Симметричная производная

В математике , то симметричное производное представляет собой операцию , обобщающей обычную производную . Это определяется как:

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (xh)} {2h}}.}

^[1]^[2]

Выражение под пределом иногда называют симметричным разностным фактором . ^[3]^[4] Функция называется симметрично дифференцируемой в точке x, если ее симметричная производная существует в этой точке.

Если функция дифференцируема (в обычном смысле) в точке, то она также симметрично дифференцируема, но обратное неверно. Известный контрпример - функция абсолютного значения f ( x ) = | x |, который не дифференцируем при x = 0, но симметрично дифференцируем здесь с симметричной производной 0. Для дифференцируемых функций симметричное разностное отношение действительно обеспечивает лучшее численное приближение производной, чем обычное разностное отношение. ^[3]

Симметричной производной в данной точке равно среднее арифметическое из левых и правых производных в этой точке, если последние две оба существуют. ^[1]^[5]

Ни теорема Ролля, ни теорема о среднем значении не верны для симметричной производной; были доказаны некоторые похожие, но более слабые утверждения.

Примеры [ править ]

Функция абсолютного значения [ править ]

График функции абсолютного значения. Обратите внимание на резкий поворот при x = 0, приводящий к недифференцируемости кривой при x = 0. Следовательно, функция не имеет обычной производной при x = 0 . Однако симметричная производная существует для функции при x = 0.

Для абсолютного значения функции , используя обозначение для симметричной производной, мы имеем в том , что ${\ Displaystyle е (х) = \ влево \ верт х \ вправо \ верт}$ ${\ displaystyle f_ {s} (x)}$ ${\ displaystyle x = 0}$

{\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\vert h\right\vert -\left\vert -h\right\vert }{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\vert h\right\vert -\left\vert h\right\vert }{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0\\\end{aligned}}

Следовательно, симметричная производная функции абсолютного значения существует в точке и равна нулю, даже если ее обычная производная не существует в этой точке (из-за "резкого" поворота кривой в точке ). $x=0$ $x=0$

Обратите внимание, что в этом примере левая и правая производные в 0 существуют, но они не равны (одна равна -1, а другая - +1); их среднее значение равно 0, как и ожидалось.

Функция x ⁻²[ править ]

График y = 1 / x². Обратите внимание на разрыв при x = 0. Следовательно, функция не имеет обычной производной при x = 0. Однако симметричная производная существует для функции при x = 0.

Для функции при , $f(x)=1/x^{2}$ $x=0$

{\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0\\\end{aligned}}

Опять же, для этой функции симметричная производная существует в точке , а ее обычная производная не существует в точке из-за разрыва кривой там. Более того, ни левая, ни правая производная не конечны в 0; т.е. это существенный разрыв . $x=0$ $x=0$

Функция Дирихле [ править ]

Функция Дирихле , определяемая как

$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}$

имеет симметричную производную в каждом , но не является симметрично дифференцируемой ни в какой ; т.е. симметричная производная существует в рациональных числах, но не в иррациональных числах . $x\in \mathbb {Q}$ $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$

Теорема о квазисреднем значении [ править ]

Симметричная производная не подчиняется обычной теореме о среднем значении (Лагранжа). В качестве контрпримера симметричная производная от f ( x ) = | х | имеет изображение {−1, 0, 1}, но секущие для f могут иметь более широкий диапазон углов наклона; например, на интервале [-1, 2] теорема о среднем значении требует, чтобы существовала точка, в которой (симметричная) производная принимает значение . ^[6] ${\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}$

Теорема, отчасти аналогичная теореме Ролля, но для симметричной производной, была установлена в 1967 г. К. Оллом, который назвал ее теоремой Квазиролля. Если f непрерывна на отрезке [ a , b ] и симметрично дифференцируема на открытом отрезке ( a , b ) и f ( a ) = f ( b ) = 0, то существуют две точки x , y на отрезке ( a , б ) такие, что f _s ( x ) ≥ 0 и f_s ( y ) ≤ 0. Лемма, также установленная Аллом в качестве ступеньки к этой теореме, утверждает, что если f непрерывна на отрезке [ a , b ] и симметрично дифференцируема на открытом интервале ( a , b ) и дополнительно f ( b )> f ( a ), тогда существует точка z в ( a , b ), где симметричная производная неотрицательна, или в обозначениях, использованных выше, f _s ( z ) ≥ 0. Аналогично, если f ( b) < f ( a ), то существует точка z в ( a , b ), где f _s ( z ) ≤ 0. ^[6]

Теорема о квазисреднем значении для симметрично дифференцируемой функции утверждает, что если f непрерывна на отрезке [ a , b ] и симметрично дифференцируема на открытом интервале ( a , b ), то существуют x , y в ( a , b ) такие, что

f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leq f_{s}(y)

. ^[6]^[7]

В качестве приложения теорема о квазисреднем значении для f ( x ) = | х | на интервале , содержащем 0 предсказывает , что наклон любой секущей из F находится в диапазоне от -1 до 1.

Если симметричная производная от f обладает свойством Дарбу , то (форма) теоремы о регулярном среднем значении (Лагранжа) верна, т.е. существует z в ( a , b ) такое, что

f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

. ^[6]

Как следствие, если функция непрерывна и ее симметричная производная также непрерывна (таким образом, обладает свойством Дарбу), то функция дифференцируема в обычном смысле. ^[6]

Обобщения [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Апрель 2015 г. )

Это понятие распространяется на симметрические производные высшего порядка, а также на n -мерные евклидовы пространства .

Вторая симметричная производная [ править ]

Вторая симметричная производная определяется как

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.

^[2]^[8]

Если (обычная) вторая производная существует, то вторая симметричная производная существует и равна ей. ^[8] Вторая симметричная производная может существовать, однако, даже тогда, когда (обычной) второй производной нет. В качестве примера рассмотрим знаковую функцию, которая определяется как $\operatorname {sgn}(x)$

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому второй производной для не существует. Но вторая симметричная производная существует для : $x=0$ $x=0$

\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.

См. Также [ править ]

Центральная разностная схема
Точка плотности
Обобщенная производная
Обобщения производной
Симметрично непрерывная функция

Примечания [ править ]

^ a b Питер Р. Мерсер (2014). Больше исчисления одной переменной . Springer. п. 173. ISBN. 978-1-4939-1926-0.
^ а б Томсон, стр. 1
^ a b Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Springer. п. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.
^ Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Бэррон, как подготовиться к исчислению AP . Образовательная серия Бэррона. С. 53 . ISBN 978-0-7641-2382-5.
^ Томсон, стр. 6
^ a b c d e Саху, Прасанна; Ридель, Томас (1998). Теоремы о среднем значении и функциональные уравнения . World Scientific. С. 188–192. ISBN 978-981-02-3544-4.
^ Томсон, стр. 7
^ а б А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд . Издательство Кембриджского университета. С. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.

Ссылки [ править ]

Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства вещественных функций . Марсель Деккер. ISBN 0-8247-9230-0.
А.Б. Харазишвили (2005). Странные функции в реальном анализе, второе издание . CRC Press. п. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
Aull, CE: «Первая симметричная производная». Являюсь. Математика. Пн. 74, 708–711 (1967)

Внешние ссылки [ править ]

"Симметричная производная" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Аппроксимация производной симметричным разностным коэффициентом (проект Wolfram Demonstrations Project)

[Mercer2014-1] Питер Р. Мерсер (2014). Больше исчисления одной переменной . Springer. п. 173. ISBN. 978-1-4939-1926-0.

[tp1-2] а б Томсон, стр. 1

[LaxTerrell2013-3] Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Springer. п. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.

[HockettBock2005-4] Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Бэррон, как подготовиться к исчислению AP . Образовательная серия Бэррона. С. 53 . ISBN 978-0-7641-2382-5.

[5] Томсон, стр. 6

[SahooRiedel1998-6] Саху, Прасанна; Ридель, Томас (1998). Теоремы о среднем значении и функциональные уравнения . World Scientific. С. 188–192. ISBN 978-981-02-3544-4.

[7] Томсон, стр. 7

[Zygmund2002-8] а б А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд . Издательство Кембриджского университета. С. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.

[1]