Неопределенная форма

В исчислении и других разделах математического анализа пределы, включающие алгебраическую комбинацию функций в независимой переменной, часто могут быть оценены путем замены этих функций их пределами ; если выражение, полученное после этой замены, не предоставляет достаточной информации для определения исходного предела, то выражение называется неопределенной формой . Более конкретно, неопределенная форма - это математическое выражение, включающее , и полученное путем применения алгебраической предельной теоремы${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ infty}$в процессе попытки определить предел, который не может ограничить этот предел одним конкретным значением или бесконечностью (если предел подтвержден как бесконечность, тогда он не является неопределенным, поскольку предел определяется как бесконечность) и, таким образом, еще не определяет искомый предел. ^{[1] [2]} Термин был впервые введен учеником Коши Моиньо в середине XIX века.

Существует семь неопределенных форм, которые обычно рассматриваются в литературе: ^[2]

${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}, ~ {\ frac {\ infty} {\ infty}}, ~ 0 \ times \ infty, ~ \ infty - \ infty, ~ 0 ^ {0}, ~ 1 ^ {\ infty}, {\ text {and}} \ infty ^ {0}.}$

Наиболее распространенный пример неопределенной формы возникает при определении предела отношения двух функций, в котором обе эти функции стремятся к нулю в пределе, и упоминается как «неопределенная форма ». Например, в качестве подходов , отношений , и перейти к , и соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, результатом будет выражение , которое не определено. Грубо говоря, может принимать значения , или , и легко построить аналогичные примеры, для которых пределом является любое конкретное значение.${\ displaystyle 0/0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle х / х ^ {3}}$${\ Displaystyle х / х}$${\ Displaystyle х ^ {2} / х}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0/0}$${\ displaystyle 0/0}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ infty}$

Таким образом, учитывая , что две функции и как приближается , как приближается к некоторому предельной точки , в одиночку этот факт не дает достаточной информации для оценки предела${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}.}$

Не всякое неопределенное алгебраическое выражение соответствует неопределенной форме. Например, выражение не определено как действительное число, но не соответствует неопределенной форме, потому что любой предел, который приводит к этой форме, будет расходиться до бесконечности, если знаменатель приближается к 0, но никогда не будет 0. ^[3]${\displaystyle 1/0}$

Выражение, которое возникает другими способами, кроме применения алгебраической предельной теоремы, может иметь ту же неопределенную форму. Однако нецелесообразно называть выражение «неопределенной формой», если выражение сделано вне контекста определения пределов. Так , например, которые возникают из подстановки для в уравнении не является формой неопределенными , поскольку это выражение не сделано при определении предела (это на самом деле не определено , как деление на ноль ). Другой пример - выражение . Оставлено ли это выражение неопределенным или равнозначным , зависит от области применения и может варьироваться у разных авторов. Подробнее читайте в статье Ноль в степени нуля . Обратите внимание, что${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=|x|/(|x-1|-1)}$${\displaystyle 0^{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0^{\infty }}$и другие выражения, содержащие бесконечность , не являются неопределенными формами .

Некоторые примеры и не примеры [ править ]

Неопределенная форма 0/0 [ править ]

• 

  Рис.1: y =Икс/Икс

• 

  Рис.2: y =х ²/Икс

• 

  Рис.3: y =грех  х/Икс

• 

  Рис.4: y =х - 49/√ х - 7(для x = 49)

• 

  Рис.5: y =а х/Иксгде a = 2

• 

  Рис.6: y =Икс/х ³

Неопределенная форма особенно распространена в исчислении , потому что она часто возникает при оценке производных с использованием их определения в терминах предела.${\displaystyle 0/0}$

Как уже упоминалось выше,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$ (см. рис.1)

пока

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$ (см. рис.2)

Этого достаточно, чтобы показать, что это неопределенная форма. Другие примеры с этой неопределенной формой включают${\displaystyle 0/0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$ (см. рис. 3)

и

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$ (см. рис.4)

Прямая подстановка приближающегося числа в любое из этих выражений показывает, что эти примеры соответствуют неопределенной форме , но эти пределы могут принимать множество различных значений. Любое желаемое значение для этой неопределенной формы может быть получено следующим образом:${\displaystyle x}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$ (см. рис.5)

Значение также может быть получено (в смысле расходимости до бесконечности):${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$ (см. рис.6)

Неопределенная форма 0 ⁰ [ править ]

• Рис.7: y = x ⁰

• Рис.8: y = 0 ^x

Следующие ограничения показывают, что выражение является неопределенной формой:${\displaystyle 0^{0}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad }$ (см. рис.7)

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad }$ (см. рис.8)

Таким образом, в общем, знания этого и недостаточно для оценки предела${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!}$${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$

Если функции и являются аналитическими в и положительно при достаточно близкие (но не равны) , то предел будет . ^[4] В противном случае используйте преобразование в таблице ниже, чтобы оценить предел.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$${\displaystyle 1}$

Выражения, не являющиеся неопределенными формами [ править ]

Выражение обычно не рассматривается как неопределенная форма, потому что не существует бесконечного диапазона значений, которые могли бы приблизиться. Конкретно, если подходит и подходит , то и можно выбрать так, чтобы:${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle f/g}$ подходы ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$ подходы ${\displaystyle -\infty }$
3. Лимита не существует.

В каждом случае абсолютное значение приближается , и поэтому частное должно расходиться в смысле расширенных действительных чисел (в рамках проективно расширенной вещественной прямой предел - бесконечность без знака во всех трех случаях ^[3] ). Точно так же любое выражение формы с (включая и ) не является неопределенной формой, поскольку частное, порождающее такое выражение, всегда будет расходиться.${\displaystyle |f/g|}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle a/0}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle a=+\infty }$${\displaystyle a=-\infty }$

Выражение не является неопределенной формой. Выражение, полученное в результате рассмотрения, дает предел при условии, что он остается неотрицательным по мере приближения . Выражение аналогично ; если as приближается , предел выходит как .${\displaystyle 0^{\infty }}$${\displaystyle 0^{+\infty }}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 0^{-\infty }}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f(x)>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle +\infty }$

Чтобы понять, почему, позвольте where и Взяв натуральный логарифм обеих сторон и используя, мы получим то, что означает${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Оценка неопределенных форм [ править ]

Прилагательное неопределенного вовсе не означает , что предел не существует, так как многие из приведенных выше примеров показывают. Во многих случаях можно использовать алгебраическое исключение, правило Л'Опиталя или другие методы для управления выражением, чтобы можно было вычислить предел. ^[1]

Эквивалент бесконечно малой [ править ]

Когда две переменные и сходятся к нулю в одной и той же предельной точке и , они называются эквивалентными бесконечно малыми (эквивалентными ). ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

Более того, если переменные и таковы, что и , то:${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle \beta '}$${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Вот краткое доказательство:

Предположим, что есть две эквивалентные бесконечно малые и .${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Для оценки неопределенной формы можно использовать следующие факты об эквивалентных бесконечно малых величинах (например, если x становится ближе к нулю): ^[5]${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle x\sim \sin x}$

${\displaystyle x\sim \sin x,}$

${\displaystyle x\sim \arcsin x,}$

${\displaystyle x\sim \sinh x,}$

${\displaystyle x\sim \tan x,}$

${\displaystyle x\sim \arctan x,}$

${\displaystyle x\sim \ln(1+x),}$

${\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}$

${\displaystyle e^{x}-1\sim x,}$

${\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}$

Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$

Во 2 - ^м равенства, где , как у стали ближе к 0 , используется, и где используется в 4 - ^е равенство, и используется в 5 - ^й равенства.${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$

Правило L'Hôpital [ править ]

Правило L'Hôpital - это общий метод оценки неопределенных форм и . Это правило гласит, что (при соответствующих условиях)${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle \infty /\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

где и - производные от и . (Обратите внимание, что это правило не применяется к выражениям , и т. Д., Поскольку эти выражения не являются неопределенными формами.) Эти производные позволят выполнить алгебраическое упрощение и в конечном итоге оценить предел.${\displaystyle f'}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \infty /0}$${\displaystyle 1/0}$

Правило L'Hôpital может также применяться к другим неопределенным формам, используя сначала соответствующее алгебраическое преобразование. Например, чтобы оценить форму 0 ⁰ :

${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$

Правая часть имеет форму , поэтому к ней применимо правило L'Hôpital. Обратите внимание, что это уравнение действительно (пока определена правая часть), потому что натуральный логарифм (ln) является непрерывной функцией ; не имеет значения, насколько хорошо он себя ведет, и может (или не может) быть, пока асимптотически положителен. (область логарифмов - это набор всех положительных действительных чисел.)${\displaystyle \infty /\infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

Хотя правило L'Hôpital применяется к обоим и , одна из этих форм может быть более полезной, чем другая в конкретном случае (из-за возможности алгебраического упрощения впоследствии). При необходимости можно переключаться между этими формами, преобразовавшись в .${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle \infty /\infty }$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$

Список неопределенных форм [ править ]

В следующей таблице перечислены наиболее распространенные неопределенные формы и преобразования для применения правила Л'Опиталя.

Неопределенная форма	Условия	Преобразование в ${\displaystyle 0/0}$	Преобразование в ${\displaystyle \infty /\infty }$
0/0	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	-	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty }$/${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	-
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$

См. Также [ править ]

• Определенный и неопределенный
• Деление на ноль
• Расширенная строка действительных чисел
• Неопределенное уравнение
• Неопределенная система
• Неопределенный (переменный)
• Правило L'Hôpital

Ссылки [ править ]