Длина дуги

После исправления кривая дает отрезок прямой, длина которого равна длине дуги кривой.

Длина дуги ˙s из логарифмической спирали в зависимости от ее параметра & thetas .

Длина дуги - это расстояние между двумя точками на участке кривой .

Определение длины сегмента неправильной дуги также называется исправлением кривой. Появление исчисления бесконечно малых привело к общей формуле, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме .

Общий подход [ править ]

Аппроксимация несколькими линейными отрезками

Кривые в плоскости может быть аппроксимировано путем подключения конечного числа точек на кривом с использованием отрезков , чтобы создать многоугольный путь . Поскольку легко вычислить длину каждого линейного сегмента (например, используя теорему Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину приближения можно найти, суммируя длины каждого линейного сегмента;это приближение известно как (кумулятивное) хордовое расстояние . ^[1]

Если кривая еще не является многоугольной траекторией, использование все большего числа сегментов меньшей длины приведет к лучшему приближению. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут продолжать расти бесконечно, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу, поскольку длины сегментов становятся сколь угодно малыми .

Для некоторых кривых существует наименьшее число, которое является верхней границей длины любого полигонального приближения. Эти кривые называются выпрямляемыми, и их количество определяется как длина дуги .${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$

Определение гладкой кривой [ править ]

Позвольте быть непрерывно дифференцируемой функцией. Длина кривой, определяемая с помощью, может быть определена как предел суммы длин линейных сегментов для регулярного раздела, когда количество сегментов приближается к бесконечности. Это означает${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$

где для Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как интеграла:${\displaystyle t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t}$${\displaystyle i=0,1,\dotsc ,N.}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.}$

Последнее равенство выше верно по следующим причинам: (i) по теореме о среднем значении , где ${\displaystyle {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})),}$${\displaystyle 0<\theta _{i}<1}$^{[ сомнительно - обсудить ]} . (б) функция является непрерывной, таким образом , она равномерно непрерывна , поэтому существует положительная действительная функция положительных действительных таким образом, что подразумевает , это означает ,${\displaystyle |f'|}$${\displaystyle \delta (\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \Delta t<\delta (\epsilon )}$${\displaystyle \left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\Delta t}$

имеет абсолютное значение меньше, чем для. Это означает, что в пределе левый член выше равен правому члену, который является просто интегралом Римана от on. Это определение длины дуги показывает, что длина кривой, непрерывно дифференцируемой на , всегда конечна. Другими словами, кривая всегда исправима.${\displaystyle \epsilon (b-a)}$${\displaystyle N>(b-a)/\delta (\epsilon ).}$${\displaystyle N\rightarrow \infty ,}$${\displaystyle |f'(t)|}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [a,b]}$

Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла от нормы производной эквивалентно определению

${\displaystyle L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$

где верхняя грань берется по всем возможным перегородками из ^[2] Это определение справедливо , если просто непрерывно, не дифференцируема.${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle f}$

Кривую можно параметризовать бесконечно многими способами. Позвольте быть любой непрерывно дифференцируемой биекцией . Затем выполняется еще одна непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, первоначально заданная параметром Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой:${\displaystyle \varphi :[a,b]\to [c,d]}$${\displaystyle g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\textrm {since}}\ \varphi \ {\textrm {must}}\ {\textrm {be}}\ {\textrm {non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\textrm {using}}\ {\textrm {integration}}\ {\textrm {by}}\ {\textrm {substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}}$

Определение длины дуги путем интегрирования [ править ]

Если плоская кривая в определяется уравнением , где находится непрерывно дифференцируема , то это просто частный случай параметрического уравнения где и длина дуги затем определяется по формуле:${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=t}$${\displaystyle y=f(t).}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.}$

Кривые с решениями замкнутой формы для длины дуги включают цепную линию , круг , циклоиду , логарифмическую спираль , параболу , полукубическую параболу и прямую линию . Отсутствие решения в замкнутой форме для длины дуги эллиптической и гиперболической дуги привело к развитию эллиптических интегралов .

Численное интегрирование [ править ]

В большинстве случаев, включая даже простые кривые, нет решений в замкнутой форме для длины дуги, и требуется численное интегрирование . Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу определения длины четверти единичной окружности путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичного круга может быть параметризована как Интервал соответствует четверти круга. Поскольку и длина четверти единичного круга равна${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$${\displaystyle x\in [-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2]}$${\displaystyle dy/dx=-x/{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1/(1-x^{2}),}$

${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx.}$

Оценка по правилу Гаусса – Кронрода из 15 пунктов для этого интеграла от1,570 796 326 808 177 отличается от истинной длины

${\displaystyle {\Big [}\arcsin x{\Big ]}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$

к 1,3 × 10 ⁻¹¹ и 16-точечная оценка квадратурного правила Гаусса1.570 796 326 794 727 отличается от истинной длины только1,7 × 10 ⁻¹³ . Это означает, что можно оценить этот интеграл почти с машинной точностью с помощью всего 16 вычислений интеграла.

Кривая на поверхности [ править ]

Позвольте быть отображением поверхности и позвольте быть кривой на этой поверхности. Подынтегральное выражение интеграла длины дуги: Для вычисления производной требуется цепное правило для векторных полей:${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$${\displaystyle |(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )'(t)|.}$

${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$

Квадрат нормы этого вектора равен (где - коэффициент первой фундаментальной формы ), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как (где и ).${\displaystyle (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}(u')^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}(v')^{2}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}(u^{a})'(u^{b})'}}}$${\displaystyle u^{1}=u}$${\displaystyle u^{2}=v}$

Другие системы координат [ править ]

Позвольте быть кривой, выраженной в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные координаты:${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$

${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$

Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно . Цепное правило для векторных полей показывает, что Итак, квадрат подынтегрального выражения интеграла длины дуги равен${\displaystyle |(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )'(t)|.}$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$

${\displaystyle (\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} )(r')^{2}+2(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta })r'\theta '+(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta })(\theta ')^{2}=(r')^{2}+r^{2}(\theta ')^{2}.}$

Таким образом, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги равна

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}}}d\theta .}$

Теперь пусть будет кривая, выраженная в сферических координатах, где - полярный угол, отсчитываемый от положительной оси, а - азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные координаты:${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$

Повторное использование цепного правила показывает, что все скалярные произведения, где и отличаются, равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle (\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r})(r'^{2})+(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta })(\theta ')^{2}+(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi })(\phi ')^{2}=(r')^{2}+r^{2}(\theta ')^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (\phi ')^{2}.}$

Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги равна

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

Простые случаи [ править ]

Дуги окружностей [ править ]

Длины дуги обозначаются буквой s , поскольку латинское слово, обозначающее длину (или размер), - это пространство .

В следующих строках, представляет собой радиус от в круг , является его диаметр , является его окружности , длина дуги окружности, а угол , который дуга стягивает на центре круга. Расстояния и выражаются в тех же единицах.${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r,d,C,}$${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$что то же самое, что и Это уравнение является определением${\displaystyle C=\pi d.}$ π . {\displaystyle \pi .}
• Если дуга - полукруг , то${\displaystyle s=\pi r.}$
• Для произвольной дуги окружности:
  • Если в радианах, то это определение радиана.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s=r\theta .}$
  • Если в градусах , то это то же самое, что${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180\ {\text{deg}}}},}$${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360\ {\text{deg}}}}.}$
  • Если в градах (100 градов, или сорт, или gradians являются одним прямым углом ), а затем , который является таким же , как${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200\ {\text{grad}}}},}$${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400\ {\text{grad}}}}.}$
  • Если в поворотах (один оборот - это полный оборот, или 360 °, или 400 градусов, или радиан), то .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle s=C\theta /{\text{turn}}}$

Дуги больших кругов на Земле [ править ]

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), были изначально определены таким образом, чтобы длины дуг больших окружностей на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение применимо в следующих случаях:${\displaystyle s=\theta }$

• если в морских милях, а в угловых минутах ( ¹ / ₆₀ степени), или${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$
• если это в километрах, а в градусах по Цельсию ( ¹ / ₁₀₀ град ).${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$

Длины единиц расстояния были выбраны так, чтобы окружность Земли была равна 40 000 километров, или21 600 морских миль. Это количество соответствующих угловых единиц за один полный оборот.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но исходные определения все еще достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен 0,54 морской мили. Используя официальные современные определения, одна морская миля составляет ровно 1,852 километра ^[3], что означает, что 1 километр составляет примерно0,539 956 80 морских миль. ^[4] Это современное соотношение отличается от рассчитанного по первоначальным определениям менее чем на одну часть из 10 000.

Длина дуги параболы [ править ]

Исторические методы [ править ]

Античность [ править ]

На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед первым изобрел способ найти площадь под кривой с помощью своего « метода истощения », мало кто верил, что кривые могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые шаги в этой области, как это часто бывает в расчетах , были заложены путем приближения . Люди начали писать многоугольникивнутри кривых и вычислите длину сторон для некоторого точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшив длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав в круг многоугольник с множеством сторон, они смогли найти приблизительные значения π . ^{[5] [6]}

17 век [ править ]

В 17 - м века, метод исчерпывания привели к выпрямлению геометрических методами нескольких кривых трансцендентных : логарифмическая спираль по Торричелли в 1645 году (некоторые источники говорят , Валлис в 1650 - х годах), то циклоида от Кристофера Рена в 1658 году, и цепная линия от Готфрида Лейбница в 1691 году.

В 1659 году Уоллис приписал Уильяму Нейлу открытие первого выпрямления нетривиальной алгебраической кривой - полукубической параболы . ^[7] Соответствующие рисунки приведены на странице 145. На странице 91 Уильям Нейл упоминается как Гулиельмус Нелиус .

Интегральная форма [ править ]

До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы для длины дуги была независимо открыта Хендриком ван Хойраетом и Пьером де Ферма .

В 1659 году ван Хурает опубликовал конструкцию, показывающую, что задача определения длины дуги может быть преобразована в задачу определения площади под кривой (т. Е. Интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, что потребовало нахождения области под параболой . ^[8] В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат, в своей работе De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometry (Геометрическая диссертация о кривых линиях в сравнении с прямыми линиями). ^[9]

Основываясь на своей предыдущей работе с касательными, Ферма использовал кривую

${\displaystyle y=x^{3/2}\,}$

которого касательной при х = имела наклон в

${\displaystyle \textstyle {3 \over 2}a^{1/2}}$

так что касательная линия будет иметь уравнение

${\displaystyle y=\textstyle {3 \over 2}{a^{1/2}}(x-a)+f(a).}$

Затем он увеличил на небольшую величину , чтобы в + е , делая сегмента AC относительно хорошее приближение для длины кривой от А до D . Чтобы найти длину отрезка AC , он использовал теорему Пифагора :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&{}=AB^{2}+BC^{2}\\&{}=\textstyle \varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&{}=\textstyle \varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

что, когда решено, дает

${\displaystyle AC=\textstyle \varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\ }}.}$

Чтобы приблизиться к длине, Ферма суммировал бы последовательность коротких отрезков.

Кривые бесконечной длины[ редактировать ]

Как упоминалось выше, некоторые кривые нельзя исправить. То есть отсутствует верхняя граница длин полигональных аппроксимаций; длину можно сделать сколь угодно большой . Неформально говорят, что такие кривые имеют бесконечную длину. Существуют непрерывные кривые, на которых каждая дуга (кроме одноточечной) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является кривая Коха . Другой пример кривой бесконечной длины - это график функции, определяемой формулой f ( x ) =  x  sin (1 / x ) для любого открытого множества с 0 в качестве одного из его разделителей и f (0) = 0. Иногда функция Хаусдорфа размерность и мера Хаусдорфа используются для количественной оценки размера таких кривых.

Обобщение на (псевдо) римановы многообразия [ править ]

Пусть - (псевдо) риманово многообразие , кривая в и (псевдо) метрический тензор .${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$

Длина определяется как${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {\pm g(\gamma '(t),\gamma '(t))}}\,dt,}$

где это касательный вектор на знак в квадратный корень выбирается один раз для данной кривой, чтобы гарантировать , что квадратный корень является вещественным числом. Положительный знак выбран для пространственноподобных кривых; в псевдоримановом многообразии отрицательный знак может быть выбран для времениподобных кривых. Таким образом, длина кривой - неотрицательное действительное число. Обычно не рассматриваются кривые, которые частично пространственноподобны, а частично времениподобны.${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t.}$

В теории относительности длина дуги времениподобных кривых ( мировых линий ) - это собственное время, прошедшее вдоль мировой линии, а длина дуги пространственноподобной кривой - собственное расстояние вдоль кривой.

См. Также [ править ]

• Дуга (геометрия)
• Длина окружности
• Формула Крофтона
• Эллиптический интеграл
• Геодезические
• Внутреннее уравнение
• Интегральные приближения
• Линейный интеграл
• Дуга меридиана
• Многопараметрическое исчисление
• Извилистость

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Фаруки, Рида Т. (1999). «Кривые от движения, движение от кривых». В Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Шумакер, LL (ред.). Кривая и дизайн поверхностей: Сен-Мало 1999 . Vanderbilt Univ. Нажмите. С. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме длины дуги .

• "Спрямляемая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• История кривизны
• Вайсштейн, Эрик В. «Длина дуги» . MathWorld .
• Длина дуги , Эд Пегг-младший , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• [постоянная мертвая ссылка ] Руководство по исчислению - Длина дуги (исправление)
• Указатель известных кривых Архив истории математики MacTutor
• Аппроксимация длины дуги, сделанная Чадом Пирсоном, Джошем Фрицем и Анжелой Шарп, The Wolfram Demonstrations Project .
• Длина кривой Эксперимент. Иллюстрирует численное решение нахождения длины кривой.