Конечная разница

Конечные разности являются математическим выражением вида F  ( х + б ) - е  ( х + ) . Если конечную разность разделить на b - a , получится коэффициент разности . Аппроксимация производных конечными разностями играет центральную роль в методах конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений , особенно краевых задач .

Некоторые рекуррентные соотношения можно записать как разностные уравнения , заменив итерационные обозначения конечными разностями.

Сегодня термин «конечная разность» часто используется как синоним конечно-разностной аппроксимации производных, особенно в контексте численных методов . ^{[1] [2] [3]} Конечно-разностные аппроксимации - это конечно-разностные отношения в терминологии, использованной выше.

Конечные разности были введены Бруком Тейлором в 1715 г. и также изучались как абстрактные самостоятельные математические объекты в работах Джорджа Буля (1860 г.), Л. М. Милна-Томсона (1933 г.) и Кароли Джордана (1939 г.). Истоки конечных различий восходят к одному из алгоритмов Йоста Бюрджи ( около  1592 г. ) и к работе других, включая Исаака Ньютона . Формальное исчисление конечных разностей можно рассматривать как альтернативу исчислению бесконечно малых . ^[4]

Основные типы [ править ]

Три типа конечных разностей. Центральная разница относительно x дает наилучшее приближение производной функции в точке x.

Обычно рассматриваются три основных типа: прямые , обратные и центральные конечные разности. ^{[1] [2] [3]}

Прямая разница - это выражение формы

${\ displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x + h) -f (x).}$

В зависимости от области применения интервал h может быть переменным или постоянным. Если опущено, h принимается равным 1: Δ [  f  ] ( x ) = Δ ₁ [  f  ] ( x ) .

Назад , разница использует значения функции в точке х и х - ч , вместо значений при х + ч и  х :

${\ displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh).}$

Наконец, центральная разница дается выражением

${\ Displaystyle \ дельта _ {ч} [е] (х) = е \ влево (х + {\ tfrac {1} {2}} ч \ вправо) -f \ влево (х - {\ tfrac {1} {2 }} h \ right).}$

Связь с производными [ править ]

Конечная разность часто используется как приближение производной, как правило, при численном дифференцировании .

Производной от функции F в точке х определяется пределом .

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Если h имеет фиксированное (ненулевое) значение вместо того, чтобы приближаться к нулю, тогда правая часть приведенного выше уравнения будет записана

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$

Следовательно, прямая разница, деленная на h, приближает производную, когда h мало. Ошибка этого приближения может быть получена из теоремы Тейлора . Предполагая, что f дифференцируема, имеем

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$

Та же формула верна для обратной разницы:

${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$

Однако центральная (также называемая центрированной) разность дает более точное приближение. Если f дважды дифференцируема,

${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right).}$

Основная проблема ^{[ править ]} с центральным разностным методом, однако, является то , что осциллирующих функций может дать нулю производную. Если f  ( nh ) = 1 для нечетного n и f  ( nh ) = 2 для четного n , то f  '( nh ) = 0, если он вычисляется с помощью центральной разностной схемы. Это особенно неприятно, если область определения f дискретна. См. Также Симметричная производная

Авторы, для которых конечные разности означают аппроксимации конечных разностей, определяют прямые / обратные / центральные разности как частные, приведенные в этом разделе (вместо использования определений, данных в предыдущем разделе). ^{[1] [2] [3]}

Различия высшего порядка [ править ]

Аналогичным образом можно получить конечно-разностные аппроксимации производных высших порядков и дифференциальных операторов. Например, используя приведенную выше формулу центральной разности для f  ′ ( x +час/2) и f  ′ ( x -час/2) и применяя формулу центральной разности для производной f  ′ в точке x , мы получаем аппроксимацию центральной разности второй производной f :

Центральный

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

Аналогичным образом мы можем рекурсивно применять другие формулы вычисления разностей.

Нападающий второго порядка

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

Второй порядок назад

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

В более общем смысле, прямая, обратная и центральная разности n- го порядка задаются, соответственно, как

Вперед

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

или для h = 1 ,

${\displaystyle \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)}$

Назад

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

Центральная

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

Эти уравнения используют биномиальные коэффициенты после знака суммы, показанного как (^н
_я) . Каждая строкатреугольника Паскалядает коэффициент для каждого значенияi.

Обратите внимание, что для нечетного n центральная разница будет иметь h, умноженное на нецелые числа. Это часто является проблемой, потому что это означает изменение интервала дискретизации. Проблему можно решить, взяв среднее значение δ ⁿ [  f  ] ( x -час/2) и δ ⁿ [  f  ] ( x +час/2) .

Прямые различия, применяемые к последовательности , иногда называют биномиальным преобразованием последовательности, и они обладают рядом интересных комбинаторных свойств. Прямые различия можно оценить с помощью интеграла Норлунда – Райса . Интегральное представление для этих типов рядов интересно, потому что интеграл часто можно вычислить, используя асимптотическое разложение или методы перевала ; Напротив, ряд прямых разностей может быть чрезвычайно трудно оценить численно, потому что биномиальные коэффициенты быстро растут при больших n .

Связь этих разностей более высокого порядка с соответствующими производными очевидна,

${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\left(h^{2}\right).}$

Разности более высокого порядка также могут использоваться для построения лучших приближений. Как упоминалось выше, разность первого порядка приближает производную первого порядка с точностью до члена порядка h . Однако сочетание

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$

аппроксимирует f  ′ ( x ) до члена порядка h ² . Это можно доказать, расширив приведенное выше выражение в ряды Тейлора или используя исчисление конечных разностей, описанное ниже.

Если необходимо, конечная разница может быть сосредоточена вокруг любой точки путем смешивания прямых, обратных и центральных разностей.

Ядра произвольного размера [ править ]

Используя линейную алгебру, можно построить конечно-разностные аппроксимации, которые используют произвольное количество точек слева и (возможно, различное) количество точек справа от точки оценки для производной любого порядка. Это включает решение такой линейной системы, что разложение Тейлора суммы этих точек вокруг точки оценки наилучшим образом аппроксимирует разложение Тейлора желаемой производной. Такие формулы могут быть представлены графически на гексагональной или ромбовидной сетке. ^[5]

Это полезно для дифференцирования функции на сетке, где по мере приближения к краю сетки нужно брать все меньше и меньше точек с одной стороны.

Подробности изложены в этих примечаниях .

Конечные разности Коэффициенты Калькулятор строят разностные аппроксимации для нестандартных (и даже нецелый) трафаретов для произвольного трафарета и желаемый производный порядок.

Свойства [ править ]

• Для всех положительных k и n

${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$

• Правило Лейбница :

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).}$

В дифференциальных уравнениях [ править ]

Важное применение конечных разностей заключается в численном анализе , особенно в численных дифференциальных уравнениях , которые направлены на численное решение обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . Идея состоит в том, чтобы заменить производные, входящие в дифференциальное уравнение, конечными разностями, которые их аппроксимируют. Полученные методы называются методами конечных разностей .

Обычно метод конечных разностей применяется в вычислительной технике и технических дисциплинах, таких как теплотехника , механика жидкости и т. Д.

Серия Ньютона [ править ]

Ряд Ньютона состоит из условий разностного уравнения Ньютона вперед , названное в честь Исаака Ньютона ; по сути, это интерполяционная формула Ньютона , впервые опубликованная в его Principia Mathematica в 1687 г. ^[6], а именно дискретный аналог непрерывного разложения Тейлора,

которое выполняется для любой полиномиальной функции f и для многих (но не для всех) аналитических функций (это не выполняется, когда f имеет экспоненциальный тип . Это легко увидеть, поскольку функция синуса обращается в нуль при целых кратных ; соответствующий ряд Ньютона тождественно равен нулю , так как все конечные разности в этом случае равны нулю (но очевидно, что синусоидальная функция не равна нулю). Здесь выражение${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$

- биномиальный коэффициент , а

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

является « падающим факториалом » или «нижним факториалом», в то время как пустой продукт ( x ) ₀ определяется как 1. В этом конкретном случае существует предположение об единичных шагах для изменений значений x , h = 1 обобщения ниже.

Обратите внимание на формальное соответствие этого результата теореме Тейлора . Исторически это, как и тождество Чу – Вандермонде ,

${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$

(следующие из нее и соответствующие биномиальной теореме ), включены в наблюдения, которые созрели до системы теневого исчисления .

Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать формулу Ньютона на практике, рассмотрим первые несколько членов удвоения последовательности Фибоначчи f = 2, 2, 4, ... Можно найти многочлен, который воспроизводит эти значения, сначала вычислив таблицу разностей, а затем подставляя разности, которые соответствуют x ₀ (подчеркнуты), в формулу следующим образом:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Для случая неравномерных шагов в значениях x Ньютон вычисляет разделенные разности ,

${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$

серия товаров,

${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$

и полученный полином является скалярным произведением , ^[7]

${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)}$ .

При анализе с р -адических чисел , теорема Малера утверждает , что предположение о том , что е является полиномиальная функция может быть ослаблено вплоть до предположения , что е является просто непрерывно.

Теорема Карлсона предоставляет необходимые и достаточные условия единственности ряда Ньютона, если он существует. Однако рядов Ньютона, как правило, не существует.

Ряд Ньютона, вместе с серией Стирлинга и серией Селберга , является частным случаем общих разностных рядов , все из которых определены в терминах соответствующим образом масштабированных вперед различий.

В сжатом и несколько более общем виде и равноудаленных узлах формула выглядит так:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$

Исчисление конечных разностей [ править ]

Прямая разность может рассматриваться как оператор , называемый оператором разности , который отображает функцию f в Δ _h [  f  ] . ^{[8] [9]} Этот оператор составляет

${\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I,}$

где T _h - оператор сдвига с шагом h , определяемый формулой T _h [  f  ] ( x ) = f  ( x + h ) , а I - тождественный оператор .

Конечная разность высших порядков рекурсивно определяется как Δ^п
_ч≡ Δ _h (Δ^{п - 1}
_ч) . Другое эквивалентное определение Δ^п
_ч= [ T _h - I ] ⁿ .

Разностный оператор Δ _h является линейным оператором , поскольку он удовлетворяет условию Δ _h [ αf + βg ] ( x ) = α Δ _h [  f  ] ( x ) + β Δ _h [ g ] ( x ) .

Он также удовлетворяет специальному правилу Лейбница, указанному выше, Δ _h ( f  ( x ) g ( x )) = (Δ _h f  ( x )) g ( x + h ) + f  ( x ) (Δ _h g ( x )) . Аналогичные утверждения справедливы для обратных и центральных различий.

Формально применяя ряд Тейлора по h , получаем формулу

${\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,}$

где D обозначает оператор производной континуума, отображающий f в его производную f  ' . Расширение справедливо, когда обе стороны действуют на аналитические функции при достаточно малых h . Таким образом, T _h = e ^hD , и формально обращение экспоненты дает

${\displaystyle hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}-\cdots .}$

Эта формула верна в том смысле, что оба оператора дают один и тот же результат при применении к многочлену.

Даже для аналитических функций не гарантируется сходимость ряда справа; это может быть асимптотический ряд . Однако его можно использовать для получения более точных приближений для производной. Например, сохранение первых двух членов ряда дает приближение второго порядка к f  '( x ), упомянутое в конце раздела Различия более высокого порядка .

Аналогичные формулы для обратного и центрального разностных операторов имеют вид

${\displaystyle hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}\right).}$

Исчисление конечных разностей связано с темным исчислением комбинаторики. Это удивительно систематическое соответствие обусловлено тождеством коммутаторов теневых величин их континуальным аналогам ( пределы h → 0 ),

Таким образом, большое количество формальных дифференциальных соотношений стандартного исчисления, включающих функции f  ( x ), систематически отображаются в мрачные конечно-разностные аналоги, содержащие f  ( xT⁻¹
_ч) .

Например, темный аналог монома x ⁿ является обобщением указанного выше падающего факториала ( k-символ Похгаммера ),

${\displaystyle ~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},}$

так что

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$

отсюда вышеприведенная формула интерполяции Ньютона (путем сопоставления коэффициентов в разложении произвольной функции f  ( x ) такими символами) и так далее.

Например, теневой синус

${\displaystyle \sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$

Как и в непрерывном пределе, собственная функция Δ _h/час тоже бывает экспоненциальной,

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

и, следовательно, суммы Фурье континуальных функций легко преобразуются в теневые суммы Фурье точно , т. е. с использованием тех же коэффициентов Фурье, умножающих эти теневые базисные экспоненты. ^[10] В этом Теневой экспоненциальное , таким образом , сводится к экспоненциальной производящей функции из Похгаммера символов .

Так, например, дельта-функция Дирака отображается на ее теневой корреспондент, кардинальную синусоидальную функцию ,

${\displaystyle \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},}$

и так далее. ^[11] Разностные уравнения часто можно решить с помощью методов, очень похожих на методы решения дифференциальных уравнений .

Оператор, обратный оператору прямой разности, то есть затемненный интеграл, представляет собой оператор неопределенной суммы или антиразличия.

Правила исчисления конечно-разностных операторов [ править ]

По аналогии с правилами нахождения производной имеем:

• Постоянное правило : если c - константа , то

${\displaystyle \Delta c=0}$

• Линейность : еслии б являются константы ,

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g}$

Все вышеперечисленные правила одинаково хорошо применимы к любому разностному оператору, включая ∇ как Δ .

• Правило продукта :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}}$

• Правило частного :

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}}$

или же

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$

• Правила суммирования :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}}$

См. Ссылки. ^{[12] [13] [14] [15]}

Обобщения [ править ]

• Обобщен конечные разности обычно определяются как

${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$

где μ = ( μ ₀ ,…, μ _N ) - его вектор коэффициентов. Бесконечное различие является дальнейшим обобщением, где конечная сумма выше, заменена бесконечной серии . Другой способ обобщения - сделать коэффициенты μ _k зависимыми от точки x : μ _k = μ _k ( x ) , таким образом учитывая взвешенную конечную разность . Также можно сделать так, чтобы шаг h зависел от точки x : h = h ( x) . Такие обобщения полезны для построения различных модулей непрерывности .

• Обобщенное различие можно рассматривать как кольца многочленов R [ T _h ] . Это приводит к разностным алгебрам.
• Разностный оператор обобщается на обращение Мёбиуса на частично упорядоченном множестве .
• Как оператор свертки: с помощью формализма алгебр инцидентности , разностные операторы и другое обращение Мебиуса могут быть представлены сверткой с функцией на ч.у.м., называемой функцией Мёбиуса μ ; для разностного оператора μ - это последовательность (1, −1, 0, 0, 0,…) .

Многомерные конечные разности [ править ]

Конечные различия могут рассматриваться более чем в одной переменной. Они аналогичны частным производным по нескольким переменным.

Некоторые приближения частных производных:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, для приложений, в которых вычисление f является наиболее затратным этапом, и должны быть вычислены как первая, так и вторая производные, более эффективная формула для последнего случая:

${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$

поскольку единственные значения для вычисления, которые еще не нужны для предыдущих четырех уравнений, - это f  ( x + h , y + k ) и f  ( x - h , y - k ) .

См. Также [ править ]

Этот раздел « см. Также » может содержать чрезмерное количество предложений . Убедитесь, что указаны только самые релевантные ссылки, они не являются красными и что каких-либо ссылок еще нет в этой статье. (Ноябрь 2019 г.) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]

• Ричардсон, CH (1954): Введение в исчисление конечных разностей ( онлайн-копия Ван Ностранд (1954)
• Миккенс, RE (1991): разностные уравнения: теория и приложения (Чепмен и Холл / CRC) ISBN 978-0442001360 

Внешние ссылки [ править ]

• "Конечно-разностное исчисление" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблица полезных конечно-разностных формул, созданных с помощью Mathematica
• Д. Глейх (2005), Конечное исчисление: Учебное пособие по решению неприятных сумм
• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек