Расширенная строка действительных чисел

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то аффинно расширенная система действительного числа получается из вещественного числа системы пути добавления два бесконечности элементов: а , ^[а] , где бесконечности рассматриваются как реальные цифры. ^[1] Это полезно при описании алгебры бесконечностей и различных предельных поведений в исчислении и математическом анализе , особенно в теории меры и интегрирования . ^[2] Аффинно расширенная система действительных чисел обозначается или или . ^[3]${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle [- \ infty, + \ infty]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ чашка \ left \ {- \ infty, + \ infty \ right \}}$

Когда значение ясно из контекста, символ часто записывается просто как . ^[3]${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$

Мотивация [ править ]

Ограничения [ править ]

Часто бывает полезно описать поведение функции , поскольку либо аргумент, либо значение функции в некотором смысле становится «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2}}}.}$

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при . С геометрической точки зрения, при движении все дальше вправо по оси -с значение приближается к нулю. Это ограничивающее поведение аналогично пределу функции, в которой действительное число приближается , за исключением того, что нет действительного числа, к которому приближается.${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle x}$${\ textstyle {1} / {х ^ {2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$

Присоединяя элементы и к , он позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам для .${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для того, чтобы сделать вещи совершенно формальным, в последовательности Коши определение о позволяет определить как совокупность всех последовательностей рациональных чисел, таких , что каждое связано с соответствующим , для которых для всех . Определение может быть построено аналогичным образом . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a_{n}>M}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle -\infty }$

Измерение и интеграция [ править ]

В теории меры часто бывает полезно разрешить множества с бесконечной мерой и интегралами, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры естественным образом возникают из расчетов. Например, при назначении меры , чтобы , что согласуется с обычной длиной интервалов, эта мера должна быть больше , чем любое конечное действительное число. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n\left(1-nx\right),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Без разрешения функций принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминирующей сходимости , не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства [ править ]

Аффинно расширенную систему действительных чисел можно превратить в полностью упорядоченный набор , задав для всех . С помощью этой топологии порядка , обладает желательным свойством компактности : каждое подмножество имеет верхнюю грань и нижнюю грань ^[4] (нижняя грань пустого множества и его верхняя грань ). Кроме того, с этой топологией, является гомеоморфно на единичном интервале . Таким образом, топология метризуема.${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1]}$, соответствующую (для данного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Нет метрики, которая была бы продолжением обычной метрики на .${\displaystyle \mathbb {R} }$

В этой топологии множество является окрестностью из , если и только если она содержит набор для некоторого вещественного числа . Аналогично определяется понятие окрестности . Используя эту характеристику расширенных вещественных окрестностей, специально определенные пределы для стремления к и , а также специально определенные понятия пределов, равных и сводимых к общему топологическому определению пределов.${\displaystyle U}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \{x:x>a\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Арифметические операции [ править ]

Арифметические операции можно частично расширить до следующего: ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$

Для возведения в степень см. Возведение в степень § Пределы полномочий . Здесь " "${\displaystyle a+\infty }$ означает и " ",${\displaystyle a+(+\infty )}$ и " ",${\displaystyle a-(-\infty )}$ а " "${\displaystyle a-\infty }$ означает и " ",${\displaystyle a-(+\infty )}$ и " ".${\displaystyle a+(-\infty )}$

Выражения и (называемые неопределенными формами ) обычно остаются неопределенными . Эти правила построены на законах бесконечных ограничений . Однако в контексте теории вероятностей или меры часто определяется как . ^[5]${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$${\displaystyle 0\times \pm \infty }$${\displaystyle 0}$

Когда мы имеем дело как с положительными и отрицательными расширенный действительные числа, то выражение , как правило , остается неопределенным, потому что, хотя это правда , что для каждой реальной последовательности ненулевым , которая сходится к , обратная последовательность , в конечном счете содержится в каждом районе , это не правда , что последовательность должна сама сходиться либо к одному, либо к другому. Говоря по-другому, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении, то это не обязательно тот случай, когда он стремится к одному или в пределе, как стремится к этому . Так обстоит дело в пределах${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$тождественная функция, когда стремится к 0, и of (для последней функции ни и не является пределом , даже если учитываются только положительные значения ).${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/f(x)}$${\displaystyle x}$

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить . Например, при работе с силовыми серии, радиус сходимости в виде степенных рядов с коэффициентами часто определяется как величина , обратная предельной-супремуму последовательности . Таким образом, если можно взять значение , то можно использовать эту формулу независимо от того, есть ли предел-супремум или нет.${\displaystyle 1/0=+\infty }$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \left\{|a_{n}|^{1/n}\right\}}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle 0}$

Алгебраические свойства [ править ]

Согласно этим определениям, это даже не полугруппа , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае с . Однако у него есть несколько удобных свойств:${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$и либо равны, либо оба не определены.${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$и либо равны, либо оба не определены.${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$и либо равны, либо оба не определены.${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$и либо равны, либо оба не определены${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$и равны, если оба определены.${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Если и если определены оба и , то .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a+c}$${\displaystyle b+c}$${\displaystyle a+c\leq b+c}$
• Если и и если определены оба и , то .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle a\cdot c}$${\displaystyle b\cdot c}$${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$

В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения.${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Разное [ править ]

Некоторые функции могут быть постоянно расширены за счет ограничения. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций следующим образом:${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \exp(-\infty )=0,\ \ln(0)=-\infty ,\ \tanh(\pm \infty )=\pm 1,\ \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$

Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функцию можно непрерывно расширять до (при некоторых определениях непрерывности), задав значение для , и для и . С другой стороны, функция может не быть постоянно расширяется, так как функция подходы , как подходы снизу, а также подходы сверху.${\displaystyle 1/x^{2}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=+\infty }$${\displaystyle x=-\infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$

Подобная, но другая система вещественных линий, проективно расширенная реальная линия , не различает и (т.е. бесконечность беззнаковая). ^[6] В результате функция может иметь предел проективно расширенной действительной линии, в то время как в аффинно расширенной системе действительных чисел только абсолютное значение функции имеет предел, например, в случае функции в . С другой стороны${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$

соответствуют на проективно расширенной вещественной прямой только пределу справа и одному пределу слева, соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и нельзя сделать непрерывными на проективно продолженной вещественной прямой.${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \arctan(x)}$${\displaystyle x=\infty }$

См. Также [ править ]

• Деление на ноль
• Расширенная комплексная плоскость
• Расширенные натуральные числа
• Неправильный интеграл
• бесконечность
• Полукольцо журнала
• Серии (математика)
• Проективно расширенная действительная линия
• Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей запятой § Бесконечности и с плавающей запятой IEEE

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Aliprantis, Charalambos D .; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7, Руководство по ремонту  1669668
• Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа» . MathWorld .