000 г.	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000

В системе письма иврита всего двадцать четыре согласных знака, поэтому числа могут быть выражены отдельными знаками до 400. Более высокие сотни - 500, 600, 700, 800 и 900 - могут быть записаны только с помощью различных совокупно-аддитивных комбинаций. младших сотен (направление письма - справа налево): ^[11]

ת ק = (400 + 100) 500

ת ר = (400 + 200)600

ת ש = (400 + 300) 700

ת ת = (400 + 400) 800

ת ר ר ק = 400 + 200 + 200 + 100 = 900

Армянские цифровые знаки (мелкие буквы):

единицы	ա	բ	գ	դ	ե	զ	է	ը	թ
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	ժ	ի	լ	խ	ծ	կ	հ	ձ	ղ
	10	20	30	40	50	60	70	80	90
сотни	ճ	մ	յ	ն	շ	ո	չ	պ	ջ
	100	200	300	400	500	600	700	800	900
тысячи	ռ	ս	վ	տ	ր	ց	ւ	փ	ք
	1000	2000 г.	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000
десять тысяч	օ	ֆ
346 = յ

В отличие от многих алфавитных систем счисления, армянская система не использует умножение на 1000 или 10000 для выражения более высоких значений. Вместо этого более высокие значения записывались полностью с использованием лексических числительных. ^[12]

Более высокие числа [ править ]

Когда алфавит заканчивался, для выражения более высоких чисел в разных системах использовались различные методы умножения. В греческой алфавитной системе для числа, кратного 1000, знак хаста помещался слева под числовым знаком, чтобы указать, что его следует умножить на 1000. ^[13]

β = 2

͵β = 2000

͵κ = 20 000

С помощью второго уровня мультипликативного метода - умножения на 10 000 - набор чисел может быть расширен. Наиболее распространенный метод, используемый Аристархом , заключался в размещении числовой фразы над большим символом M (M = мириады = 10 000), чтобы указать умножение на 10 000. ^[14] Этот метод может выражать числа до 100000000 (10 ⁸ ).

20 704 - (2 ⋅ 10 000 + 700 + 4) можно представить в виде:

${\displaystyle {\overset {\beta }{\mathrm {M} }}}$	ψδ	=     20 704

Согласно отчету Паппа Александрийского , Аполлоний Пергский использовал другой метод. В нем цифры над M = мириады = 10 000 представляют показатель степени 10 000. Число, которое нужно умножить на M, было написано после символа M. ^[15] Этот метод может выразить 5 462 360 064 000 000 как:

${\displaystyle {\overset {\gamma }{\mathrm {M} }}}$	͵EYZB		${\displaystyle {\overset {\beta }{\mathrm {M} }}}$	͵ΓX		${\displaystyle {\overset {\alpha }{\mathrm {M} }}}$	͵FY
10000 3 × 5462		+	10000 2 × 3600		+	10000 1 × 6400

Как отличить числовые фразы от текста [ править ]

Буквенные цифры отличались от слов со специальными знаками, чаще всего горизонтальной чертой над числовой фразой, но иногда с точками, помещенными по обе стороны от нее. Последнее проявилось в греческом алфавите со знаком хаста .

= 285

В эфиопских цифрах , известных как Geʽez , знаки имеют отметки как над, так и под ними, чтобы указать, что их значение является числовым. Исключением являются эфиопские цифры, где цифровые знаки не являются буквами их письменности. Эта практика стала универсальной с 15 века. ^[16]

Цифровые знаки эфиопских цифр с отметками как над, так и под буквами:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
× 1	፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
× 10	፲	፳	፴	፵	፶	፷	፸	፹	፺
× 100	፻
× 10 000	፼

Направление цифр соответствует направлению системы письма. На греческом, коптском, эфиопском, готическом, армянском, грузинском, глаголице и кириллице буквы пишутся слева направо, а также используются обозначения Ширакаци. Написание справа налево встречается в еврейских и сирийских буквенных цифрах, арабских цифрах абджад и цифрах Феса. ^{[ необходима цитата ]}

Дроби [ править ]

Доли единиц [ править ]

Дроби единиц были методом выражения дробей. В греческой алфавитной записи дроби единиц обозначались знаменателем - буквенным цифровым знаком, за которым следовали небольшие акценты или штрихи, помещенные справа от цифры, известной как керая (ʹ). Следовательно, γʹ обозначает одну треть, δʹ одну четвертую и т. Д. Эти фракции были аддитивными и были также известны как египетские фракции .

Например: δ'ς'= ¹ / ₄ + ¹ / ₆ = ⁵ / ₁₂ .

Смешанное число может быть записано как , например: ͵θϡϟς δ'ς' = 9996 + ¹ / ₄ + ¹ / ₆

Астрономические дроби [ править ]

Во многих астрономических текстах отдельный набор алфавитных систем счисления сочетает их обычные алфавитные цифры с основанием 60, например вавилонские шестидесятеричные системы . Во 2 веке до нашей эры появился гибрид вавилонской системы обозначений и греческих буквенных цифр, который использовался для выражения дробей. ^[17] В отличие от вавилонской системы, греческое основание 60 не использовалось для выражения целых чисел.

В этой шестидесятеричной позиционной системе - с подосновой 10 - для выражения дробей использовались четырнадцать буквенных цифр (единицы от 1 до 9 и декады от 10 до 50) для записи любого числа от 1 до 59. может быть числителем дроби. Позиционный принцип использовался для знаменателя дроби, который был записан с показателем 60 (60, 3,600, 216,000 и т. Д.). Шестидесятеричные дроби могут использоваться для выражения любого дробного значения с последовательными позициями, представляющими 1/60, 1/60 ² , 1/60 ³ и так далее. ^[18] Первый крупный текст , в котором появилась эта смешанная система была Птолемей «ы Альмагест, написанные во 2 веке нашей эры. ^[19]

Астрономические дроби (с греческими буквенными знаками):

единицы	α	β	γ	δ	ε	ϛ	ζ	η	θ
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	ι	κ	λ	μ	ν
	10	20	30	40	50

Αφιε κ ιε = 1515 + (20 x 1/60) + (15 x 1/3600) = 1515,3375

В этой смешанной системе не использовалась точка счисления , но астрономические дроби имели специальный знак, указывающий на ноль в качестве заполнителя. В некоторых поздневавилонских текстах использовался аналогичный заполнитель. Греки переняли эту технику, используя свой собственный знак, форма и характер которого со временем изменились от ранних рукописей (I век н.э.) до буквенного обозначения. ^[20]

Это шестидесятеричное обозначение было особенно полезно в астрономии и математике из-за деления круга на 360 градусов (с делениями 60 минут на градус и 60 секунд в минуту). В комментарии Теона Александрийского (4 век нашей эры) к Альмагесту числовая фраза ͵αφιε κ ιε выражает 1515 ( ͵αφιε ) градусов, 20 ( κ ) минут и 15 ( ιε ) секунд. ^[21] Значение градуса выражается обычными десятичными буквенными числами, включая использование мультипликативной хасты для 1000, в то время как последние две позиции записываются шестидесятеричной дробью.

Арабы заимствовали астрономические дроби непосредственно у греков, и точно так же иудейские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, но греческие цифровые знаки были заменены их собственными буквенными цифровыми знаками, чтобы выражать как целые числа, так и дроби.

Алфавитные системы счисления [ править ]

• Числа Абджад
• Армянские цифры
• Āryabhaa нумерация
• Чердачные цифры
• Коптские цифры
• Кириллические цифры
• Эфиопские цифры
• Цифры фес
• Глаголические цифры
• Грузинские цифры
• Готические цифры
• Греческий алфавит
• Еврейские цифры
• римские цифры
• Система счисления Ширакаци
• Сирийские буквенные цифры

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Стивен Хрисомалис (2010). Числовое обозначение: сравнительная история . Издательство Кембриджского университета. С. 133–187. ISBN 9780521878180.
• Жорж Ифра (1998). Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера; перевод с французского Давидом Беллосом . Лондон: Harvill Press. ISBN 9781860463242.
• Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики. 2 тт . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Отто Нойгебауэр (1979). Эфиопская астрономия и Computus . Вена: Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften.
• Мегалли, Фуад (1991). Система счисления, коптский . Коптская энциклопедия, Азис С. Атия, изд . Нью-Йорк: Макмиллан. С. 1820–1822..
• Мессиха, Хешмат. 1994. Les chiffres coptes. Le Monde Copte 24: 25–28.
• Брауне, Вильгельм и Эрнст Эббингаузы. 1966. Gotische Grammatik . Тюбинген: Макс Нимейер Верлаг.
• Гандз, Соломон. 1933. Еврейские цифры. Труды Американской академии еврейских исследований 4: 53–112.
• Миллард, А. 1995. Чужеземцы из Египта и Греции - знаки для чисел на раннем иврите. В « Иммиграции и эмиграции на Древнем Ближнем Востоке» , К. ван Лерберге и А. Шурс, ред., Стр. 189–194. Левен: Петерс.
• Колин, GS 1960. Абджад. В Энциклопедии ислама , т. 1. С. 97–98. Лейден: Брилл.
• Колин, Г.С. 1971. Хисаб аль-Джуммал. В Энциклопедии ислама , т. 3, стр. 468. Лейден: Brill.
• Бендер, Марвин Л., Сидней В. Хед и Роджер Коули. 1976. Эфиопская письменность. In Language in Ethiopia , ML Bender, JD Bowen, RL Cooper и CA. Ferguson, eds., Pp. 120–129. Лондон: Издательство Оксфордского университета.
• Шоу, Аллен А. 1938–199. Заброшенная система счисления античности. Национальный математический журнал 13: 368–372.
• Кубберли, Пол. 1996. Славянские алфавиты. В «Системах письма мира» , Питер Т. Дэниэлс и Уильям Брайт, ред., Стр. 346–355. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
• Панкхерст, Ричард КП, изд. 1985. Письма эфиопских правителей (начало и середина девятнадцатого века) , перевод Дэвида Л. Апплеярда и А.К. Ирвина. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
• Смит, Дэвид Э. и Л. Карпински. 1911. Индо-арабские цифры. Бостон: Джинн
• Гандз, Соломон. 1933. Еврейские цифры. Труды Американской академии еврейских исследований 4: стр. 53–112.
• Шанцлин, Г. Л. 1934. Обозначение абджад. Мусульманский мир 24: 257–261.

См. Также [ править ]

• Гематрия
• Изопсефия
• Алфавитно-слоговая система счисления