Метрика (математика)

Иллюстрация сравнения метрики такси с евклидовой метрикой на плоскости: в соответствии с метрикой такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину (12). Согласно евклидовой метрике, зеленый путь имеет длину и является уникальным кратчайшим путем.${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ приблизительно 8,49}$

В математике , А метрика или функция расстояния является функцией , которая определяет расстояние между каждой парой точечных элементов набора . Множество с метрикой называется метрическим пространством . ^[1] Метрика индуцирует топологию на множестве, но не все топологии могут быть сгенерированы метрикой. Топологическое пространство , топология может быть описана метрикой называется метризуемым .

Одним из важных источников метрик в дифференциальной геометрии являются метрическими тензорами , билинейные формами , которые могут быть определены из касательных векторов одного дифференцируемого многообразия на скаляр. Метрический тензор позволяет определять расстояния вдоль кривых посредством интегрирования и, таким образом, определяет метрику.

Определение [ править ]

Метрика на множестве X является функцией (называется функция расстояния или просто расстояние )

${\ displaystyle d: X \ times X \ to [0, \ infty)}$,

где - множество неотрицательных действительных чисел и для всех выполняются следующие три аксиомы:${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle x, y, z \ in X}$

1.	${\ displaystyle d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$	идентичность неразличимых
2.	${\ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)}$	симметрия
3.	${\ displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$	неравенство треугольника

Эти аксиомы также подразумевают неотрицательность или условие разделения :

${\ Displaystyle д (х, у) \ geq 0}$ для всех ${\ displaystyle x, y \ in X}$

А именно, применение аксиом 1, 3 и 2 в том порядке дает, что подразумевает .${\ Displaystyle 0 = d (x, x) \ leq d (x, y) + d (y, x) = d (x, y) + d (x, y) = 2d (x, y)}$${\ Displaystyle 0 \ Leq d (х, у)}$

Неотрицательность и аксиома 1 вместе определяют то, что называется положительно определенной функцией .

Метрика называется ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника, когда точки никогда не могут попадать «между» другими точками:

${\ Displaystyle д (х, у) \ Leq \ макс (д (х, z), d (у, z))}$

для всех ${\ displaystyle x, y, z \ in X}$

Метрика d на X называется внутренней, если любые две точки x и y в X могут быть соединены кривой с длиной, произвольно близкой к d ( x , y ) .

Метрика d на группе G ( обозначенная как мультипликация) называется левоинвариантной (соответственно, правоинвариантной ), если мы имеем

${\ Displaystyle d (zx, zy) = d (x, y)}$[соотв. ]${\ Displaystyle d (xz, yz) = d (x, y)}$

для всех х , у и г в G .

Примечания [ править ]

Эти условия выражают интуитивные представления о концепции расстояния . Например, расстояние между разными точками положительно, а расстояние от x до y совпадает с расстоянием от y до x . Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше, чем от x до z напрямую. Евклид в своей работе утверждал, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это линия; это было неравенство треугольника для его геометрии.

Примеры [ править ]

• Дискретной метрики : если х = у , то d ( х , у ) = 0. В противном случае, д ( х , у ) = 1.
• Евклидова метрика является перевод и вращение инвариантом.
• Таксомотора метрика является перевод инвариантом.
• Вообще говоря, любая метрика, индуцированная нормой, инвариантна относительно сдвига.
• Если это последовательность из полунормов определения ( локально выпуклые ) топологические векторного пространство Е , то${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in N}}$

${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {p_ {n} (xy)} { 1 + p_ {n} (xy)}}}$

метрика, определяющая ту же топологию . (Можно заменить любой суммируемой последовательностью строго положительных чисел .)${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

• Метрика графа, метрика , определяемая в терминах расстояний в определенном графе.
• Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
• Риманова метрика - тип метрической функции, которую можно наложить на любое дифференцируемое многообразие . Для любого такого многообразия выбирается в каждой точке симметричная положительно определенная билинейная форма L: T _p × T _p → ℝ на касательном пространстве T _{p в} точке p, делая это гладким образом. Эта форма определяет длину любого касательного вектора v на многообразии через определение || v || знак равно ${\displaystyle {\sqrt {L(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}}$. Тогда для любого дифференцируемого пути на многообразии его длина определяется как интеграл длины касательного вектора к пути в любой точке, где интегрирование выполняется по параметру пути. Наконец, чтобы получить метрику, определенную на любой паре {x, y} точек многообразия, берется точная нижняя грань по всем путям от x до y набора длин путей. Гладкое многообразие, снабженное римановой метрикой, называется римановым многообразием .
• Метрика Фубини-исследование на комплексном проективном пространстве . Это пример римановой метрики.
• Строковые метрики , такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования строки , определяют метрику над строками .
• Расстояние редактирования графика определяет функцию расстояния между графиками .
• Вассерстин метрика является функцией расстояния между двумя определяется вероятностных распределений .
• Финслерово метрика является непрерывная неотрицательная функция Р: ТМ → [0, + ∞) , определенный на касательном расслоении.

Эквивалентность показателей [ править ]

Для данного множества X две метрики d ₁ и d ₂ называются топологически эквивалентными ( равномерно эквивалентными ), если тождественное отображение

идентификатор: ( X , d ₁ ) → ( X , d ₂ )

является гомеоморфизмом ( равномерным изоморфизмом ).

Например, если - метрика, то и метрики эквивалентны${\displaystyle d}$${\displaystyle \min(d,1)}$${\displaystyle {d \over 1+d}}$${\displaystyle d.}$

См. Также понятия эквивалентности метрических пространств .

Метрики в векторных пространствах [ править ]

Нормы на векторных пространствах эквивалентны определенным метрикам, а именно однородным, трансляционно-инвариантным. Другими словами, каждая норма определяет метрику, а некоторые метрики определяют норму.

Учитывая нормированное векторное пространство, мы можем определить метрику на X следующим образом:${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$.

Метрика d называется индуцированной нормой .${\displaystyle \|\cdot \|}$

Наоборот, если метрика d на векторном пространстве X удовлетворяет свойствам

• ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$( неизменность перевода )
• ${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$( однородность )

то мы можем определить норму на X следующим образом:

${\displaystyle \|x\|:=d(x,0)}$

Точно так же полунорма индуцирует псевдометрику (см. Ниже), а однородная, инвариантная относительно сдвига псевдометрия индуцирует полунорму.

Показатели на мультимножествах [ править ]

Мы можем обобщить понятие метрики от расстояния между двумя элементами до расстояния между двумя непустыми конечными мультимножествами элементов. Мультимножество представляет собой обобщение понятия множества таким образом, что элемент может происходить больше одного раз. Определите , является ли мультимножество, состоящим из элементов мультимножества, и , то есть, если оно встречается один раз и один раз, то оно встречается дважды . Функция расстояния на множестве непустых конечных мультимножеств является метрикой ^[2], если${\displaystyle Z=XY}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle d(X)=0}$если все элементы равны, и в противном случае ( положительная определенность ), то есть ( неотрицательность плюс идентичность неразличимых )${\displaystyle X}$${\displaystyle d(X)>0}$
2. ${\displaystyle d(X)}$инвариантен относительно всех перестановок ( симметрии )${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( неравенство треугольника )

Обратите внимание, что знакомая метрика между двумя элементами получается, если мультимножество имеет два элемента в 1 и 2, а мультимножества имеют по одному элементу каждый в 3. Например, если состоит из двух вхождений , то согласно 1.${\displaystyle X}$${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(X)=0}$

Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств целых чисел с . Более сложные примеры - информационное расстояние в мультимножествах; ^[2] и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультимножествах. ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle d(X)=\max\{x:x\in X\}-\min\{x:x\in X\}}$

Обобщенные показатели [ править ]

Существует множество способов ослабить аксиомы метрики, что дает начало различным понятиям обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрика часто происходит от полунорм на векторных пространствах, и поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию термина в топологии .

Расширенные показатели [ править ]

Некоторые авторы допускают, чтобы функция расстояния d могла достигать значения ∞, т.е. расстояния - это неотрицательные числа на расширенной действительной числовой прямой . Такая функция называется расширенной метрикой или «∞-метрикой». Каждая расширенная метрика может быть преобразована в конечную метрику, так что метрические пространства эквивалентны в том, что касается понятий топологии (таких как непрерывность или сходимость ). Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, которая равна нулю в нуле, например, d ′ ( x , y ) = d ( x , y) / (1 + d ( x , y )) или d ′ ′ ( x , y ) = min (1, d ( x , y )).

Требование, чтобы метрика принимала значения в [0, ∞), можно даже ослабить, чтобы рассматривать метрики со значениями в других направленных наборах . Переформулировка аксиом в этом случае приводит к построению равномерных пространств : топологических пространств с абстрактной структурой, позволяющих сравнивать локальные топологии разных точек.

Псевдометрика [ править ]

Псевдометрика на X является функцией д  : Х × Х → R , которая удовлетворяет аксиомам метрики, за исключением того, что вместо второго (тождество неразличимых) только d ( х , х ) = 0 для всех х требуется. Другими словами, аксиомы псевдометрии таковы:

1. д ( х , у ) ≥ 0
2. d ( x , x ) = 0 (но, возможно, d ( x , y ) = 0 для некоторых различных значений x ≠ y .)
3. д ( х , у ) = д ( у , х )
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

В некоторых контекстах псевдометрики называют полуметриками из-за их связи с полунормами .

Квазиметрика [ править ]

Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, за исключением, возможно, симметрии :. ^{[4] [5]} Название этого обобщения не полностью стандартизировано. ^[6]

1. d ( x , y ) ≥ 0 ( положительность )
2. d ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда   x = y ( положительная определенность )
3. д ( х , у ) = д ( у , х )( симметрия , упал)
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( неравенство треугольника )

Квазиметрия - обычное дело в реальной жизни. Например, учитывая набор X горных деревень, типичное время ходьбы между элементами X формирует квазиметрическое значение, потому что путешествие вверх по холму занимает больше времени, чем путешествие вниз по склону. Другой примером является таксомотор геометрии топологии , имеющая одну стороны улицы, где путь от точки А до точки Б содержит различный набор улиц , чем путь от B к A .

Квазиметрику вещественных чисел можно определить, задав

d ( x , y ) = x - y, если x ≥ y , и

d ( x , y ) = 1 в противном случае. 1 можно заменить на бесконечность или на .${\displaystyle 1+10^{(y-x)}}$

Топологическое пространство, лежащее в основе этого квазиметрического пространства, - это линия Зоргенфрея . Это место описывает процесс опиливания металлической палочки: уменьшить ее размер легко, а вырастить - сложно или невозможно.

Если d - квазиметрика на X , метрика d ' на X может быть образована, взяв

д» ( х , у ) = ¹ / ₂ ( г ( х , у ) + d ( у , х )).

Метаметрики [ править ]

В метаметрике выполняются все аксиомы метрики, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики следующие:

1. д ( х , у ) ≥ 0
2. d ( x , y ) = 0 означает x = y (но не наоборот).
3. д ( х , у ) = д ( у , х )
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Метаметрики возникают при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальное metametric на такое пространстве удовлетворяет условию d ( х , х ) = 0 для точек х на границе, но в противном случае d ( х , х ) составляет приблизительно расстояние от й до границы. Метаметрики впервые были определены Юсси Вяйсяля. ^[7]

Семиметрия [ править ]

Полуметрика на X является функцией д  : Х × Х → R , который удовлетворяет первые три аксиомы, но не обязательно неравенство треугольника:

1. д ( х , у ) ≥ 0
2. d ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда   x = y
3. д ( х , у ) = д ( у , х )

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z )) (ρ-релаксирующее неравенство треугольника)

d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z )) (ρ-инфраметрическое неравенство).

Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-релаксированное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-релаксированного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полиметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называются «квазиметриками» ^[8], «околометриками» ^[9] или инфраметриками . ^[10]

Ρ-Инфраметрические неравенства были введены для моделирования времени задержки приема-передачи в Интернете . ^[10] Неравенство треугольника влечет 2-инфраметрическое неравенство, а ультраметрическое неравенство - это в точности 1-инфраметрическое неравенство.

Преметрики [ править ]

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики , то есть функции, удовлетворяющей следующим условиям:

1. д ( х , у ) ≥ 0
2. d ( х , х ) = 0
3. д ( х , у ) = д ( у , х )

Это нестандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений показателей, таких как псевдосемиметрика ^[11] или псевдометрика; ^[12] в переводах русских книг иногда встречается как «праметрический». ^[13] Это также называется расстоянием. ^[14]

Любая преметрика порождает следующую топологию. Для положительного реального г , то г -шар с центром в точке р определяется как

B _r ( p ) = { x | d ( x , p ) <r}.

Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r- шар с центром в p, который содержится в множестве. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством . Вообще говоря, сами r- шары не обязательно должны быть открытыми множествами по отношению к этой топологии. Что касается показателей, расстояние между двумя наборами A и B определяется как

d ( A , B ) = inf _{x ∊ A , y ∊ B} d ( x , y ).

Это определяет преметрику на множестве степеней преметрического пространства. Если мы начнем с (псевдополеметрического) пространства, мы получим псевдосемиметрику, то есть симметричную преметрику. Любая преметрика порождает следующий оператор предварительного закрытия cl :

cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.

Псевдоквазиметрия [ править ]

Префиксы псевдо- , квази- и полу- также можно комбинировать, например, псевдоквазиметрический (иногда называемый гемиметрическим ) ослабляет аксиому неразличимости и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r -шары составляют основу открытых множеств. Самый простой пример псевдоквазиметрического пространства - это множество {0,1} с преметрикой, заданной формулами d (0,1) = 1 и d (1,0) = 0. Соответствующее топологическое пространство - это пространство Серпинского .

Множества, оснащенные расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщенные метрические пространства». ^{[15] [16]} С категориальной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями являются лучшими из категорий метрических пространств. Можно брать произвольные продукты и сопродукты и формировать частные объекты в рамках данной категории. Если отказаться от «расширенного», можно будет брать только конечные продукты и сопродукции. Если отбросить «псевдо», нельзя брать частные. Пространства подхода - это обобщение метрических пространств, которое поддерживает эти хорошие категориальные свойства.

Расстояние Лукашика-Кармовского [ править ]

Расстояние Лукашика-Кармовского - это функция, определяющая расстояние между двумя случайными величинами или двумя случайными векторами . Аксиомы этой функции:

1. д ( х , у )> 0
2. д ( х , у ) = д ( у , х )
3. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Эта функция расстояния удовлетворяет тождественному условию неразличимости тогда и только тогда, когда оба аргумента описываются идеализированными функциями распределения вероятностей дельта- плотности Дирака .

Важные случаи обобщенных показателей [ править ]

В дифференциальной геометрии рассматривается метрический тензор , который можно рассматривать как «бесконечно малую» квадратичную метрическую функцию. Это определяется как невырожденная симметрической билинейной форма на касательном пространстве в виде коллектора с соответствующей дифференцируемостью требованием. Хотя это не метрические функции, как определено в этой статье, они индуцируют то, что называется псевдополиметрической функцией, путем интегрирования ее квадратного корня по пути через многообразие. Если наложить требование положительной определенности скалярного произведения на метрический тензор, это ограничится случаемРиманово многообразие , и интегрирование по путям дает метрику.

В общей теории относительности соответствующее понятие - это метрический тензор (общая теория относительности), который выражает структуру псевдориманова многообразия . Хотя используется термин «метрика», основная идея отличается, потому что в касательном пространстве этих многообразий есть ненулевые нулевые векторы , и векторы могут иметь отрицательные квадраты нормы. Этот обобщенный взгляд на «метрики», в котором нулевое расстояние не подразумевает идентичности, проник и в некоторые математические сочинения: ^{[17] [18]}

См. Также [ править ]

• Акустическая метрика
• Полная метрика
• Мера сходства
• Знаковая функция расстояния

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Архангельский, А В; Понтрягин, LS (1990), Общая топология I: основные концепции и конструкции Теория размерностей , Энциклопедия математических наук, Springer , ISBN 3-540-18178-4
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии , Дувр , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446 , OCLC  32311847

Внешние ссылки [ править ]

• «Квазиметрическое пространство» . PlanetMath .
• «Полиметрический» . PlanetMath .