В математике , то падение факториала (иногда называемый нисходящий факториала , [1] падает последовательный продукт , или понизить факториала ) определяется как полином
Растет факториал (иногда называют Похгаммер функции , Похгаммер полином , по возрастанию факториала , [1] растет последовательное продукт , или верхняя факториала ) определяются как
Значение каждого принимается равным 1 ( пустой продукт ), когда n = 0. Эти символы вместе называются факториальными степенями . [2]
Символ Поххаммера , введенный Лео Августом Поххаммером , представляет собой запись ( x ) n , где n - неотрицательное целое число . Он может представлять собой либо восходящий или падение факториала, с различными статьями и авторами с использованием различных конвенций. Сам Поххаммер фактически использовал ( x ) n с еще одним значением, а именно для обозначения биномиального коэффициента . [3]
В этой статье символ ( x ) n используется для обозначения падающего факториала, а символ x ( n ) - для возрастающего факториала. Эти конвенции используются в комбинаторике , [4] , хотя Кнут «ы подчеркивание / Overline обозначенийстановятся все более популярными. [2] [5] В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартном справочнике Абрамовица и Стегуна символ Похгаммера ( x ) n используется для обозначения возрастающего факториала. [6] [7]
Когда х является положительным целым числом, ( х ) п дает число п -permutations соединяемой х элементного множества, или , что эквивалентно число инъективных функций из набора размером п к набору размера х . Кроме того, ( x ) n - это «количество способов разместить n флагов на x флагштоках» [8], где должны использоваться все флаги, и каждый флагшток может иметь не более одного флага. В этом контексте также иногда используются другие обозначения, такие как x P n и P ( x , n ).
Примеры
Первые несколько растущих факториалов выглядят следующим образом:
Вот несколько первых падающих факториалов:
Коэффициенты, которые появляются в разложениях, являются числами Стирлинга первого рода .
Характеристики
Растущие и падающие факториалы просто связаны друг с другом:
Возрастающие и падающие факториалы напрямую связаны с обычным факториалом :
Возрастающие и падающие факториалы могут использоваться для выражения биномиального коэффициента :
Таким образом, многие тождества биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и возрастающие факториалы.
Возрастающие и падающие факториалы хорошо определены в любом кольце с единицей , и поэтому x можно считать, например, комплексным числом , включая отрицательные целые числа, или многочленом с комплексными коэффициентами, или любой комплексной функцией .
Возрастающий факториал можно расширить до реальных значений n с помощью гамма-функции, при условии, что x и x + n являются действительными числами, которые не являются отрицательными целыми числами:
и падающий факториал:
Если D обозначает дифференцирование по x , то
Символ Поххаммера также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : гипергеометрическая функция определена для | z | <1 по степенному ряду
при условии, что c не равно 0, −1, −2, .... Обратите внимание, однако, что в литературе по гипергеометрическим функциям обычно используется обозначение для растущих факториалов.
Отношение к умбральному исчислению
Падающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора прямой разности Δ и которая формально аналогична теореме Тейлора :
В этой формуле и во многих других местах убывающий факториал ( x ) n в исчислении конечных разностей играет роль x n в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство к .
Аналогичный результат справедлив и для растущего факториала.
Изучение аналогий этого типа известно как исчисление теней . Общая теория, охватывающая такие отношения, включая падающие и возрастающие факториальные функции, дается теорией полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Растущие и падающие факториалы - это последовательности Шеффера биномиального типа, как показано соотношениями:
где коэффициенты такие же, как в разложении степени бинома ( тождество Чу – Вандермонда ).
Точно так же производящая функция многочленов Поххаммера тогда равна умбральной экспоненте,
поскольку
Коэффициенты связи и идентичности
Падающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом числами Лаха : [9]
Следующие формулы связывают целые степени переменной x через суммы с использованием чисел Стирлинга второго рода (обозначенных фигурными скобками {п
к} ): [9]
Поскольку падающие факториалы являются основой кольца многочленов , можно выразить произведение двух из них как линейную комбинацию падающих факториалов:
Коэффициенты называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как количество способов идентифицировать (или «склеить») k элементов, каждый из набора размера m и набора размера n .
Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, выраженная следующим образом:
Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспоненты и отрицательные возрастающие и спадающие силы с помощью следующих тождеств: [ необходима цитата ]
Наконец, формулы удвоения и умножения для падающих и возрастающих факториалов обеспечивают следующие соотношения:
Альтернативные обозначения
Альтернативное обозначение возрастающего факториала
а для падающего факториала
восходит к А. Капелли (1893 г.) и Л. Тоскано (1939 г.) соответственно. [2] Грэхем, Кнут и Паташник [10] предлагают произносить эти выражения как « x на m возрастает» и « x на m падает» соответственно.
Другие обозначения для падающего факториала включают P ( x , n ) , x P n , P x , n или x P n . (См. Перестановка и комбинация .)
Альтернативное обозначение возрастающего факториала x ( n ) - менее распространенное ( x )+
п . Когда ( х )+
писпользуется для обозначения возрастающего факториала, обозначение ( x )-
побычно используется для обычного падающего факториала, чтобы избежать путаницы. [3]
Обобщения
Символ Поххаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Поххаммера , которая используется в многомерном анализе . Существует также q- аналог , символ q -Почхаммера .
Обобщение падающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической последовательности целых чисел и умножаются значения, выглядит так: [ необходима цитата ]
где - h - декремент, а k - количество факторов. Соответствующее обобщение восходящего факториала:
Это обозначение объединяет возрастающие и падающие факториалы, которые равны [ x ] k / 1 и [ x ] k / −1 соответственно.
Для любой фиксированной арифметической функции и символьные параметры , связанные обобщенные факторные произведения вида
могут быть изучены с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях в расширениях а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением:
Эти коэффициенты удовлетворяют ряду свойств, аналогичных свойствам для чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с числами f-гармоник ,. [11]
Смотрите также
- Почхаммер k-символ
- Личность Вандермонда
Рекомендации
- ^ a b Стеффенсен, JF (17 марта 2006 г.), Интерполяция (2-е изд.), Dover Publications, стр. 8, ISBN 0-486-45009-0 (Перепечатка издания 1950 года издательством Chelsea Publishing Co.)
- ^ а б в Кнут. Искусство программирования . Vol. 1 (3-е изд.). п. 50.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - ^ а б Кнут, Дональд Э. (1992), «Два примечания к обозначениям», American Mathematical Monthly , 99 (5): 403–422, arXiv : math / 9205211 , doi : 10.2307 / 2325085 , JSTOR 2325085 , S2CID 119584305. Замечание по поводу символа Поххаммера находится на странице 414.
- ^ Олвер, Питер Дж. (1999). Классическая теория инвариантов . Издательство Кембриджского университета. п. 101. ISBN 0-521-55821-2. Руководство по ремонту 1694364 .
- ^ Харрис; Херст; Моссингхофф (2008). Комбинаторика и теория графов . Springer. Гл. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
- ^ Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . п. 256.
- ^ Полезный список формул для управления возрастающим факториалом в этой последней записи приведен в Слейтер, Люси Дж. (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Издательство Кембриджского университета. Приложение I. MR 0201688 .
- ^ Феллер, Уильям. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Vol. 1. гл. 2.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - ^ а б «Введение в факториалы и биномы» . Сайт функций Wolfram .
- ^ Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э. и Паташник, Орен (1988). Конкретная математика . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 47, 48. ISBN 0-201-14236-8.
- ^ Шмидт, Макси Д. (29 марта 2017 г.). «Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, расширяющих f-факториальные функции и f-гармонические числа». arXiv : 1611.04708v2 [ math.CO ].
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера» . MathWorld .
- Элементарные доказательства