Геометрическая прогрессия

Диаграмма, показывающая три основные геометрические последовательности паттерна 1 ( r ^{n -1} ) глубиной до 6 итераций. Первый блок - это единичный блок, а пунктирная линия представляет собой бесконечную сумму последовательности, число, к которому она всегда будет приближаться, но никогда не коснется: 2, 3/2 и 4/3 соответственно.

В математике , А геометрическая прогрессия , также известная как геометрическая последовательность , является последовательностью ненулевых чисел , где каждый член после первого определяются умножение предыдущего на фиксированное, ненулевое числе называется общее соотношение . Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с обычным отношением 3. Аналогично, 10, 5, 2,5, 1,25, ... - геометрическая последовательность с обычным отношением 1/2.

Примерами геометрической последовательности являются степени r ^k фиксированного ненулевого числа r , например 2 ^k и 3 ^k . Общий вид геометрической последовательности:

{\ Displaystyle а, \ ар, \ ар ^ {2}, \ ар ^ {3}, \ ар ^ {4}, \ \ ldots}

где r ≠ 0 - общее отношение, а a ≠ 0 - коэффициент масштабирования , равный начальному значению последовательности.

Разница между прогрессией и серией состоит в том, что прогрессия - это последовательность, а серия - это сумма.

Элементарные свойства [ править ]

П -й член геометрической последовательности с начальным значением а = ₁ и общий коэффициент г задается

{\ displaystyle a_ {n} = a \, r ^ {n-1}.}

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению

{\ Displaystyle а_ {п} = г \, а_ {п-1}}

для каждого целого числа

{\ displaystyle n \ geq 2.}

Как правило, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение.

Обычное отношение геометрической последовательности может быть отрицательным, что приводит к чередованию последовательности с чередующимися числами между положительными и отрицательными. Например

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

представляет собой геометрическую последовательность с общим отношением −3.

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения.
Если общее соотношение:

положительный, все термины будут того же знака, что и первоначальный член.
отрицательный, термины будут чередоваться между положительными и отрицательными.
больше 1, будет экспоненциальный рост в сторону положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знака начального члена).
1 прогрессия представляет собой постоянную последовательность.
между -1 и 1, но не нулем, будет экспоненциальный спад к нулю (→ 0).
−1, абсолютное значение каждого члена в последовательности постоянно, а члены меняют знак.
меньше -1, для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост к (беззнаковой) бесконечности из-за переменного знака.

Геометрические последовательности (с общим отношением, не равным -1, 1 или 0) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальный спад, в отличие от линейного роста (или спада) арифметической прогрессии, такой как 4, 15, 26, 37, 48,… (с общим отличием 11). Этот результат был взят Т. Р. Мальтусом как математическая основа своего принципа народонаселения . Обратите внимание, что эти два вида прогрессии связаны: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что любые три последовательных члена a , b и c будут удовлетворять следующему уравнению:

{\ displaystyle b ^ {2} = ac}

где b считается средним геометрическим между a и c .

Геометрические ряды [ править ]

Этот раздел может уйти от темы статьи в тему другой статьи, серии «Геометрические» . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел или обсудите эту проблему на странице обсуждения . ( Февраль 2014 г. )

	2	+	10	+	50	+	250			знак равно	312
- (			10	+	50	+	250	+	1250	знак равно	5 × 312)

	2							-	1250	знак равно	(1 - 5) × 312

Вычисление суммы 2 + 10 + 50 + 250. Последовательность поэтапно умножается на 5, а затем вычитается из исходной последовательности. Остаются два члена: первый член, a , и термин, следующий за последним, или ar ^m . Желаемый результат 312 находится путем вычитания этих двух членов и деления на 1–5.

Геометрическая прогрессия является суммой чисел в геометрической прогрессии. Например:

{\ displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 \ times 5 + 2 \ times 5 ^ {2} +2 \ times 5 ^ {3}.}

Пусть a будет первым членом (здесь 2), n будет количеством членов (здесь 4), а r будет константой, на которую умножается каждый член, чтобы получить следующий член (здесь 5), сумма определяется как:

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {а (1-г ^ {п})} {1-г}}}

В приведенном выше примере это дает:

2+10+50+250={\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}={\frac {-1248}{-4}}=312.

Формула работает для любых действительных чисел a и r (кроме r = 1, что приводит к делению на ноль). Например:

-2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}=-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}={\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}}={\frac {-2\pi (1+2\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -54.360768.

Поскольку вывод (см. Ниже) не зависит от вещественности a и r , он верен и для комплексных чисел.

Вывод [ править ]

Чтобы вывести эту формулу, сначала напишите общий геометрический ряд как:

\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.

Мы можем найти более простую формулу для этой суммы, умножив обе части приведенного выше уравнения на 1 - r , и мы увидим, что

{\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}

так как все остальные условия отменяются. Если r ≠ 1, мы можем изменить приведенное выше, чтобы получить удобную формулу для геометрического ряда, который вычисляет сумму n членов:

\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.

Связанные формулы [ править ]

Если начать суммирование не с k = 1, а с другого значения, скажем m , то

\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}},

при условии . Если тогда сумма просто константы и поэтому равна . $r\neq 1$ $r=1$ $a$ $a(n-m+1)$

Дифференцируя эту формулу по r , можно прийти к формулам для сумм вида

G_{s}(n,r):=\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.

Например:

{\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.

Для геометрического ряда, содержащего только четные степени r, умножаем на 1 - r ² :

(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.

потом

\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.

Точно так же возьмите r ² как обычное отношение и используйте стандартную формулировку.

Для ряда только с нечетными степенями r

(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}

и

\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.

Точная формула для обобщенной суммы при разложении на числа Стирлинга второго рода как ^[1] $G_{s}(n,r)$ $s\in \mathbb {N}$

G_{s}(n,r)=\sum _{j=0}^{s}\left\lbrace {s \atop j}\right\rbrace x^{j}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}\left[{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right].

Бесконечный геометрический ряд [ править ]

Этот раздел может уйти от темы статьи в тему другой статьи, серии «Геометрические» . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел или обсудите эту проблему на странице обсуждения . ( Февраль 2014 г. )

Бесконечная геометрическая прогрессия представляет собой бесконечный ряд , последовательные термины имеет общее соотношение. Такой ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы (| r | <1). Его значение затем может быть вычислено по формуле конечной суммы

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}

Анимация, показывающая схождение частичных сумм геометрической прогрессии (красная линия) к ее сумме (синяя линия) для .

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

{1 \over 1-q}

|q|<1

Диаграмма, показывающая геометрический ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯, который сходится к 2.

С:

r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.

Потом:

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}

Для серии, содержащей только четные степени , $r$

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}

и только для нечетных полномочий,

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}

В случаях, когда сумма не начинается при k = 0,

\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}

Приведенные выше формулы действительны только для | г | <1. Последняя формула верна в любой банаховой алгебре , если норма r меньше единицы, а также в поле p -адических чисел, если | г | _p <1. Как и в случае с конечной суммой, мы можем дифференцировать, чтобы вычислить формулы для связанных сумм. Например,

{\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}

Эта формула работает только для | г | <1. Отсюда следует, что при | г | <1,

\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}

Кроме того, бесконечный ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ является элементарным примером абсолютно сходящегося ряда .

Это геометрический ряд , первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно 1/2, поэтому его сумма равна

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.

Обратный к вышеуказанному ряду равен 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ - простой пример переменного ряда, который абсолютно сходится.

Это геометрический ряд , первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно −1/2, поэтому его сумма равна

{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.

Комплексные числа [ править ]

Формула суммирования для геометрических рядов остается в силе, даже если знаменатель является комплексным числом . В этом случае условие , что абсолютная величина г будет меньше , чем 1 становится , что модуль упругости на г быть меньше 1. Это можно вычислить суммы некоторой неочевидным геометрической прогрессии. Например, рассмотрим предложение

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}

Доказательство этого исходит из того факта, что

\sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},

что является следствием формулы Эйлера . Подстановка этого в исходную серию дает

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]

.

В этом разница двух геометрических рядов, поэтому доказательство завершается прямым применением формулы для бесконечных геометрических рядов.

Продукт [ править ]

Результатом геометрической прогрессии является произведение всех терминов. Его можно быстро вычислить, взяв среднее геометрическое первого и последнего отдельных членов прогрессии и возведя это среднее в степень, заданную числом членов. (Это очень похоже на формулу для суммы членов арифметической последовательности : возьмите среднее арифметическое первого и последнего отдельных членов и умножьте на количество членов.)

Поскольку среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из их произведения, произведение геометрической прогрессии равно:

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

.

(Интересный аспект этой формулы состоит в том, что, даже если она включает извлечение квадратного корня из потенциально нечетной степени потенциально отрицательного $r$ , она не может дать сложный результат, если ни $a,$ ни $r$ не имеют мнимой части. , если $r$ будет отрицательным, а $n$ нечетным, для извлечения квадратного корня из отрицательного промежуточного результата, в результате чего последующий промежуточный результат будет мнимым числом. Однако воображаемый промежуточный результат, образованный таким образом, вскоре будет возведен в степень , которая должна быть четным числом, поскольку $n$ $\textstyle n+1$ само по себе было странно; таким образом, окончательный результат вычисления может быть вероятным нечетным числом, но никогда не может быть мнимым.)

Доказательство [ править ]

Пусть $P$ представляет продукт. По определению, его вычисляют путем явного умножения каждого отдельного члена вместе. Написано полностью,

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

.

Производя умножения и собирая подобные термины,

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

.

Показатель $r$ - это сумма арифметической последовательности. Подставляя формулу для этого расчета,

P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}

,

что позволяет упростить выражение до

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

.

Переписывание , как , $\textstyle {\sqrt {a^{2}}}$

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

,

что завершает доказательство.

История [ править ]

Глиняная табличка раннего династического периода в Месопотамии , MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Предполагается, что это шумер из города Шуруппак . Это единственное известное свидетельство геометрической прогрессии до времен вавилонской математики . ^[2]

Книги VIII и IX в Евклиде «s элементов анализируют геометрические прогрессии (например, степени двойки , в статье для деталей) и дать некоторые из их свойств. ^[3]

См. Также [ править ]

Арифметическая прогрессия - последовательность чисел с постоянной разницей между последовательными числами
Арифметико-геометрическая последовательность
Линейное разностное уравнение
Экспоненциальная функция - класс конкретных математических функций
Гармоническая прогрессия
Гармонический ряд - Бесконечный ряд обратных положительных целых чисел
Бесконечная серия - Бесконечная сумма
Предпочтительное число - стандартные рекомендации по выбору точных размеров продукта в рамках заданного набора ограничений.
Томас Роберт Мальтус - британский политический экономист
Геометрическое распределение - распределение вероятностей

Ссылки [ править ]

^ «Установить разделы: номера Стирлинга» . Электронная библиотека математических функций . Проверено 24 мая 2018 .
^ Friberg, Joran (2007). "MS 3047: текст старой шумерской метроматематической таблицы". Во Фриберге, Йоран (ред.). Замечательная коллекция вавилонских математических текстов . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. С. 150–153. DOI : 10.1007 / 978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7. Руководство по ремонту 2333050 .
^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Cambridge University Press, 1925]). Нью-Йорк: Dover Publications.

Холл и Найт, Высшая алгебра , стр. 39, ISBN 81-8116-000-2

Внешние ссылки [ править ]

"Геометрическая прогрессия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вывод формул для суммы конечной и бесконечной геометрической прогрессии на Mathalino.com
Калькулятор геометрической прогрессии
Хорошее доказательство суммы геометрической прогрессии на sputsoft.com
Вайсштейн, Эрик В. "Геометрические ряды" . MathWorld .

[1] «Установить разделы: номера Стирлинга» . Электронная библиотека математических функций . Проверено 24 мая 2018 .

[2] Friberg, Joran (2007). "MS 3047: текст старой шумерской метроматематической таблицы". Во Фриберге, Йоран (ред.). Замечательная коллекция вавилонских математических текстов . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. С. 150–153. DOI : 10.1007 / 978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7. Руководство по ремонту 2333050 .

[3] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Cambridge University Press, 1925]). Нью-Йорк: Dover Publications.

[1]