Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Этот термометр показывает отрицательную температуру по Фаренгейту (-4 ° F).

В математике , отрицательное число является вещественным числом , который меньше , чем ноль . Отрицательные числа представляют собой противоположности. Если положительное значение представляет движение вправо, отрицательное значение представляет движение влево. Если положительное значение соответствует высоте над уровнем моря, то отрицательное значение соответствует уровню ниже уровня моря. Если положительный результат представляет собой депозит, отрицательный - вывод средств. Они часто используются для обозначения величины потери или дефицита. Причитающийся долг можно рассматривать как отрицательный актив, уменьшение некоторого количества может рассматриваться как отрицательное увеличение. Если величина может иметь одно из двух противоположных значений, тогда можно выбрать различие между этими чувствами - возможно, произвольно - какположительный и отрицательный . Отрицательные числа используются для описания значений по шкале ниже нуля, например шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры. Законы арифметики для отрицательных чисел гарантируют, что здравый смысл об обратном отражается в арифметике. Например, - (- 3) = 3, потому что исходное значение противоположно противоположному.

Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус впереди. Например, -3 представляет собой отрицательную величину с величиной три и произносится как «минус три» или «отрицательные три». Чтобы помочь отличить операцию вычитания от отрицательного числа, иногда знак « минус» ставится немного выше, чем знак «минус» (в виде надстрочного индекса ). И наоборот, число больше нуля называется положительным ; ноль обычно ( но не всегда ) не считается ни положительным, ни отрицательным . [1]Положительность числа можно подчеркнуть, поставив перед ним знак «плюс», например +3. Как правило, отрицательность или положительность числа называется его знаком .

Каждое действительное число, кроме нуля, либо положительно, либо отрицательно. Неотрицательные целые числа называются натуральными числами (т. Е. 0, 1, 2, 3 ...), а положительные и отрицательные целые числа (вместе с нулем) называются целыми числами . (Некоторые определения натуральных чисел исключают ноль.)

В бухгалтерском учете причитающиеся суммы часто представлены красными числами или числами в скобках в качестве альтернативного обозначения для представления отрицательных чисел.

Отрицательные числа впервые в истории появились в Девяти главах математического искусства , которые в своем нынешнем виде относятся к периоду китайской династии Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.), но вполне могут содержать гораздо более старый материал. [2] Лю Хуэй (ок. III в.) Установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. [3] К 7 веку индийские математики, такие как Брахмагупта, описывали использование отрицательных чисел. Исламские математики разработали правила вычитания и умножения отрицательных чисел и решили задачи с отрицательными коэффициентами . [4]До появления концепции отрицательных чисел математики, такие как Диофант, считали отрицательные решения проблем «ложными», а уравнения, требующие отрицательных решений, описывались как абсурдные. [5] Западные математики, такие как Лейбниц (1646–1716), считали отрицательные числа недействительными, но все же использовали их в расчетах. [6] [7]

Введение [ править ]

В результате вычитания [ править ]

Отрицательные числа можно рассматривать как результат вычитания большего числа из меньшего. Например, отрицательное число три - это результат вычитания трех из нуля:

0 - 3 = −3.

Как правило, вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат, при этом величина результата представляет собой разницу между двумя числами. Например,

5-8 = −3

так как 8-5 = 3 .

Числовая строка [ править ]

Основная статья: Числовая линия

Связь между отрицательными числами, положительными числами и нулем часто выражается в виде числовой линии :

Цифры, расположенные правее в этой строке, больше, а числа, расположенные левее, меньше. Таким образом, ноль появляется посередине, положительные числа находятся справа, а отрицательные - слева.

Обратите внимание, что отрицательное число с большей величиной считается меньшим. Например, даже если (положительный) 8 больше, чем (положительный) 5 , написано

8> 5

отрицательный 8 считается меньше отрицательного 5 :

−8 <−5.

(Потому что, например, если у вас есть -8 фунтов стерлингов, то есть долг в 8 фунтов стерлингов, у вас будет меньше после добавления, скажем, 10 фунтов стерлингов, чем если бы у вас было -5 фунтов стерлингов.) Отсюда следует, что любое отрицательное число меньше, чем любое положительное число, поэтому

−8 <5  и  −5 <8.

Подписанные числа [ править ]

Основная статья: Знак (математика)

В контексте отрицательных чисел число, которое больше нуля, называется положительным . Таким образом, каждое действительное число, кроме нуля, является положительным или отрицательным, в то время как сам ноль не считается имеющим знак. Положительные числа иногда пишутся со знаком плюс впереди, например, +3 обозначает положительную тройку.

Поскольку ноль не является ни положительным, ни отрицательным, термин « неотрицательный» иногда используется для обозначения положительного или нулевого числа, а « неположительный» используется для обозначения отрицательного или нулевого числа. Ноль - нейтральное число.

Повседневное использование отрицательных чисел [ править ]

Спорт [ править ]

Отрицательные баллы по гольфу относительно номинала.
  • Разница мячей в ассоциациях футбола и хоккея ; разница в очках в регби ; чистая скорость бега в крикете ; результаты гольфа относительно номинала .
  • Плюс-минус дифференциал в хоккее с шайбой : разница в общем количестве голов, забитых командой (+) и командой (-), когда конкретный игрок находится на льду, составляет +/- рейтинг игрока. У игроков может быть отрицательный (+/–) рейтинг.
  • Дифференциал забегов в бейсболе : разница забегов отрицательна, если команда позволяет больше забегов, чем они забили.
  • С клубов могут вычитаться очки за нарушение законов, и таким образом они будут иметь отрицательную сумму очков, пока они не заработают хотя бы такое количество очков в этом сезоне. [8] [9]
  • Время круга (или сектора) в Формуле 1 может быть указано как разница по сравнению с предыдущим кругом (или сектором) (например, предыдущим рекордом или кругом, только что пройденным гонщиком впереди), и будет положительным, если оно будет медленнее и отрицательный, если быстрее. [10]
  • В некоторых соревнованиях по легкой атлетике , таких как спринтерские гонки , преодоление препятствий , тройной прыжок и прыжок в длину , помощь от ветра измеряется и записывается [11] и является положительной для попутного ветра и отрицательной для встречного ветра. [12]

Наука [ править ]

  • Температура ниже 0 ° C или 0 ° F. [13] [14]
  • Широта к югу от экватора и долгота к западу от нулевого меридиана .
  • Топографическим характеристикам земной поверхности задается высота над уровнем моря , которая может быть отрицательной (например, отметка поверхности Мертвого моря или Долины Смерти , или отметка приливного туннеля Темзы ).
  • Электрические схемы . Когда батарея подключена с обратной полярностью, считается, что приложенное напряжение противоположно ее номинальному напряжению. Например, батарея 6 (В), подключенная в обратном направлении, прикладывает напряжение -6 (В).
  • Ионы имеют положительный или отрицательный электрический заряд.
  • Импеданс радиовещательной башни AM, используемой в многонаправленных антенных решетках, может быть положительным или отрицательным.

Финансы [ править ]

  • Финансовая отчетность может включать отрицательное сальдо, обозначенное знаком минус или заключением сальдо в круглые скобки. [15] Примеры включают овердрафты на банковских счетах и коммерческие убытки (отрицательную прибыль ).
  • Возврат средств на кредитную или дебетовую карту является отрицательным списанием с карты. [16] [17]
  • Годовой процентный рост ВВП страны может быть отрицательным, что является одним из индикаторов рецессии . [18]
  • Иногда уровень инфляции может быть отрицательным ( дефляция ), что указывает на падение средних цен. [19]
  • Ежедневное изменение в доли цен или индекс фондового рынка , такие как FTSE 100 или Dow Jones .
  • Отрицательное число в финансировании является синонимом «долга» и «дефицита», которые также известны как «убыток».
  • Процентные ставки могут быть отрицательными [20] [21] [22], когда кредитор должен внести свои деньги.

Другое [ править ]

Отрицательная этажность в лифте.
  • Нумерация этажей в доме ниже первого этажа.
  • При воспроизведении аудиофайла на портативном медиаплеере , таком как iPod , на экране может отображаться оставшееся время в виде отрицательного числа, которое увеличивается до нуля с той же скоростью, что и время, которое уже воспроизведено, увеличивается с нуля.
  • Телевизионные игровые шоу :
    • Участники QI часто заканчивают с отрицательными баллами.
    • Команды на University Challenge получают отрицательную оценку, если их первые ответы неверны и прерывают вопрос.
    • Опасность! имеет отрицательный денежный балл - участники играют на определенную сумму денег, и любой неправильный ответ, который стоит им больше, чем они имеют сейчас, может привести к отрицательному баллу.
    • В Цене Is Right " цены игр s купить или продать, если сумма денег теряются , что больше , чем сумма , в настоящее время в банке, он берет на себя отрицательную оценку.
  • Изменение поддержки политической партии между выборами, известное как качели .
  • Рейтинг одобрения политика . [23]
  • В видеоиграх отрицательное число указывает на потерю жизни, повреждение, штраф в количестве очков или потребление ресурса, в зависимости от жанра симуляции.
  • У сотрудников с гибким рабочим временем может быть отрицательный баланс в расписании, если они отработали меньше часов, чем было по контракту к этому моменту. Сотрудники могут иметь возможность брать отпускные, превышающие годовые, в течение года, и переносить отрицательный баланс на следующий год.
  • Транспонирование нот на электронной клавиатуре отображается на дисплее с положительными числами для увеличения и отрицательными числами для уменьшения, например, «-1» на один полутон вниз.

Арифметика с отрицательными числами [ править ]

Знак минус «-» означает оператор как для двоичного файла (двух- операнд ) операция по вычитанию (как в у - г ) и унарная (один операнд) операция отрицания (как в -x , или два раза в - ( −x) ). Частный случай унарного отрицания возникает, когда оно работает с положительным числом, и в этом случае результатом является отрицательное число (как в −5 ).

Неоднозначность символа «-» обычно не приводит к неоднозначности в арифметических выражениях, потому что порядок операций делает возможной только одну интерпретацию для каждого «-». Однако это может привести к путанице и трудностям для понимания выражения, когда символы операторов появляются рядом друг с другом. Решением может быть заключить в скобки унарный знак «-» вместе с его операндом.

Например, выражение 7 + −5 может быть более ясным, если записать 7 + (−5) (даже если формально они означают одно и то же). Вычитание выражение 7-5 представляет собой другое выражение , которое не представляет собой одни и те же операции, но он оценивает к тому же результату.

Иногда в начальной школе перед числом может стоять верхний индекс минус или плюс, чтобы явно различать отрицательные и положительные числа, как в [24]

- 2 + - 5  дает  - 7 .

Дополнение [ править ]

Наглядное представление сложения положительных и отрицательных чисел. Большие шары представляют собой числа с большей величиной.

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел. Например,

(−3) + (−5) = −8 .

Идея состоит в том, что два долга можно объединить в один долг большей величины.

При сложении смеси положительных и отрицательных чисел можно рассматривать отрицательные числа как вычитаемые положительные величины. Например:

8 + (−3) = 8-3 = 5  и  (−2) + 7 = 7-2 = 5 .

В первом примере кредит 8 сочетается с задолженностью 3 , что дает общий кредит 5 . Если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

(−8) + 3 = 3-8 = −5  и  2 + (−7) = 2-7 ​​= −5 .

Здесь кредит меньше долга, поэтому чистый результат - это долг.

Вычитание [ править ]

Как обсуждалось выше, вычитание двух неотрицательных чисел может дать отрицательный ответ:

5-8 = −3

Как правило, вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины. Таким образом

5-8 = 5 + (−8) = −3

и

(−3) - 5 = (−3) + (−5) = −8

С другой стороны, вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа равной величины. (Идея состоит в том, что потеря долга - это то же самое, что и получение кредита.)

3 - (−5) = 3 + 5 = 8

и

(−5) - (−8) = (−5) + 8 = 3 .

Умножение [ править ]

При умножении чисел величина продукта всегда является просто произведением двух величин. Знак продукта определяется следующими правилами:

  • Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
  • Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Таким образом

(−2) × 3 = −6

и

(−2) × (−3) = 6 .

Причина первого примера проста: сложение трех −2 вместе дает −6 :

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

Обоснование второго примера более сложное. Идея снова заключается в том, что потеря долга - это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом - это то же самое, что получить кредит в шесть:

(−2 долга ) × (−3 каждый ) = +6 кредита.

Условие, что произведение двух отрицательных чисел является положительным, также необходимо для того, чтобы умножение соответствовало закону распределения . В этом случае мы знаем, что

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Поскольку 2 × (−3) = −6 , произведение (−2) × (−3) должно равняться 6 .

Эти правила приводят к другому (эквивалентному) правилу - знак любого продукта a × b зависит от знака a следующим образом:

  • если a положительно, то знак a × b такой же, как знак b , и
  • если a отрицательно, то знак a × b противоположен знаку b .

Обоснование того, почему произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, можно увидеть при анализе комплексных чисел .

Подразделение [ править ]

Знаковые правила деления такие же, как и для умножения. Например,

8 ÷ (−2) = −4 ,
(−8) ÷ 2 = −4 ,

и

(−8) ÷ (−2) = 4 .

Если у делимого и делителя один и тот же знак, результат положительный, если у них разные знаки, результат отрицательный.

Отрицание [ править ]

Основная статья: Аддитивная обратная

Отрицательная версия положительного числа называется его отрицанием . Например, −3 - это отрицание положительного числа 3 . Сумма ряда и его отрицание равно нулю:

3 + (−3) = 0 .

То есть отрицание положительного числа является аддитивной обратной величиной числа.

Используя алгебру , мы можем записать этот принцип как алгебраическое тождество :

х + (- х ) = 0 .

Это тождество верно для любого положительного числа x . Его можно заставить действовать для всех действительных чисел, расширив определение отрицания до нуля и отрицательных чисел. Конкретно:

  • Отрицание 0 равно 0, а
  • Отрицание отрицательного числа соответствует положительному числу.

Например, отрицание −3 равно +3 . В целом,

- (- х ) =  х .

Абсолютное значение из числа является неотрицательным числом с той же величиной. Например, абсолютное значение −3 и абсолютное значение 3 равны 3 , а абсолютное значение 0 равно 0 .

Формальное построение отрицательных целых чисел [ править ]

См. Также: Integer § Строительство

Подобно рациональным числам , мы можем расширить натуральные числа N до целых Z , определив целые числа как упорядоченную пару натуральных чисел ( a , b ). Мы можем расширить сложение и умножение на эти пары по следующим правилам:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )
( a , b ) × ( c , d ) = ( a × c + b × d , a × d + b × c )

Мы определяем отношение эквивалентности ~ на этих парах по следующему правилу:

( a , b ) ~ ( c , d ) тогда и только тогда, когда a + d = b + c .

Это отношение эквивалентности совместимо со сложением и умножением, определенными выше, и мы можем определить Z как фактормножество N ² / ~, т.е. мы идентифицируем две пары ( a , b ) и ( c , d ), если они эквивалентны в выше смысла. Обратите внимание, что Z , снабженный этими операциями сложения и умножения, представляет собой кольцо и, по сути, является прототипом кольца.

Мы также можем определить общий порядок на Z , написав

( a , b ) ≤ ( c , d ) тогда и только тогда, когда a + d ≤ b + c .

Это приведет к аддитивному нулю вида ( a , a ), аддитивному обратному к ( a , b ) виду ( b , a ), мультипликативной единице вида ( a + 1, a ) и a определение вычитания

( a , b ) - ( c , d ) = ( a + d , b + c ).

Эта конструкция является частным случаем конструкции Гротендика .

Уникальность [ править ]

Отрицательное число уникально, как показывает следующее доказательство.

Пусть x - число, а y - его отрицательное значение. Предположим, что y ' - еще одно отрицательное значение x . По аксиоме действительной системы счисления

Итак, x + y ' = x + y . Используя закон сокращения для сложения, видно, что y ' = y . Таким образом, y равно любому другому отрицательному значению x . То есть y - единственный минус x .

История [ править ]

Долгое время отрицательные решения проблем считались «ложными». В эллинистического Египта , в греческой математик Диофант в 3 веке нашей эры называют уравнением , которое было эквивалентно 4 х + 20 = 4 (который имеет отрицательное решение) в Arithmetica , о том , что уравнение было абсурдно. [25] По этой причине греческие геометры могли геометрически решать все формы квадратного уравнения, дающие положительные корни; в то время как они не могли принимать во внимание других. [26]

Отрицательные числа впервые в истории появляются в Девяти главах математического искусства ( Jiu zhang suan-shu ), которые в своем нынешнем виде относятся к периоду династии Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.), но могут содержать намного более старый материал. [2] Математик Лю Хуэй (ок. III в.) Установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. Историк Жан-Клод Марцлофф предположил, что важность двойственности в китайской натурфилософии облегчила китайцам принятие идеи отрицательных чисел. [3] Китайцы умели решать одновременные уравнения с отрицательными числами. В девяти главах используется красныйсчетные стержни для обозначения положительных коэффициентов и черные стержни для отрицательных. [3] [27] Эта система является полной противоположностью современной печати положительных и отрицательных чисел в областях банковского дела, бухгалтерского учета и торговли, где красные числа обозначают отрицательные значения, а черные числа обозначают положительные значения. Лю Хуэй пишет:

Теперь есть два противоположных вида счетных стержней для прибылей и убытков, назовем их положительными и отрицательными. Красные счетные стержни - положительные, черные - отрицательные. [3]

В древнеиндийской рукописи Бахшали были выполнены вычисления с отрицательными числами, используя «+» в качестве отрицательного знака. [28] Дата рукописи неизвестна. Л. В. Гурджар датирует его не позднее 4-го века [29], Хорнле датирует его между третьим и четвертым веками, Айангар и Пингри датируют его 8-м или 9-м веками [30], а Джордж Гевергезе Джозеф датирует его примерно 400 г. не позднее начала 7 века [31]

В 7 веке нашей эры отрицательные числа использовались в Индии для обозначения долгов. Индийский математик Brahmagupta , в Брахма-Sphuta-сиддханте (написано с. 630 г. н.э.), обсудили использование отрицательных чисел для получения общего вида квадратичной формулой , которая остается в использовании сегодня. [25] Он также нашел отрицательные решения квадратных уравнений и дал правила относительно операций с отрицательными числами и нулем , например: «Долг, отрезанный от небытия, становится кредитом; кредит, отрезанный от небытия, становится долгом». Он называл положительные числа «состояниями», ноль «цифрой», а отрицательные числа - «долгами». [32] [33]

В IX веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. [4] Аль-Хорезми в своей книге «Аль-джабр ва'л-мукабала» ( отсюда мы получили слово «алгебра») не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. [4] Но в течение пятидесяти лет, Абу Камил иллюстрируются правила знаков для расширения умножения , [34] и аль-Караджи писал в своем аль-Фахри , что «отрицательные величины должны учитываться как термины». [4] В 10 векеАбу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в «Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» . [34]

К XII веку преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения полиномиальных делений . [4] Как пишет ас-Самав'ал :

произведение отрицательного числа - ан-наких - на положительное число - аз-заид - отрицательно, а на отрицательное число положительно. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разностью. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычтем отрицательное число из положительного, остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени ( martaba khāliyya ), остаток будет таким же отрицательным, а если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет таким же положительным числом. [4]

В XII веке в Индии Бхаскара II дал отрицательные корни для квадратных уравнений, но отверг их, поскольку они не подходили для контекста проблемы. Он заявил, что отрицательное значение «в данном случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».

Европейские математики, по большей части, сопротивлялись концепции отрицательных чисел до 17 века [ цитата необходима ] , хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения финансовых проблем, где они могли быть интерпретированы как дебеты (глава 13 Liber Abaci , 1202 г. н.э.) и позже как убытки (в Flos ).

В 15 веке француз Николя Шюке использовал отрицательные числа в качестве показателей [35], но называл их «абсурдными числами». [36] В своей книге « Arithmetica Integra» 1544 г. Майкл Стифель также имел дело с отрицательными числами, также называя их numeri absurdi .

В 1545 году Джероламо Кардано в своей книге Ars Magna впервые в Европе дал удовлетворительную трактовку отрицательных чисел. [25] Он не допускал отрицательных чисел при рассмотрении кубических уравнений , поэтому ему пришлось рассматривать, например, x 3  +  ax  =  b отдельно от x 3  =  ax  +  b (с a , b  > 0 в обоих случаях) . В целом Кардано был вынужден изучить тринадцать различных типов кубических уравнений, каждое из которых выражалось чисто положительными числами.

В 1759 году нашей эры английский математик Фрэнсис Масерес писал, что отрицательные числа «затемняют всю доктрину уравнений и затемняют вещи, которые по своей природе являются чрезмерно очевидными и простыми». Он пришел к выводу, что отрицательные числа бессмысленны. [37]

В 18 веке было обычной практикой игнорировать любые отрицательные результаты, полученные из уравнений, полагая, что они бессмысленны. [38]

Готфрид Вильгельм Лейбниц был первым математиком, который систематически использовал отрицательные числа как часть согласованной математической системы, исчисления бесконечно малых . Исчисление сделало отрицательные числа необходимыми, и их отказ от «абсурдных чисел» постепенно исчез. [ противоречивый ] [ необходима ссылка ]

См. Также [ править ]

  • Подписанный ноль
  • Противоположное число
  • История нуля
  • Целые числа
  • Положительные и отрицательные части
  • Рациональное число
  • Действительные числа
  • Функция знака
  • Знак (математика)
  • Знаковые представления чисел

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Соглашение о том, что ноль не является ни положительным, ни отрицательным, не универсально. Например, во французском соглашении ноль считается как положительным, так и отрицательным. Французские слова POSITIF и Negatif означают то же самоекак английский «положительный или нулевой» и «отрицательный или нулевой» соответственно.
  2. ^ а б Струик, страницы 32–33. «В этих матрицах мы находим отрицательные числа, которые появляются здесь впервые в истории».
  3. ^ а б в г Люк Ходжкин (2005). История математики: от Месопотамии до современности . Издательство Оксфордского университета. п. 88 . ISBN 978-0-19-152383-0. Лю прямо говорит об этом; в том месте, где Девять глав дают подробное и полезное «Правило Знака»
  4. ^ a b c d e f Рашед Р. (30 июня 1994 г.). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Springer. С. 36–37. ISBN 9780792325659.
  5. ^ Диофант , Арифметика .
  6. ^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. п. 252.
  7. ^ Марта Смит. «История отрицательных чисел» .
  8. ^ «Нарушение предела заработной платы сарацинов: чемпионы Премьер-лиги не будут оспаривать санкции» . BBC . Дата обращения 18 ноября 2019 . Команда Марка МакКолла впоследствии опустилась с третьего места в нижнюю часть Премьер-лиги с −22 очками.
  9. ^ "Болтон Уондерерс 1-0 Милтон Кейнс Донс" . BBC . Проверено 30 ноября 2019 года . Но на третьей минуте добавленного времени нападающий сделал прострел Люка Мерфи с восьми ярдов, чтобы заработать третью победу в первой лиге для команды Хилла, которая начала кампанию с −12 очков после того, как в мае перешла в администрацию.
  10. ^ «Глоссарий» . Formula1.com . Проверено 30 ноября 2019 года . Дельта-время: термин, используемый для описания разницы во времени между двумя разными кругами или двумя разными автомобилями. Например, обычно существует отрицательная разница между наилучшим временем прохождения круга гонщиком и его лучшим квалификационным временем круга, потому что он использует низкую топливную нагрузку и новые шины.
  11. ^ «BBC Sport - Олимпийские игры - Лондон 2012 - Прыжки в длину, мужчины: легкая атлетика - Результаты» . 5 августа 2012 года Архивировано из оригинала 5 августа 2012 года . Проверено 5 декабря 2018 .
  12. ^ «Как помощь ветра работает в легкой атлетике» . elitefeet.com . Дата обращения 18 ноября 2019 . Помощь ветра обычно выражается в метрах в секунду, положительной или отрицательной. Положительное измерение означает, что ветер помогает бегунам, а отрицательное значение означает, что бегуны должны были работать против ветра. Так, например, ветер со скоростью -2,2 м / с и + 1,9 м / с является допустимым, в то время как ветер +2,1 м / с является слишком большой помощью и считается незаконным. Также часто используются термины «попутный ветер» и «встречный ветер». Попутный ветер толкает бегунов вперед (+), а встречный ветер толкает бегунов назад (-)
  13. ↑ Forbes, Роберт Б. (6 января 1975 г.). Вклад в геологию бассейна Берингова моря и прилегающих регионов: избранные доклады симпозиума по геологии и геофизике региона Берингова моря, посвященного открытию здания CT Elvey Building, Университет Аляски, 26-28 июня, 1970, а с 2d Международный симпозиум по геологии Арктики в Сан - Франциско, 1-4 февраля 1971 года . Геологическое общество Америки. п. 194. ISBN 9780813721514.
  14. ^ Уилкс, Дэниел С. (6 января 2018 г.). Статистические методы в атмосферных науках . Академическая пресса. п. 17. ISBN 9780123850225.
  15. ^ Кэрисфорт, Кэрол; Нейлд, Майк (2002), Двойная награда , Heinemann, стр. 375, ISBN 978-0-435-44746-5
  16. ^ Гервер, Роберт К .; Сгрой, Ричард Дж. (2010), Финансовая алгебра, Студенческое издание , Cengage Learning, стр. 201, ISBN 978-0-538-44967-0
  17. ^ Что означает отрицательный номер в выписке по кредитной карте? , Pocketsense, 27 октября 2018 г.
  18. ^ "Экономика Великобритании сократилась в конце 2012 года" . 25 января 2013 . Проверено 5 декабря 2018 г. - через www.bbc.co.uk.
  19. ^ «Первый отрицательный показатель инфляции с 1960 года» . Независимый . 21 апреля 2009 . Проверено 5 декабря 2018 .
  20. ^ «ЕЦБ устанавливает отрицательную процентную ставку» . BBC News . 5 июня 2014 . Проверено 5 декабря 2018 .
  21. ^ Линн, Мэтью. «Думаете, здесь не может быть отрицательных процентных ставок? Подумайте еще раз» . MarketWatch . Проверено 5 декабря 2018 .
  22. ^ «Швейцарская процентная ставка станет отрицательной» . BBC News . 18 декабря 2014 . Проверено 5 декабря 2018 .
  23. ^ Винтур, Патрик (17 июня 2014). «Популярность Милибэнда и Клегга упала до самого низкого уровня, зафиксированного опросом ICM» . Проверено 5 декабря 2018 г. - через www.theguardian.com.
  24. ^ Грант П. Уиггинс; Джей МакТиг (2005). Понимание по замыслу . Публикации ACSD. п. 210 . ISBN 1-4166-0035-3.
  25. ^ a b c Нидхэм, Джозеф; Ван, Линг (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небе и Земле (переиздание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 90. ISBN 0-521-05801-5.
  26. ^ Хит, Томас Л. (1897). Произведения Архимеда . Издательство Кембриджского университета. стр. cxxiii.
  27. ^ Нидхэм, Джозеф; Ван, Линг (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небе и Земле (переиздание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 90–91. ISBN 0-521-05801-5.
  28. ^ Teresi, Дик. (2002). Утраченные открытия: древние корни современной науки - от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-684-83718-8 . Стр.65. 
  29. ↑ Пирс, Ян (май 2002 г.). «Бахшалинская рукопись» . Архив истории математики MacTutor . Проверено 24 июля 2007 года .
  30. ^ Такао Hayashi (2008), «Бахшали Рукопись» , в Helaine Селин (ред.), Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах , 1 , М., стр. B2, ISBN 9781402045592
  31. ^ Teresi, Дик. (2002). Утраченные открытия: древние корни современной науки - от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-684-83718-8 . Стр. 65–66. 
  32. ^ Колва М. Рони-Дугал , преподаватель чистой математики в Университете Сент-Эндрюс, заявил об этом в программе BBC Radio 4 «В наше время» 9 марта 2006 г.
  33. ^ Передача знаний и восприятие течения времени , основной доклад ICEE-2002 Колина Адамсона-Маседо. Снова обращаясь к великой работе Брахмагупты, все необходимые правила алгебры, включая «правило знаков», были оговорены, но в форме, которая использовала язык и образы торговли и рынка. Таким образом, «дхана» (= состояния ) используется для обозначения положительных чисел, тогда как «rina» (= долги) были отрицательными ».
  34. ^ a b Мат Рофа бин Исмаил (2008), «Алгебра в исламской математике», в Хелайне Селин (ред.), Энциклопедия истории науки, технологии и медицины в незападных культурах , 1 (2-е изд.), Спрингер, стр. 115, ISBN 9781402045592
  35. ^ Флегг, Грэм; Hay, C .; Мосс, Б. (1985), Николя Шуке, математик эпохи Возрождения: исследование с обширными переводами математической рукописи Шке, завершенное в 1484 году , D. Reidel Publishing Co., стр. 354, ISBN 9789027718723.
  36. ^ Известные проблемы и их математики , издательство Greenwood Publishing Group, 1999, стр. 56, ISBN 9781563084461.
  37. ^ Maseres, Фрэнсис (1758). Диссертация об использовании знака минус в алгебре: содержит демонстрацию правил, которые обычно приводятся в отношении этого знака; и показывает, как можно объяснить квадратные и кубические уравнения без учета отрицательных корней. К ней добавлена ​​в качестве приложения Квадратура Круга мистера Мачина . Цитата из работы Мазереса: если какая-либо отдельная величина отмечена либо знаком +, либо знаком -, не влияя на какую-либо другую величину, этот знак не будет иметь значения или значения, поэтому, если будет сказано, что квадрат −5 или произведение −5 на −5, равно +25, такое утверждение должно либо означать, что не более 5 умножить на 5 равно 25 без учета знаков, либо это должно быть просто вздор или непонятный жаргон.
  38. ^ Мартинес, Альберто А. (2006). Отрицательная математика: как математические правила могут быть изменены . Издательство Принстонского университета . история споров об отрицательных числах, в основном с 1600-х до начала 1900-х годов.

Библиография [ править ]

  • Бурбаки, Николас (1998). Элементы истории математики . Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8 . 
  • Струик, Дирк Дж. (1987). Краткая история математики . Нью-Йорк: Dover Publications.

Внешние ссылки [ править ]

  • Биографические данные Масереса
  • Серия BBC Radio 4 " В наше время" , "Отрицательные числа", 9 марта 2006 г.
  • Бесконечные примеры и упражнения: операции с целыми числами со знаком
  • Форум по математике: спросите доктора математики FAQ: время отрицательного ответа