Деление на ноль

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Функция y  = 1 / x . Когда x приближается к 0 справа, y стремится к бесконечности. Когда x приближается к 0 слева, y стремится к отрицательной бесконечности.

В математике , деление на ноль является деление , где делитель (знаменатель) является нулевым . Такое разделение можно формально выразить кака/0где a - дивиденд (числитель). В обычной арифметики, выражение не имеет смысла, так как не существует число , которое при умножении на 0, дает (при условии ,  ≠ 0), и так деление на ноль не определено . Поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю, выражение0/0также не определено; когда это форма предела , это неопределенная форма . Исторически сложилось так, что одна из самых ранних записанных ссылок на математическую невозможность присвоения значенияа/0содержится в критике исчисления бесконечно малых величин Джорджем Беркли в 1734 году в «Аналитике» («призраки ушедших величин»). ^[1]

Есть математические конструкции, в которых а/0определено для некоторых а, например, в сфере Римана и проективно расширенной вещественной прямой ; однако такие структуры не удовлетворяют всем обычным правилам арифметики ( аксиомам поля ).

В вычислениях , программная ошибка может быть результатом попытки деления на ноль. В зависимости от среды программирования и типа числа (например, с плавающей запятой , целое число ), деленного на ноль, он может генерировать положительную или отрицательную бесконечность по стандарту IEEE 754 с плавающей запятой, генерировать исключение , генерировать сообщение об ошибке , заставлять программу завершиться, привести к особому значению, не ^{являющемуся} числом , ^[2] или сбою .

Элементарная арифметика [ править ]

Когда деление объясняется на элементарном арифметическом уровне, его часто рассматривают как разделение набора объектов на равные части. В качестве примера рассмотрим наличие десяти файлов cookie, и эти файлы cookie должны быть распределены поровну между пятью людьми за столом. Каждый получит10/5= 2 куки. Точно так же, если есть десять файлов cookie и только один человек за столом, этот человек получит10/1 = 10 файлов cookie.

Итак, для деления на ноль, какое количество файлов cookie получает каждый человек, когда 10 файлов cookie равномерно распределяются среди 0 человек за столом? В вопросе можно указать определенные слова, чтобы выделить проблему. Проблема с этим вопросом - «когда». Нет возможности никому раздать 10 файлов cookie. Так10/0, по крайней мере, в элементарной арифметике, считается либо бессмысленным, либо неопределенным.

Если есть, скажем, 5 файлов cookie и 2 человека, проблема в «равномерном распределении». В любом целочисленном разделении 5 вещей на 2 части либо одна из частей раздела будет иметь больше элементов, чем другая, либо будет остаток (записанный как5/2= 2 r1). Или проблема с 5 файлами cookie и 2 людьми может быть решена путем разрезания одного файла cookie пополам, что вводит идею дробей (5/2 = 21/2). С другой стороны, проблема с 5 файлами cookie и 0 людьми не может быть решена никаким способом, сохраняющим значение слова «разделяет».

В элементарной алгебре деление на ноль также рассматривается с другой стороны: деление всегда можно проверить с помощью умножения. Принимая во внимание10/0пример выше, установив x =10/0, если x равно десяти, деленному на ноль, то x, умноженное на ноль, равно десяти, но нет такого x, которое при умножении на ноль дает десять (или любое другое число, кроме нуля). Если вместо x =10/0, х =0/0, то каждое x удовлетворяет вопросу «какое число x , умноженное на ноль, дает ноль?»

Ранние попытки [ править ]

Brāhmasphuṭasiddhānta из Брахмагупты (с. 598-668) является самым ранним текстом , чтобы рассматривать ноль как число в своем собственном праве и определить операции с нулем. ^[3] Автор не мог объяснить деление на ноль в своих текстах: его определение, как легко доказать, приводит к алгебраическим абсурдам. Согласно Брахмагупте,

Положительное или отрицательное число при делении на ноль представляет собой дробь, знаменателем которой является ноль. Ноль, деленный на отрицательное или положительное число, либо равен нулю, либо выражается в виде дроби с нулем в числителе и конечной величиной в знаменателе. Ноль деленный на ноль равен нулю.

В 830 году Махавира безуспешно пытался исправить ошибку Брахмагупты в своей книге « Ганита Сара Самграха» : «Число остается неизменным при делении на ноль». ^[3]

Алгебра [ править ]

Четыре основных операции - сложение, вычитание, умножение и деление - применительно к целым числам (положительным целым числам) с некоторыми ограничениями в элементарной арифметике используются в качестве основы для поддержки расширения области чисел, к которой они применяются. Например, чтобы сделать возможным вычитание любого целого числа из другого, область чисел должна быть расширена до всего набора целых чисел , чтобы включить отрицательные целые числа. Точно так же, чтобы поддерживать деление любого целого числа на любое другое, область чисел должна расширяться до рациональных чисел.. Во время этого постепенного расширения системы счисления уделяется внимание тому, чтобы «расширенные операции», применяемые к старым числам, не давали других результатов. Грубо говоря, поскольку деление на ноль не имеет значения (не определено ) в настройке целых чисел, это остается верным, поскольку настройка расширяется до действительных или даже комплексных чисел .

По мере того, как область чисел, к которым могут применяться эти операции, расширяется, также происходят изменения в том, как операции просматриваются. Например, в области целых чисел вычитание больше не считается базовой операцией, поскольку его можно заменить сложением чисел со знаком. ^[4] Точно так же, когда область чисел расширяется и включает рациональные числа, деление заменяется умножением на определенные рациональные числа. В соответствии с этим изменением точки зрения вопрос «Почему мы не можем делить на ноль?» Превращается в «Почему у рационального числа не может быть нулевой знаменатель?». Чтобы точно ответить на этот пересмотренный вопрос, необходимо внимательно изучить определение рациональных чисел.

В современном подходе к построению поля действительных чисел рациональные числа появляются как промежуточный этап в развитии, основанном на теории множеств. Сначала натуральные числа (включая ноль) устанавливаются на аксиоматической основе, такой как система аксиом Пеано, а затем это расширяется до кольца целых чисел . Следующим шагом является определение рациональных чисел с учетом того, что это должно быть сделано с использованием только уже установленных наборов и операций, а именно, сложение, умножение и целые числа. Начиная с набора упорядоченных пар целых чисел, {( a , b ) } с b ≠ 0 , определяют бинарное отношениена этом множестве равенством ( a , b ) ≃ ( c , d ) тогда и только тогда, когда ad = bc . Показано, что это отношение является отношением эквивалентности, и затем его классы эквивалентности определяются как рациональные числа. Именно в формальном доказательстве того, что это отношение является отношением эквивалентности, требуется требование, чтобы вторая координата не равнялась нулю (для проверки транзитивности ). ^{[5] [6] [7]}

Приведенное выше объяснение может быть слишком абстрактным и техническим для многих целей, но если предположить существование и свойства рациональных чисел, как это обычно делается в элементарной математике, «причина» того, что деление на ноль недопустимо, скрыта от глаз. Тем не менее, в этой ситуации можно дать (нестрогое) обоснование.

Из свойств используемой нами системы счисления (т.е. целых, рациональных, вещественных и т. Д.) Следует, что если b if 0, то уравнениеа/б= c эквивалентно a = b × c . При условии, чтоа/0- число c , то должно быть, что a = 0 × c = 0 . Однако тогда единственное число c должно быть определено уравнением 0 = 0 × c , но каждое число удовлетворяет этому уравнению, поэтому мы не можем присвоить числовое значение0/0. ^[8]

Деление как обратное умножению [ править ]

Концепция, объясняющая деление в алгебре, заключается в том, что оно является обратным умножению. Например, ^[9]

${\ displaystyle {\ frac {6} {3}} = 2}$

поскольку 2 - это значение, для которого неизвестная величина в

${\ displaystyle? \ times 3 = 6}$

правда. Но выражение

${\ displaystyle {\ frac {6} {0}} = \, x}$

требует, чтобы значение неизвестной величины было найдено в

${\ displaystyle x \ times 0 = 6.}$

Но любое число, умноженное на 0, равно 0, и поэтому нет числа, которое решает уравнение.

Выражение

${\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = \, x}$

требует, чтобы значение неизвестной величины было найдено в

${\ displaystyle x \ times 0 = 0.}$

Опять же, любое число, умноженное на 0, равно 0, и поэтому на этот раз каждое число решает уравнение вместо того, чтобы быть единственным числом, которое можно принять за значение 0/0.

В общем, одно значение не может быть присвоено дроби, знаменатель которой равен 0, поэтому значение остается неопределенным.

Заблуждения [ править ]

Неотъемлемой причиной запрета деления на ноль является то, что, если бы это было разрешено, возникло бы много абсурдных результатов (например, заблуждений ). При работе с числовыми величинами легко определить, когда предпринимается незаконная попытка деления на ноль. Например, рассмотрим следующее вычисление.

С предположениями:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} 0 \ раз 1 & = 0, \\ 0 \ раз 2 & = 0, \ конец {выровнено}}}$

верно следующее:

${\ displaystyle 0 \ times 1 = 0 \ times 2.}$

Разделив обе стороны на ноль, получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {0\times 1}{0}}&={\frac {0\times 2}{0}}\\[6px]{\frac {0}{0}}\times 1&={\frac {0}{0}}\times 2.\end{aligned}}}$

В упрощенном виде это дает:

${\displaystyle 1=2.}$

Ошибка здесь заключается в предположении, что деление 0 на 0 является допустимой операцией с теми же свойствами, что и деление на любое другое число.

Однако можно замаскировать деление на ноль в алгебраическом аргументе ^{[3], что} приведет к недействительным доказательствам, что, например, 1 = 2, например следующее: ^[10]

Пусть 1 = x .

Умножьте на x, чтобы получить

${\displaystyle x=x^{2}.}$

Вычтите по 1 с каждой стороны, чтобы получить

${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$

Разделите обе части на x - 1

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x-1}{x-1}}&={\frac {x^{2}-1}{x-1}}\\[6pt]&={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},\end{aligned}}}$

что упрощает

${\displaystyle 1=x+1.}$

Но, поскольку x = 1 ,

${\displaystyle 1=1+1=2.}$

Замаскированное деление на ноль происходит, поскольку x - 1 = 0, когда x = 1 .

Анализ [ править ]

Расширенная реальная линия [ править ]

На первый взгляд, представляется возможным определить / 0, рассматривая предел в виде / б а б приближается к 0.

Для любого положительного a предел справа равен

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}=+\infty }$

однако предел слева равен

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}=-\infty }$

и поэтому не определено (предел также не определен для отрицательного a ).${\displaystyle \lim _{b\to 0}{a \over b}}$

Кроме того, нет очевидного определения 0/0, которое можно было бы вывести из рассмотрения предела отношения. Лимит

${\displaystyle \lim _{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}}$

не существует. Пределы формы

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}}$

в котором и ƒ ( x ), и g ( x ) приближаются к 0, когда x приближается к 0, могут равняться любому действительному или бесконечному значению или могут не существовать вообще, в зависимости от конкретных функций ƒ и g . Эти и другие подобные факты показывают, что выражение 0/0 не может быть определено как предел.

Формальные операции [ править ]

Формальный расчет один осуществляется с использованием правил арифметики, без учета того, хорошо определен результат расчета. Таким образом, иногда полезно думать об a / 0, где a  0, как о существующем . Эта бесконечность может быть положительной, отрицательной или беззнаковой, в зависимости от контекста. Например, формально:${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}$

Как и при любом формальном вычислении, могут быть получены неверные результаты. Логически строгие (в отличие от формальных) вычислений утверждают только то, что

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty {\text{ and }}\lim \limits _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$

Поскольку односторонние пределы различны, двусторонний предел не существует в стандартной структуре действительных чисел. Кроме того, дробь 1/0 остается неопределенной в расширенной действительной строке , поэтому она и

${\displaystyle {\frac {\lim \limits _{x\to 0}1}{\lim \limits _{x\to 0}x}}}$

бессмысленные выражения .

Проективно расширенная вещественная линия [ править ]

Множество представляет собой проективно расширенную действительную прямую , которая является компактификацией одной точки реальной прямой. Здесь означает беззнаковую бесконечность , бесконечную величину, которая не является ни положительной, ни отрицательной. Это количество удовлетворяет , что необходимо в данном контексте. В этой структуре может быть определено для ненулевого a , а когда a - нет . Это естественный способ для просмотра диапазона касательной функции и кокасательных функций тригонометрии : TAN ( х ) приближается к одной точке на бесконечности , как х приближается либо или${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty =\infty }$${\displaystyle a/0=\infty }$${\displaystyle a/\infty =0}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle +\pi /2}$${\displaystyle -\pi /2}$ с любого направления.

Это определение приводит ко многим интересным результатам. Однако полученная алгебраическая структура не является полем , и не следует ожидать, что она будет вести себя как единое целое. Например, в этом продолжении реальной линии не определено.${\displaystyle \infty +\infty }$

Сфера Римана [ править ]

Множество представляет собой сферу Римана , которая имеет большое значение в комплексном анализе . Здесь также находится беззнаковая бесконечность - или, как ее часто называют в этом контексте, бесконечно удаленная точка . Этот набор аналогичен проективно расширенной числовой прямой, за исключением того, что она основана на поле из комплексных чисел . В сфере Римана, и , но и не определены.${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/0=\infty }$${\displaystyle 1/\infty =0}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle 0\times \infty }$

Расширенная строка неотрицательных вещественных чисел [ править ]

Отрицательные действительные числа можно отбросить и ввести бесконечность, что приведет к множеству [0, ∞], где деление на ноль может быть естественным образом определено как a / 0 = ∞ для положительного  a . Хотя это делает деление определенным в большем количестве случаев, чем обычно, во многих случаях вычитание остается неопределенным, потому что нет отрицательных чисел.

Высшая математика [ править ]

Хотя деление на ноль не может быть разумно определено с помощью действительных чисел и целых чисел, его или аналогичные операции можно последовательно определять в других математических структурах.

Нестандартный анализ [ править ]

В гиперреальных числах и сюрреалистических числах деление на ноль по-прежнему невозможно, но деление на ненулевые бесконечно малые числа возможно.

Теория распространения [ править ]

В теории распределения можно расширить функцию до распределения на всем пространстве действительных чисел (фактически, используя главные значения Коши ). Однако не имеет смысла спрашивать «значение» этого распределения при x  = 0; изощренный ответ относится к единственной поддержке распределения.${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

Линейная алгебра [ править ]

В матричной алгебре (или линейной алгебре в целом), можно определить псевдо-разделение, путем установки в / б  =  абы ⁺ , в которой б ⁺ представляет Псевдообращение из б . Можно доказать, что если b ⁻¹ существует, то b ⁺ = b ⁻¹ . Если b равно 0, то b ⁺ = 0.

Абстрактная алгебра [ править ]

Любая система счисления, которая образует коммутативное кольцо - например, целые числа, действительные числа и комплексные числа - может быть расширена до колеса, в котором всегда возможно деление на ноль; однако в таком случае «разделение» имеет несколько иное значение. ^{[ требуется разъяснение ]}

Концепции, применяемые к стандартной арифметике, аналогичны концепциям более общих алгебраических структур, таких как кольца и поля . В поле каждый ненулевой элемент обратим относительно умножения; как и выше, деление создает проблемы только при попытке деления на ноль. То же самое и с телом (которое по этой причине называется телом ). Однако в других кольцах деление на ненулевые элементы также может создавать проблемы. Например, кольцо Z / 6 Z целых чисел mod 6. Смысл выражения должен быть решением x уравнения . Но в кольце Z / 6 Z${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}}$${\displaystyle 2x=2}$, 2 - делитель нуля . Это уравнение имеет два различных решения: x = 1 и x = 4 , поэтому выражение не определено .${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}}$

В теории поля это выражение является лишь сокращением формального выражения ab ⁻¹ , где b ⁻¹ - мультипликативная величина, обратная b . Поскольку аксиомы поля гарантируют существование таких инверсий только для ненулевых элементов, это выражение не имеет смысла, когда b равно нулю. Современные тексты, которые определяют поля как особый тип кольца, включают аксиому 0 1 для полей (или ее эквивалент), так что нулевое кольцо исключено из поля. В нулевом кольце возможно деление на ноль, что показывает, что других аксиом поля недостаточно, чтобы исключить деление на ноль в поле.${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}}$

Компьютерная арифметика [ править ]

Стандарт IEEE с плавающей запятой , поддерживаемый почти всеми современными модулями с плавающей запятой , определяет, что каждая арифметическая операция с плавающей запятой , включая деление на ноль, имеет четко определенный результат. Стандарт поддерживает ноль со знаком , а также бесконечность и NaN ( не число ). Есть два нуля: +0 ( положительный ноль ) и -0 ( отрицательный ноль ), и это устраняет любую двусмысленность при делении. В арифметике IEEE 754 a  ÷ +0 является положительной бесконечностью, когда a положительно, и отрицательной бесконечностью, когда aотрицательно, и NaN, когда a  = ± 0. Знаки бесконечности меняются при делении на −0 .

Обоснованием этого определения является сохранение знака результата в случае арифметического опустошения . ^[11] Например, в вычислении с одинарной точностью 1 / ( x / 2), где x = ± 2 ⁻¹⁴⁹ , при вычислении x / 2 происходит ^{обратное переполнение} и получается ± 0 с совпадением знаков x , и результат будет ± ∞ со знаком, совпадающим с x . Знак будет соответствовать знаку точного результата ± ²¹⁵⁰ , но величина точного результата слишком велика для представления, поэтому бесконечность используется для обозначения переполнения.

Целочисленное деление на ноль обычно обрабатывается иначе, чем деление с плавающей запятой, поскольку для результата нет целочисленного представления. Некоторые процессоры генерируют исключение, когда предпринимается попытка разделить целое число на ноль, тогда как другие просто продолжают и генерируют неверный результат для деления. Результат зависит от того, как реализовано деление, и может быть либо нулем, либо иногда максимально возможным целым числом.

Из-за неправильных алгебраических результатов присвоения любого значения делению на ноль многие языки компьютерного программирования (включая те, которые используются в калькуляторах ) явно запрещают выполнение операции и могут преждевременно останавливать программу, которая пытается это сделать, иногда сообщая «Делить на ноль» " ошибка. В этих случаях, если требуется какое-то особое поведение для деления на ноль, условие должно быть явно проверено (например, с помощью оператора if ). Некоторые программы (особенно те, которые используют арифметику с фиксированной точкой)там, где нет специального оборудования с плавающей запятой) будет использовать поведение, аналогичное стандарту IEEE, с использованием больших положительных и отрицательных чисел для аппроксимации бесконечностей. В некоторых языках программирования попытка разделить на ноль приводит к неопределенному поведению . Графический язык программирования Scratch 2.0 и 3.0, используемый во многих школах, возвращает Infinity или -Infinity в зависимости от знака дивиденда.

В арифметике с дополнением до двух попытки разделить наименьшее целое число со знаком на −1 сопровождаются аналогичными проблемами и обрабатываются с тем же диапазоном решений, от явных условий ошибки до неопределенного поведения .

Большинство калькуляторов либо возвращают ошибку, либо сообщают, что 1/0 не определено; однако некоторые графические калькуляторы TI и HP вычисляют от (1/0) ² до ∞.

Microsoft Math и Mathematica возвращаются ComplexInfinityза 1/0. Maple и SageMath возвращают сообщение об ошибке для 1/0 и бесконечность для 1 / 0,0 (0,0 указывает этим системам использовать арифметику с плавающей запятой вместо алгебраической арифметики).

Некоторые современные калькуляторы позволяют деление на ноль в особых случаях, когда это будет полезно студентам и, предположительно, будет понятно математикам в контексте. Некоторые калькуляторы, например, онлайн- калькулятор Desmos , позволяют использовать арктангенс (1/0). Студентов часто учат, что обратная функция котангенса, арккотангенс , должна быть вычислена, взяв арктангенс обратной величины , и поэтому калькулятор может разрешить арктангенс (1/0), давая результат , который является правильным значением арккотангенса 0. математическим обоснованием является то, что предел, когда x стремится к нулю арктангенса 1 / x, равен .${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

Исторические происшествия [ править ]

• 21 сентября 1997 г. ошибка деления на ноль в «Диспетчере удаленных баз данных» на борту авианосца « Йорктаун» (CG-48) вызвала отключение всех машин в сети, что привело к отказу двигательной установки корабля. ^{[12] [13]}

См. Также [ править ]

• Асимптота
• Определенный и неопределенный
• Разделение по нулю , рассказ Теда Чанга
• Неопределенная форма
• Делитель нуля

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]