Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия (АР) или арифметическая последовательность представляет собой последовательность из чисел таким образом, что разность между последовательными условиями является постоянной. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.

Если начальный член арифметической прогрессии равен, а общая разница последовательных членов равна d , то n- й член последовательности ( ) определяется как:${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ Displaystyle \ а_ {п} = а_ {1} + (п-1) г}$,

и вообще

${\ displaystyle \ a_ {n} = a_ {m} + (нм) d}$.

Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией, а иногда просто арифметической прогрессией. Сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией .

Сумма [ править ]

Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией . Например, рассмотрим сумму:

${\ displaystyle 2 + 5 + 8 + 11 + 14}$

Эту сумму можно быстро найти, взяв число n добавляемых членов (здесь 5), умножив на сумму первого и последнего числа в последовательности (здесь 2 + 14 = 16) и разделив на 2:

${\ displaystyle {\ frac {n (a_ {1} + a_ {n})} {2}}}$

В приведенном выше случае это дает уравнение:

${\ displaystyle 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = {\ frac {5 (2 + 14)} {2}} = {\ frac {5 \ times 16} {2}} = 40.}$

Эта формула работает для любых действительных чисел и . Например:${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right) + \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {1} {2}} = {\ frac {3 \ left (- {\ frac {3} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ right)} {2}} = - {\ frac {3} {2}} .}$

Вывод [ править ]

Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1 + 2 + ... + n.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами:

${\ Displaystyle S_ {n} = a_ {1} + (a_ {1} + d) + (a_ {1} + 2d) + \ cdots + (a_ {1} + (n-2) d) + (a_ {1} + (n-1) d)}$

${\ Displaystyle S_ {n} = (a_ {n} - (n-1) d) + (a_ {n} - (n-2) d) + \ cdots + (a_ {n} -2d) + (a_ {n} -d) + a_ {n}.}$

Складывая обе части двух уравнений, все члены, содержащие d, сокращаются:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

Разделив обе части на 2, мы получим уравнение общей формы:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

Альтернативная форма получается в результате повторной вставки подстановки ::${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

Кроме того, среднее значение ряда можно рассчитать с помощью :${\displaystyle S_{n}/n}$

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

Формула очень похожа на среднее значение дискретного равномерного распределения .

Продукт [ править ]

Продукт членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом ₁ , общие различия d и п элементы в общей сложности определяются в закрытом выражении

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

где обозначает гамма-функцию . Формула недействительна, если она отрицательна или равна нулю.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle a_{1}/d}$

Это обобщение того факта, что произведение прогрессии дается факториалом, а произведение${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

для положительных целых чисел и определяется выражением${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Вывод [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

где обозначает возрастающий факториал .${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

По формуле рекуррентности , справедливой для комплексного числа , ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

так что

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

для положительного целого и положительного комплексного числа.${\displaystyle m}$${\displaystyle z}$

Таким образом, если ,${\displaystyle a_{1}/d>0}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

и наконец,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Примеры [ править ]

Пример 1

В данном примере произведение членов арифметической прогрессии до 50- ^го члена равно${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Пример 2

Произведение первых 10 нечетных чисел равно${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$

${\displaystyle 1.3.5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$ = 654 729 075

Стандартное отклонение [ править ]

Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

где - количество терминов в прогрессии, а - общая разница между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретного равномерного распределения .${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

Перекрестки [ править ]

Пересечение любых двух бесконечных дважды арифметических прогрессий либо пусто или другой арифметической прогрессии, которая может быть найдена с помощью теоремы китайского остатка . Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует общее для всех них число; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семью Хелли . ^[1] Однако пересечение бесконечного множества бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.

История [ править ]

Согласно анекдоту с сомнительной надежностью ^[2] молодой Карл Фридрих Гаусс в начальной школе заново изобрел этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100, умножаяп/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . Однако, несмотря на правдивость этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. ^[3] Подобные правила были известны в древности Архимеду , Гипсиклу и Диофанту ; ^[4] в Китае - Чжан Цюцзянь ; в Индии - Арьябхата , Брахмагупта и Бхаскара II ; ^[5] и в средневековой Европе Алкуину , ^[6] Дикуилу, ^[7] Фибоначчи , ^[8] Сакробоско ^[9] и анонимным комментаторам Талмуда, известным как тосафисты . ^[10]

См. Также [ править ]

• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Треугольное число
• Арифметико-геометрическая последовательность
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Простые числа в арифметической прогрессии
• Линейное разностное уравнение
• Обобщенная арифметическая прогрессия , набор целых чисел, построенный как арифметическая прогрессия, но допускающий несколько возможных различий
• Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии
• Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
• Утональность

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Арифметические серии" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Арифметическая прогрессия" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметический ряд» . MathWorld .