Индо-арабская цифра системы или индо-арабская цифра системы [1] (также называется арабской цифрой , система или система счисления индуиста ) [2] [примечание 1] является позиционной десятичной системой счисления , и является наиболее распространенной системой для символического представление чисел в мире.
Он был изобретен индийскими математиками между I и IV веками . Система была принята в арабской математике к IX веку. Влияние оказали книги Аль-Хваризми [3] ( О вычислениях с помощью индусских цифр , ок. 825 ) и Аль-Кинди ( Об использовании индуистских цифр , ок. 830 ). Позднее система распространилась на средневековую Европу в период Высокого Средневековья .
Система основана на десяти (первоначально девяти) символах . Символы (глифы), используемые для представления системы, в принципе не зависят от самой системы. Фактически используемые глифы произошли от цифр Брахми и со времен средневековья разделились на различные типографские варианты .
Эти наборы символов можно разделить на три основных семейства: западные арабские цифры, используемые в Большом Магрибе и в Европе , восточные арабские цифры (также называемые «индийскими цифрами»), используемые на Ближнем Востоке , и индийские цифры в различных шрифтах, используемых в Индийский субконтинент .
Этимология
Индо-арабские или индо-арабские цифры были изобретены математиками в Индии. [4] Персидские и арабские математики назвали их «индуистскими цифрами». Позже в Европе их стали называть «арабскими цифрами», потому что они были завезены на Запад арабскими купцами. [5]
Позиционное обозначение
Индо-арабская система предназначена для позиционного обозначения в десятичной системе. В более развитой форме позиционная нотация также использует десятичный маркер (сначала знак над единицей цифры, но теперь чаще десятичная точка или десятичная запятая, которая отделяет единицы от десятых), а также символ для " эти цифры повторяются до бесконечности ". В современном использовании этот последний символ обычно представляет собой винкулум (горизонтальная линия, помещенная над повторяющимися цифрами). В этой более развитой форме система счисления может символизировать любое рациональное число, используя всего 13 символов (десять цифр, десятичный маркер, винкулум и добавленный знак минус для обозначения отрицательного числа ).
Хотя, как правило, в тексте, написанном арабским абджадом («алфавитом»), числа, написанные этими цифрами, также помещают наиболее значимую цифру слева, поэтому они читаются слева направо. Необходимые изменения направления чтения обнаруживаются в тексте, который сочетает в себе системы письма слева направо и системы письма справа налево.
Символы
Для представления чисел в индуистско-арабской системе счисления используются различные наборы символов, большинство из которых произошло от цифр брахми .
Символы, используемые для представления системы, со времен средневековья разделились на различные типографские варианты, разделенные на три основные группы:
- Широко распространенные западные « арабские цифры », используемые в таблице с латинскими , кириллическими и греческими алфавитами , произошли от «западных арабских цифр», которые были разработаны в Аль-Андалусе и Магрибе (существует два типографских стиля для отображения западных арабских цифр. , известные как рисунки-накладки и текстовые рисунки ).
- «Арабско-индийские» или « восточные арабские цифры », используемые в арабском письме, разработаны в основном на территории современного Ирака . [ необходима цитата ] Вариант восточных арабских цифр используется в персидском и урду.
- В индийском числительные в использовании с скриптами Брахмана семьи в Индии и Юго - Восточной Азии. Каждый из примерно дюжины основных письменностей Индии имеет свои собственные числовые глифы (как можно заметить при просмотре таблиц символов Юникода).
Сравнение глифов
Символ | Используется с алфавитами | Цифры | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Арабский , латинский , кириллица и греческий | арабские цифры |
𑁦 | 𑁧 | 𑁨 | 𑁩 | 𑁪 | 𑁫 | 𑁬 | 𑁭 | 𑁮 | 𑁯 | Брахми | Цифры брахми |
० | १ | २ | ३ | ४ | ५ | ६ | ७ | ८ | ९ | Деванагари | Числа деванагари |
૦ | ૧ | ૨ | ૩ | ૪ | ૫ | ૬ | ૭ | ૮ | ૯ | Гуджарати | Цифры гуджарати |
੦ | ੧ | ੨ | ੩ | ੪ | ੫ | ੬ | ੭ | ੮ | ੯ | Гурмукхи | Цифры гурмухи |
০ | ১ | ২ | ৩ | ৪ | ৫ | ৬ | ৭ | ৮ | ৯ | Бенгальский / ассамский | Бенгальские цифры |
೦ | ೧ | ೨ | ೩ | ೪ | ೫ | ೬ | ೭ | ೮ | ೯ | Каннада | Каннада сценарий § Цифры |
୦ | ୧ | ୨ | ୩ | ୪ | ୫ | ୬ | ୭ | ୮ | ୯ | Одиа | Цифры Одиа |
൦ | ൧ | ൨ | ൩ | ൪ | ൫ | ൬ | ൭ | ൮ | ൯ | Малаялам | Письмо малаялам § Другие символы |
௦ | ௧ | ௨ | ௩ | ௪ | ௫ | ௬ | ௭ | ௮ | ௯ | Тамильский | Тамильские цифры |
౦ | ౧ | ౨ | ౩ | ౪ | ౫ | ౬ | ౭ | ౮ | ౯ | телугу | Письмо телугу § Цифры |
၀ | ၁ | ၂ | ၃ | ၄ | ၅ | ၆ | ၇ | ၈ | ၉ | Бирманский | Бирманские цифры |
༠ | ༡ | ༢ | ༣ | ༤ | ༥ | ༦ | ༧ | ༨ | ༩ | тибетский | Тибетские цифры |
᠐ | ᠑ | ᠒ | ᠓ | ᠔ | ᠕ | ᠖ | ᠗ | ᠘ | ᠙ | Монгольский | Монгольские цифры |
෦ | ෧ | ෨ | ෩ | ෪ | ෫ | ෬ | ෭ | ෮ | ෯ | Сингальский | Сингальские цифры |
០ | ១ | ២ | ៣ | ៤ | ៥ | ៦ | ៧ | ៨ | ៩ | Кхмерский | Кхмерские цифры |
๐ | ๑ | ๒ | ๓ | ๔ | ๕ | ๖ | ๗ | ๘ | ๙ | Тайский | Тайские цифры |
໐ | ໑ | ໒ | ໓ | ໔ | ໕ | ໖ | ໗ | ໘ | ໙ | Лаосский | Лаосская письменность § Цифры |
꧐ | ꧑ | ꧒ | ꧓ | ꧔ | ꧕ | ꧖ | ꧗ | ꧘ | ꧙ | Яванский | Яванские цифры |
٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ | ٥ | ٦ | ٧ | ٨ | ٩ | арабский | Восточные арабские цифры |
۰ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | Персидский / дари / пушту | |
۰ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | Урду / шахмукхи | |
〇 / 零 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | Восточная Азия | Китайские , вьетнамские , японские и корейские цифры |
ο / ō | Αʹ | Βʹ | Γʹ | Δʹ | Εʹ | Ϛʹ | Ζʹ | Ηʹ | Θʹ | Современный греческий | Греческие цифры |
История
Предшественники
В позиции браая на основе системы предшествует Common Era . Они заменили более ранние цифры Хароши, использовавшиеся с 4 века до нашей эры. Цифры брахми и кхаростхи использовались рядом друг с другом в период империи Маурьев , оба появились в эдиктах Ашоки 3-го века до нашей эры . [6]
Буддийские надписи примерно 300 г. до н.э. используют символы, которые стали 1, 4 и 6. Спустя столетие было зарегистрировано использование ими символов, которые стали 2, 4, 6, 7 и 9. Эти цифры брахми являются предками индуистско-арабских символов от 1 до 9, но они не использовались в качестве позиционной системы с нулем , и были отдельные цифры для каждой из десятков (10, 20, 30 и т. Д.) .
Фактическая система счисления, включая позиционное обозначение и использование нуля, в принципе не зависит от используемых глифов и значительно моложе, чем цифры Брахми.
Разработка
В рукописи Бахшали используется позиционная система . Хотя дата составления рукописи неизвестна, язык, использованный в рукописи, указывает на то, что она не могла быть составлена позднее 400. [7] Развитие позиционной десятичной системы берет свое начало в индуистской математике в период Гупта. . Около 500 г. астроном Арьябхата использует слово кха («пустота») для обозначения «нуля» в табличном расположении цифр. Брахмаспхута-сиддханта 7-го века содержит сравнительно продвинутое понимание математической роли нуля . Санскритский перевод утраченного космологического текста « Пракрит Джайна» 5-го века Локавибхага может сохранить ранний пример позиционного использования нуля. [8]
Эти индийские разработки были подхвачены в исламской математике в 8 веке, как записано в « Хронологии ученых аль-Кифти » (начало 13 века). [9]
Система счисления стала известна как персидскому математику Хорезми , написавшему книгу « О вычислении с помощью индусских цифр примерно в 825 году», так и арабскому математику Аль-Кинди , написавшему книгу « Об использовании индусских цифр» ( كتاب في استعمال العداد الهندي [ kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī ]) около 830 г. Персидский ученый Кушьяр Гилани , написавший Китаб фи усул хисаб аль-хинд ( Принципы индуистского исчисления, использующиеся до наших дней ), является одним из старейших сохранившихся принципов индуистского исчисления. индусские цифры. [10] Эти книги несут основную ответственность за распространение индуистской системы счисления по всему исламскому миру и, в конечном итоге, также в Европе.
Первая датированная и неоспоримая надпись, показывающая использование символа нуля, появляется на каменной надписи, найденной в храме Чатурбхуджа в Гвалиоре в Индии, датированной 876. [11]
В исламской математике 10-го века система была расширена за счет включения дробей , как записано в трактате сирийского математика Абу-л-Хасана аль-Уклидиси в 952–953 гг. [12]
Усыновление в Европе
В христианской Европе первое упоминание и представление индусско-арабских цифр (от одного до девяти без нуля) находится в Codex Vigilanus , освещенном сборнике различных исторических документов вестготского периода в Испании , написанном в 976 году трое монахов риоханского монастыря Сан-Мартин-де-Альбельда . Между 967 и 969 годами Герберт из Орильяка открыл и изучал арабскую науку в каталонских аббатствах. Позже он получил в этих местах книгу De multiplicatione et Divisione ( Об умножении и делении ). Став папой Сильвестром II в 999 году, он представил новую модель счётов , так называемые счеты Герберта , приняв жетоны, представляющие индусско-арабские цифры от одного до девяти.
Леонардо Фибоначчи принес эту систему в Европу. Его книга Liber Abaci представила латинскому миру арабские цифры, использование нуля и десятичную систему. Европейцы стали называть систему счисления «арабской». Он использовался в европейской математике с 12-го века и вошел в широкое употребление с 15-го века, чтобы заменить римские цифры . [13] [14]
Знакомая форма западноарабских глифов, используемых сейчас в латинском алфавите (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), возникла в конце 15 - начале 16 века, когда они ввести ранний набор . Мусульманские ученые использовали вавилонскую систему счисления , а торговцы использовали цифры Абджад , систему, подобную греческой системе счисления и еврейской системе счисления . Точно так же введение системы Фибоначчи в Европу было ограничено научными кругами. Заслуга за первое установление широкого понимания и использования десятичной позиционной записи среди населения в целом принадлежит Адаму Рису , автору немецкого Возрождения , чья книга 1522 года Rechenung auff der linihen und federn была нацелена на учеников бизнесменов и мастеров.
Грегор Райш , мадам Арифматика , 1508 г.
Вычисления таблица
, используется для арифметических с помощью римских цифрАдам Рис , Rechenung auff der linihen und federn , 1522 г.
Две книги по арифметике, изданные в 1514 году - Köbel (слева) с использованием таблицы вычислений и Böschenteyn с использованием цифр
Адам Рис , Rechenung auff der linihen und federn (2-е изд.), 1525 г.
Роберт Рекорд , Земля искусств , 1543 г.
Петер Апиан , Kaufmanns Rechnung , 1527 г.
Адам Рис , Rechenung auff der linihen und federn (2-е изд.), 1525 г.
Усыновление в Восточной Азии
В 690 году н.э. императрица У обнародовала иероглифы дзэтянь , одним из которых была «〇». Слово теперь используется как синоним числа ноль.
В Китае , Гаутама Сиддха представил индуистские цифры с нулем в 718, но китайские математики не нашли их полезными, так как они уже имели десятичные позиционные подсчета стержней . [15] [16]
В китайских цифрах круг (〇) используется для записи нуля в числах Сучжоу . Многие историки считают , что было импортировано из индийских цифр по Гаутамы Сиддха в 718, но некоторые китайские ученые считают , что он был создан из китайского текста пространства наполнителя «□». [15]
Китайцы и японцы наконец приняли индуистско-арабские цифры в 19 веке, отказавшись от счетных стержней.
Распространение западноарабского варианта
«Западноарабские» цифры, которые широко использовались в Европе со времен барокко, нашли вторичное применение во всем мире вместе с латинским алфавитом и даже значительно превзошли современное распространение латинского алфавита , вторгшись в системы письма в регионах, где другие варианты индусско-арабских цифр использовались, но также в сочетании с китайским и японским письмом (см. китайские цифры , японские цифры ).
Смотрите также
- арабские цифры
- Десятичный
- История математики
- Система счисления
- Позиционное обозначение
- 0 (число)
Заметки
- ^ Индус - это персидское название «индеец» в 10 веке, когда арабы приняли систему счисления. Использование слова « индус » для обозначения религии было более поздним развитием.
Рекомендации
- ^ Audun Хольм , Геометрия: Наше культурное наследие , 2000
- ^ Уильям Даррах Холси, Эмануэль Фридман (1983). Энциклопедия Кольера с библиографией и указателем .
Когда арабская империя расширялась и были установлены контакты с Индией, индуистская система счисления и ранние алгоритмы были приняты арабами.
- ^ Брезина, Корона (2006), Аль-Хорезми: Изобретатель алгебры , The Rosen Publishing Group, стр. 39–40, ISBN 978-1-4042-0513-0: «Историки размышляли о родном языке аль-Хорезми. Поскольку он родился в бывшей персидской провинции, он, возможно, говорил на персидском языке. Также возможно, что он говорил на хорезмийском, языке региона, который сейчас вымер».
- ^ Кляйн, Феликс (2009). Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ . Cosimo, Inc. ISBN 978-1605209319 - через Google Книги.
- ^ Роулетт, Расс (2004-07-04), римские и «арабские» цифры , Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл , получено 12 апреля 2019 г.
- ^ Flegg (2002), стр. 6далее.
- ^ Пирс, Ян (май 2002 г.). «Бахшалинская рукопись» . Архив истории математики MacTutor . Проверено 24 июля 2007 .
- ^ Ifrah, G. Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера. John Wiley and Sons Inc., 2000. Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Иана Монка.
- ^ Ибн ал-Кифти «сек хронология ученых (начале 13го века):
- ... в 776 году перед халифом аль-Мансуром предстал человек из Индии, который хорошо разбирался в методе расчета сиддханта, связанном с движением небесных тел, и имел способы вычисления уравнений, основанных на полуаккорде. [по сути, синус], рассчитанный в половинных градусах ... Аль-Мансур приказал перевести эту книгу на арабский язык и написать труд на основе перевода, чтобы дать арабам прочную основу для расчета движений планеты ...
- ^ Мартин Леви и Марвин Петрук, Принципы индуистского исчисления, перевод Кушьяра ибн Лаббана Китаба фи усул хисаб аль-хинд, стр. 3, University of Wisconsin Press, 1965 г.
- ^ Билл Кассельман (февраль 2007 г.). «Все напрасно» . Столбец функций . AMS.
- ^ Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета. п. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ^ «Числа Фибоначчи» . www.halexandria.org .
- ^ Леонардо Пизано: «Вклад в теорию чисел» . Энциклопедия Britannica Online, 2006. стр. 3. Проверено 18 сентября 2006 г.
- ^ а б Цянь, Баоцун (1964), Чжунго Шусюэ Ши (История китайской математики) , Пекин: Кэсюэ Чубаньше
- ^ Ван, Qīngxiáng (1999), Sangi o koeta otoko (Человек, который превзошел счет стержней) , Токио: Tōyō Shoten, ISBN 4-88595-226-3
Библиография
- Флегг, Грэм (2002). Числа: их история и значение . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-42165-1 .
- Арабская система счисления - MacTutor History of Mathematics
дальнейшее чтение
- Меннингер, Карл В. (1969). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8 .
- О генеалогии современных цифр Эдварда Клайва Бэйли