Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль (шаг 10 °)

Логарифмическая спираль , логарифмическая спираль , или спираль роста является самоподобным спиральным кривой , которая часто появляется в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом, а затем подробно исследована Якобом Бернулли , который назвал ее Spira mirabilis , «чудесная спираль».

Логарифмическую спираль можно отличить от спирали Архимеда тем, что расстояния между витками логарифмической спирали увеличиваются в геометрической прогрессии , в то время как в спирали Архимеда эти расстояния постоянны.

Определение [ править ]

В полярных координатах логарифмическая спираль может быть записана в виде ^[1]${\ Displaystyle (г, \ varphi)}$

${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$

или же

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$

с основанием натурального логарифма и действительными константами.${\displaystyle e}$${\displaystyle a>0,k\neq 0}$

В декартовых координатах [ править ]

Логарифмическая спираль с полярным уравнением

${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }}$

в декартовых координатах можно представить как${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$

• ${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$

В комплексной плоскости :${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

• ${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$

Spira mirabilis и Якоб Бернулли [ править ]

Spira mirabilis , что на латыни означает «чудесная спираль», - это еще одно название логарифмической спирали. Хотя эта кривая уже была названа другими математиками, конкретное название («чудесная» или «чудесная» спираль) дал этой кривой Якоб Бернулли , потому что он был очарован одним из ее уникальных математических свойств: размером спирали. увеличивается, но его форма не изменяется с каждой последовательной кривой, свойство, известное как самоподобие . Возможно, в результате этого уникального свойства spira mirabilis эволюционировала в природе, появившись в определенных растущих формах, таких какраковины наутилуса иголовки подсолнечника .Якоб Бернулли хотел, чтобы такая спираль была выгравирована на его надгробии.вместе с фразой « Eadem mutata resurgo » («Хотя и изменился, я встану таким же»), но по ошибке туда была помещена архимедова спираль . ^{[2] [3]}

Свойства [ править ]

Определение угла наклона и сектора

Логарифмическая спираль обладает следующими свойствами (см. Спираль ):${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,\;}$

• Полярный склон :${\displaystyle \ \tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{constant !}}})}$

с полярным углом наклона (см. диаграмму).${\displaystyle \alpha }$

(В случае угла будет 0, а кривая представляет собой круг с радиусом .)${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$

• Кривизна :${\displaystyle \;\kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$

• Длина дуги:${\displaystyle \ L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  

Особенно: если .${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\text{finite !}}})\;}$${\displaystyle k>0}$

Это свойство было впервые реализовано Евангелистой Торричелли еще до изобретения исчисления . ^[4]

• Площадь сектора: ${\displaystyle \ A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Инверсия: инверсия круга ( ) отображает логарифмическую спираль на логарифмическую спираль${\displaystyle r\to 1/r}$${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\ .}$

Примеры для ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Вращение, масштабирование : поворот спирали на угол дает спираль , которая является исходной спиралью, равномерно масштабированной (в начале координат) на .${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$

Масштабирование с помощью дает ту же кривую.${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$

• Самоподобие : результат предыдущего свойства:

Масштабированная логарифмическая спираль конгруэнтна (вращением) исходной кривой.

Пример: на схеме показаны спирали с углом наклона и . Следовательно, все они являются масштабными копиями красного. Но их также можно сгенерировать, вращая красную спираль на угол соответственно. Все спирали не имеют общих точек (см. Свойство комплексной экспоненциальной функции ).${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$

• Связь с другими кривыми: логарифмические спирали соответствуют их собственным эвольвентам , эволюциям и кривым педали, основанным на их центрах.
• Комплексная экспоненциальная функция : экспоненциальная функция точно отображает все линии, не параллельные действительной или мнимой оси в комплексной плоскости, на все логарифмические спирали в комплексной плоскости с центром в :${\displaystyle 0}$

${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}\ }$

Полярный угол наклона логарифмической спирали - это угол между линией и мнимой осью.${\displaystyle \alpha }$

Частные случаи и приближения [ править ]

Золотая спираль является логарифмической спиралью , которая растет наружу на факторе золотого сечения на каждые 90 градусов поворота (полярный угол наклона около 17.03239 градусов). Его можно аппроксимировать «спиралью Фибоначчи», состоящей из последовательности четвертей окружностей с радиусами, пропорциональными числам Фибоначчи .

В природе [ править ]

В разрезе раковины наутилуса показаны камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали. Построенная спираль (пунктирная синяя кривая) основана на параметре скорости роста , в результате чего шаг составляет .${\displaystyle b=0.1759}$${\displaystyle \arctan b\approx 10^{\circ }}$

В некоторых природных явлениях можно найти кривые, близкие к логарифмическим спиралям. Вот несколько примеров и причин:

• Приближение ястреба к своей жертве в классическом преследовании , предполагая, что жертва движется по прямой. Их самый острый вид - под углом к ​​направлению полета; этот угол такой же, как шаг спирали. ^[5]
• Приближение насекомого к источнику света. Они привыкли, что источник света находится под постоянным углом к ​​траектории полета. Обычно солнце (или луна для ночных видов) является единственным источником света, и полет в этом направлении приведет к практически прямой линии. ^[6]
• Рукава спиральных галактик . ^[7] Наша собственная галактика, Млечный Путь , имеет несколько спиральных рукавов, каждое из которых представляет собой примерно логарифмическую спираль с углом наклона около 12 градусов. ^[8]
• Нервы роговицы (то есть роговичные нервы субэпителиального слоя оканчиваются около поверхностного эпителиального слоя роговицы по логарифмической спирали). ^[9]
• В полосах из тропических циклонов , такие как ураганы. ^[10]
• Многие биологические структуры, в том числе раковины моллюсков . ^[11] В этих случаях причиной может быть конструкция из расширяющихся одинаковых фигур, как в случае с многоугольными фигурами.
• Пляжи с логарифмической спиралью могут образовываться в результате преломления волн и дифракции на побережье. Хаф-Мун-Бэй (Калифорния) - пример такого типа пляжа. ^[12]

В инженерных приложениях [ править ]

• Логарифмические спиральные антенны - это антенны, не зависящие от частоты, то есть антенны, диаграмма направленности, импеданс и поляризация которых остаются практически неизменными в широкой полосе частот. ^[13]
• При изготовлении механизмов на машинах для субтрактивной обработки (таких как лазерные резаки ) может наблюдаться потеря точности, когда механизм изготавливается на другом станке из-за разницы в материале, удаляемом (то есть пропила) на каждой машине при резке. процесс. Чтобы приспособиться к этому изменению пропила, самоподобие логарифмической спирали было использовано для разработки механизма подавления пропила для лазерных резаков. ^[14]
• Конические зубчатые колеса с логарифмической спиралью представляют собой тип конических зубчатых колес со спиральными зубьями, центральная линия которых представляет собой логарифмическую спираль. Преимущество логарифмической спирали в том, что она обеспечивает равные углы между осевой линией зуба и радиальными линиями, что обеспечивает большую стабильность передачи зацепления. ^[15]

Галерея [ править ]

• Сечение множества Мандельброта по логарифмической спирали

• Вне тропический циклон над Исландией демонстрирует примерно логарифмический спиральный узор.

• Рукава спиральных галактик часто имеют форму логарифмической спирали, здесь - Галактика Водоворот.

• Механизм отмены пропила использует самоподобие логарифмической спирали для фиксации на месте при вращении, независимо от пропила. ^[16]

• Логарифмическая спиральная антенна

См. Также [ править ]

• Архимедова спираль
• Эписпиральный
• Список спиралей

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Логарифмическая спираль" . MathWorld .
• Джим Уилсон, Равноугольная спираль (или логарифмическая спираль) и связанные с ней кривые , Университет Джорджии (1999)
• Александр Богомольный , Spira Mirabilis - Wonderful Spiral , на распутье

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с логарифмическими спиралями .

• Спира мирабилис история и математика
• Астрономическая фотография дня НАСА: ураган Изабель против галактики Водоворот (25 сентября 2003 г.)
• Астрономическое изображение дня НАСА: Тайфун Раммасун против Галактики Вертушка (17 мая 2008 г.)
• SpiralZoom.com , образовательный сайт о науке формирования узоров, спиралях в природе и спиралях в мифическом воображении.
• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)