Мера (математика)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Неформально, мера имеет свойство быть монотонным в том смысле , что если является подмножеством из B , мера A меньше или равно меру B . Кроме того, требуется, чтобы мера пустого множества была равна 0.

В математическом анализе , А мера на множестве представляет собой систематический способ присвоить номер каждому подходящего подмножества этого множества, интуитивно интерпретируется как его размер. В этом смысле мера - это обобщение понятий длины, площади и объема. Особенно важный примером является мера Лебега на евклидово пространства , которое назначает обычную длину , площадь и объем от евклидовой геометрии к подходящим подмножествам п - мерный евклидово пространства R ^п. Например, мерой Лебега отрезка [0, 1] в действительных числах является его длина в обычном смысле слова, а именно 1.

Технически мера - это функция, которая присваивает неотрицательное действительное число или + ∞ (определенным) подмножествам множества X ( см. Определение ниже). Кроме того, он должен быть счетно аддитивным : мера «большого» подмножества, которое можно разложить на конечное (или счетно бесконечное) число «меньших» непересекающихся подмножеств, равна сумме мер «меньших» подмножеств. В общем, если кто-то хочет связать постоянный размер с каждым подмножеством данного набора, удовлетворяя при этом другие аксиомы меры, можно найти только тривиальные примеры, такие как счетная мера. Эта проблема была решена путем определения меры только для поднабора всех подмножеств; так называемые измеримые подмножества, необходимые для образования σ- алгебры . Это означает, что счетные объединения , счетные пересечения и дополнения измеримых подмножеств измеримы. Неизмеримые множества в евклидовом пространстве, на котором мера Лебега не может быть определена последовательно, обязательно сложны в том смысле, что плохо перепутаны с их дополнением. ^[1] Действительно, их существование является нетривиальным следствием выбранной аксиомы .

Теория меры развивалась последовательно в конце 19 - начале 20 веков Эмилем Борелем , Анри Лебегом , Иоганном Радоном , Морисом Фреше и другими. Основные области применения мер в основах интеграла Лебега , в Андрее Колмогоров «s аксиоматизации из теории вероятностей и эргодической теории . В теории интегрирования указание меры позволяет определять интегралына пространствах более общих, чем подмножества евклидова пространства; более того, интеграл по мере Лебега на евклидовых пространствах является более общим и имеет более богатую теорию, чем его предшественник, интеграл Римана . Теория вероятностей рассматривает меры, которые присваивают всему набору размер 1, и считает, что измеримые подмножества являются событиями, вероятность которых задается мерой. Эргодическая теория рассматривает меры, которые инвариантны относительно динамической системы или естественным образом возникают из нее .

Определение [ править ]

Пусть X некоторое множество и Σ σ - алгебра над X . Функция μ из Σ в расширенную числовую прямую называется мерой, если она удовлетворяет следующим свойствам:

• Неотрицательность : для всех E в Σ имеем μ ( E ) ≥ 0 .
• Null пустой набор : .${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• Счетная аддитивность (или σ -аддитивность ): для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств в Σ,${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \mu \left(\bigsqcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).}$

Если хотя бы один набор имеет конечную меру, то требование выполняется автоматически. Действительно, по счетной аддитивности${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$

${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$

и поэтому ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Если выполняются только второе и третье условия определения меры, приведенного выше, и μ принимает не более одного из значений ± ∞ , то μ называется мерой со знаком .

Пара ( X , Σ) называется измеримым пространством , члены Σ называются измеримыми множествами . Если и два измеримых пространство, то функция называется измеримой , если для любого Y измеримого множества , то прообраз является X - измеримо - то есть: . В этой схеме композиция измеримых функций является измеримой, что делает измеримые пространства и измеримые функции категорией , с измеримыми пространствами как объектами и набором измеримых функций как стрелками. Смотрите также${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$${\displaystyle \left(Y,\Sigma _{Y}\right)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle B\in \Sigma _{Y}}$${\displaystyle f^{(-1)}(B)\in \Sigma _{X}}$Измеримая функция # Варианты использования термина о другой настройке.

Тройной ( Х , Σ, μ ) называется пространством с мерой . Вероятностная мера является мерой общей мерой одной - т.е. μ ( X ) = 1 . Вероятностное пространство является мерой пространства с вероятностной мерой.

Для пространств мер, которые также являются топологическими пространствами, могут быть помещены различные условия совместимости для меры и топологии. Большинство мер, встречающихся на практике при анализе (и во многих случаях также в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Радон мера имеет альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклое пространстве из непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход используется Бурбаки (2004) и рядом других источников. Подробнее читайте в статье о радоновых мерах .

Экземпляры [ править ]

Здесь перечислены некоторые важные меры.

• Мера подсчета определяется ц ( S ) = число элементов в S .
• Мера Лебега на R представляет собой полный перевод-инвариантной мерой на σ - алгебра , содержащая интервалы в R такое , что μ ([0, 1]) = 1 ; и любая другая мера с этими свойствами расширяет меру Лебега.
• Мера кругового угла инвариантна относительно вращения , а мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия .
• Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также подсчета меры и круговым углом меры) и имеет аналогичные свойства единственности.
• Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества с нецелой размерностью, в частности, фрактальных множествах.
• Каждое вероятностное пространство порождает меру, которая принимает значение 1 на всем пространстве (и, следовательно, принимает все свои значения в единичном интервале [0, 1]). Такая мера называется вероятностной . См. Аксиомы вероятности .
• Мера Дирака δ _в (ср дельта функции Дирака ) задается δ ( S ) = χ _S (а), где χ _S является функцией индикатора из S . Мера набора равна 1, если он содержит точку a, и 0 в противном случае.

Другие «названные» меры , используемые в различных теориях , включают: мера Бореля , Иордания мера , эргодическая мера , Эйлер мера , гауссова мера , Бэра мера , мера Радона , Young мера , и Леб мера .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., Например, гравитационный потенциал ) или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраненное (см. Закон сохранения для их списка) или нет. Отрицательные значения приводят к подписанным мерам, см. «Обобщения» ниже.

• Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
• Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонический ансамбль .

Основные свойства [ править ]

Пусть μ - мера.

Монотонность [ править ]

Если E ₁ и E ₂ - измеримые множества с E ₁  ⊆  E _2, то

${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$

Измерение счетных союзов и пересечений [ править ]

Субаддитивность [ править ]

Для любой счетной последовательности E ₁ , E ₂ , E ₃ , ... (не обязательно непересекающихся) измеримых множеств E _n в Σ:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$

Преемственность снизу [ править ]

Если E ₁ , E ₂ , E ₃ , ... измеримые множества и для всех n , то объединение множеств E _n измеримо, и${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},}$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

Преемственность сверху [ править ]

Если E ₁ , E ₂ , E ₃ , ... измеримые множества и для всех n , то пересечение множеств E _n измеримо; кроме того, если хотя бы один из E _n имеет конечную меру, то${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},}$

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

Это свойство неверно без предположения, что хотя бы один из E _n имеет конечную меру. Например, для каждого n ∈ N пусть E _n = [ n , ∞) ⊂ R , все они имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто.

Другие свойства [ править ]

Полнота [ править ]

Измеримое множество X называется нулевым множеством, если μ ( X ) = 0 . Подмножество нулевого набора называется незначительным набором . Незначительный набор не обязательно должен быть измеримым, но каждый измеримый незначительный набор автоматически является нулевым набором. Мера называется полной, если каждое незначительное множество измеримо.

Мера может быть расширена до полного одного, рассматривая а-алгебра подмножеств Y , которые отличаются от незначительного набора из измеримого множества X , то есть такой , что симметрическая разность по X и Y , содержится в множестве нулевой. Один определяет μ ( Y ) как равный μ ( X ) .

Аддитивность [ править ]

Меры должны быть счетно аддитивными. Однако условие можно усилить следующим образом. Для любого набора и любого набора неотрицательных определим:${\displaystyle I}$${\displaystyle r_{i},i\in I}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\aleph _{0},J\subseteq I\right\rbrace .}$

То есть мы определяем сумму как верхнюю грань всех сумм конечного числа из них.${\displaystyle r_{i}}$

Мера на является -аддитивной, если для любого и любого семейства непересекающихся множеств выполняется следующее:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$

Обратите внимание, что второе условие эквивалентно утверждению, что идеал нулевых множеств является -полным.${\displaystyle \kappa }$

Сигма-конечные меры [ править ]

Пространство с мерой ( X , Σ, μ ) называется конечным, если μ ( X ) - конечное действительное число (а не ∞). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера μ пропорциональна вероятностной мере . Мера μ называется σ-конечной, если X можно разложить в счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, множество в пространстве с мерой называется имеющим σ-конечную меру, если оно является счетным объединением множеств с конечной мерой.${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu }$

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега σ-конечны, но не конечны. Рассмотрим отрезки [ k , k +1] для всех целых k ; таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение - это целая вещественная линия. В качестве альтернативы рассмотрите действительные числа с помощью счетной меры, который присваивает каждому конечному набору вещественных чисел количество точек в наборе. Это пространство с мерой не является σ-конечным, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребуется несчетное количество таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить со свойством Линделёфа топологических пространств. Их также можно рассматривать как нечеткое обобщение идеи о том, что пространство меры может иметь «несчетную меру».

s-конечные меры [ править ]

Мера называется s-конечной, если она является счетной суммой ограниченных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Неизмеримые множества [ править ]

Если аксиома выбора предполагается , чтобы быть правдой, то можно доказать , что не все подмножества евклидова пространств являются измеримыми по Лебегу ; примеры таких наборов включают набор Виталия , а не-измеримые множества постулируемый хаусдорфовом парадокс и парадокс Банаха-Тарского .

Обобщения [ править ]

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется мерой со знаком , а такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Меры, принимающие значения в банаховых пространствах , широко изучаются. ^[2] Мера, принимающая значения в множестве самосопряженных проекций на гильбертово пространство , называется проекционно-значной мерой ; они используются в функциональном анализе для спектральной теоремы. Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, используется термин положительная мера . Положительные меры замыкаются конической комбинацией, но не общей линейной комбинацией , в то время как меры со знаком являются линейным замыканием положительных мер.

Другое обобщение - конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности нам требуется только конечная аддитивность. Исторически это определение использовалось первым. Оказывается, что в общем случае конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как пределы Банаха , двойственное к L ∞ и компактификация Стоуна – Чеха . Все это так или иначе связано с аксиомой выбора . Содержание остается полезным при решении некоторых технических проблем геометрической теории меры ; это теорияБанаховы меры .

Заряд представляет собой обобщение в обоих направлениях: это конечно - аддитивная, подписанная мера.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Поищите измеримое в Викисловаре, бесплатном словаре.

• "Мера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие: Теория меры для чайников