Подписанный ноль

Ноль со знаком - это ноль с соответствующим знаком . В обычной арифметике число 0 не имеет знака, поэтому -0, +0 и 0 идентичны. Однако в вычислениях некоторые представления чисел допускают существование двух нулей, часто обозначаемых -0 ( отрицательный ноль ) и +0 ( положительный ноль ), которые рассматриваются как равные в операциях численного сравнения, но с возможным различным поведением в конкретных операциях. Это происходит в знаках и величинах, а также в представлениях чисел со знаком в дополнительном коде для целых чисел и в большинстве чисел с плавающей запятой.представления. Число 0 обычно кодируется как +0, но может быть представлено как +0, так и -0.

Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой (в настоящее время используется большинством компьютеров и языков программирования, поддерживающих числа с плавающей запятой) требует как +0, так и -0. Вещественную арифметику с нулями со знаком можно рассматривать как вариант расширенной строки действительных чисел, такой что 1 / −0 = - ∞ и 1 / + 0 = + ∞; деление не определено только для ± 0 / ± 0 и ± ∞ / ± ∞.

Ноль с отрицательным знаком повторяет концепцию математического анализа приближения к 0 снизу как односторонний предел , который может быть обозначен как x  → 0 ^- , x  → 0− или x  → ↑ 0. Обозначение «-0» может использоваться неформально для обозначения небольшого отрицательного числа, которое было округлено до нуля. Концепция отрицательного нуля также имеет некоторые теоретические приложения в статистической механике и других дисциплинах.

Утверждается, что включение нуля со знаком в IEEE 754 значительно упрощает достижение числовой точности в некоторых критических задачах ^[1], в частности, при вычислениях со сложными элементарными функциями. ^[2] С другой стороны, концепция нуля со знаком противоречит общему предположению, сделанному в большинстве математических областей, что отрицательный ноль - это то же самое, что и ноль. Представления, допускающие отрицательный ноль, могут быть источником ошибок в программах, если разработчики программного обеспечения не принимают во внимание, что, хотя два нулевых представления ведут себя как равные при числовых сравнениях, они дают разные результаты в некоторых операциях.

Представления [ править ]

Широко используемое кодирование с дополнением до двух не допускает отрицательного нуля. В знаково-величинном представлении 1 + 7 для целых чисел отрицательный ноль представлен битовой строкой 1000 0000 . В 8-битном дополнительном представлении до единицы отрицательный ноль представлен битовой строкой 1111 1111 . Во всех трех кодировках положительный ноль представлен как 0000 0000 . Однако это необычные форматы, наиболее распространенными форматами, включая отрицательный ноль, являются форматы с плавающей запятой IEEE 754, описанные ниже.

Отрицательный ноль при представлении IEEE 754 в двоичном формате32

В двоичных числах с плавающей запятой IEEE 754 нулевые значения представлены смещенной экспонентой и мантиссой, оба равны нулю. Отрицательный ноль имеет бит знака, равный единице. Отрицательный ноль может быть получен в результате определенных вычислений, например, в результате арифметического опустошения отрицательного числа, или −1.0×0.0, или просто как −0.0.

В десятичном кодировании с плавающей запятой IEEE 754 отрицательный ноль представлен экспонентой, являющейся любой действительной экспонентой в диапазоне для кодирования, истинное значение равно нулю, а знаковый бит равен единице.

Свойства и обращение [ править ]

Стандарт IEEE 754 с плавающей запятой определяет поведение положительного и отрицательного нуля при различных операциях. Результат может зависеть от текущих настроек режима округления IEEE .

Обозначение [ править ]

В системах, которые включают как знаковые, так и беззнаковые нули, для знаковых нулей иногда используется нотация и .${\ displaystyle 0 ^ {+}}$${\ displaystyle 0 ^ {-}}$

Арифметика [ править ]

Сложение и умножение коммутативны, но есть некоторые особые правила, которые необходимо соблюдать, а это означает, что обычные математические правила алгебраического упрощения могут не применяться. Знак ниже показывает подписанный результат операции.${\ displaystyle =}$

При умножении или делении всегда соблюдается обычное правило для знаков:

• ${\ displaystyle {\ frac {-0} {\ left | x \ right |}} = - 0 \, \!}$(для отличных от 0)${\ displaystyle x}$
• ${\ Displaystyle (-0) \ cdot (-0) = + 0 \, \!}$

Существуют специальные правила для добавления или вычитания нуля со знаком:

• ${\ Displaystyle х + (\ pm 0) = х \, \!}$(для отличных от 0)${\ displaystyle x}$
• ${\ Displaystyle (-0) + (- 0) = (- 0) - (+ 0) = - 0 \, \!}$
• ${\ Displaystyle (+0) + (+ 0) = (+ 0) - (- 0) = + 0 \, \!}$
• ${\ Displaystyle хх = х + (- х) = + 0 \, \!}$(для любого конечного значения −0 при округлении в отрицательную сторону)${\ displaystyle x}$

Из-за отрицательного нуля (а также при режиме округления в сторону увеличения или уменьшения) выражения - ( x - y ) и (- x ) - (- y ) для переменных x и y с плавающей запятой не могут быть заменены на y - х . Однако (-0) + x может быть заменен на x с округлением до ближайшего (за исключением случая, когда x может быть сигнальным NaN ).

Некоторые другие особые правила:

• ${\ displaystyle {\ sqrt {-0}} = - 0 \, \!}$^[3]
• ${\ displaystyle {\ frac {-0} {- \ infty}} = + 0 \, \!}$ (следует правилу знаков для разделения)
• ${\ displaystyle {\ frac {\ left | x \ right |} {- 0}} = - \ infty \, \!}$ (для ненулевых , следует правилу знака для деления)${\ displaystyle x}$
• ${\ displaystyle {\ pm 0} \ times {\ pm \ infty} = {\ mbox {NaN}} \, \!}$( Не число или прерывание для неопределенной формы )
• ${\ displaystyle {\ frac {\ pm 0} {\ pm 0}} = {\ mbox {NaN}} \, \!}$

Деление ненулевого числа на ноль устанавливает флаг деления на ноль , а операция, производящая NaN, устанавливает флаг недопустимой операции. Обработчик исключений вызывается , если включен для соответствующего флага.

Сравнения [ править ]

Согласно стандарту IEEE 754, отрицательный ноль и положительный ноль должны сравниваться как равные с обычными (числовыми) операторами сравнения, такими как ==операторы C и Java . На этих языках могут потребоваться специальные приемы программирования, чтобы различать два значения:

• Введите каламбур числа в целочисленный тип, чтобы посмотреть на бит знака в битовой комбинации;
• использование функции ISO C copysign()(операция copySign IEEE 754) для копирования знака нуля в некоторое ненулевое число;
• с помощью signbit()макроса ISO C (операция isSignMinus IEEE 754), который возвращает, установлен ли знаковый бит числа;
• взяв величину, обратную нулю, чтобы получить либо 1 / (+ 0) = + ∞, либо 1 / (- 0) = −∞ (если исключение деления на ноль не зафиксировано).

Примечание: Кастинг для интегрального типа не всегда будет работать, особенно на два в системах комплемента.

Однако некоторые языки программирования могут предоставлять альтернативные операторы сравнения, которые действительно различают два нуля. Так обстоит дело, например, с методом equals в Doubleклассе оболочки Java . ^[4]

В округленных значениях, таких как температура [ править ]

Неформально можно использовать обозначение «-0» для отрицательного значения, которое было округлено до нуля. Это обозначение может быть полезно, когда отрицательный знак имеет значение; например, при составлении таблицы температур по Цельсию , где отрицательный знак означает температуру ниже нуля .

В статистической механике [ править ]

В статистической механике иногда используются отрицательные температуры для описания систем с инверсией населенностей , которые можно рассматривать как имеющие температуру больше положительной бесконечности, поскольку коэффициент энергии в функции распределения населенностей равен −1 / Температура. В этом контексте температура -0 является (теоретической) температурой выше, чем любая другая отрицательная температура, что соответствует (теоретической) максимальной мыслимой степени инверсии населенности, противоположной экстремальной точке +0. ^[5]

См. Также [ править ]

• Линия с двумя истоками
• Отрицательная бесконечность

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]