Полудифференцируемость

В исчислении , ветвь математики , понятия односторонний дифференцируемости и пол-дифференцируемом в виде реальной значной функции F вещественного переменного слабее дифференцируемости . В частности, функция F называется правым дифференцируема в точке а , если, грубо говоря, производный может быть определена как аргумент функции х переходит к справа, и оставил дифференцируемые в если производная может быть определена какx переходит в a слева.

Одномерный случай [ править ]

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция там не является непрерывной . Однако во всех точках он имеет правую производную, постоянно равную 0.

{\ Displaystyle \ partial _ {+} е (а)}

В математике , А левая производная и правая производная являются производными (скорости изменения функции) , определенные для движения только в одном направлении (влево или вправо, то есть, чтобы снизить или более высокие значения) с помощью аргумента функции.

Определения [ править ]

Пусть f обозначает вещественную функцию, определенную на подмножестве I действительных чисел.

Если $\in$ $I$ является предельной точкой из $I$ $\cap$ $[$ $, \infty)$ и односторонний предел

{\ displaystyle \ partial _ {+} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \ to a ^ {+} \ atop \ scriptstyle x \ in I} {\ frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

пока существует действительное число, то F называется правым дифференцируемым в и пределе ∂ ₊F ( ) называются правые производным от F на .

Если $a \in I$ - предельная точка $I \cap$ $(-\infty, a]$ и односторонний предел

{\ displaystyle \ partial _ {-} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \ to a ^ {-} \ atop \ scriptstyle x \ in I} {\ frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

существует в виде действительного числа, то е называется влево дифференцируемое в и предел ∂ _-F ( ) называется левой производной от F по .

Если $a \in I$ - предельная точка $I \cap$ $[a, \infty)$ и $I \cap (-\infty, a]$ и если f дифференцируема слева и справа в a , то f называется полудифференцируемой в a .

Если левая и правая производные равны, то они имеют то же значение, что и обычная («двунаправленная») производная. Также можно определить симметричную производную , которая равна среднему арифметическому левой и правой производной (когда они обе существуют), поэтому симметричная производная может существовать, когда обычная производная не существует. ^[1]

Замечания и примеры [ править ]

Функция дифференцируема во внутренней точке a своей области определения тогда и только тогда, когда она полудифференцируема в точке a, а левая производная равна правой производной.
Примером полудифференцируемой функции, которая не является дифференцируемой, является абсолютное значение при a = 0.
Если функция полудифференцируема в точке a , это означает, что она непрерывна в точке a .
Индикаторная функция 1 _{[0, ∞)} правильно дифференцируема в каждом реальном а , но прерывистой при нулевом (обратите внимание , что эта функция индикатора не оставила дифференцируют в нуле).

Заявление [ править ]

Если действительная дифференцируемая функция f , определенная на интервале I действительной прямой, имеет всюду нулевую производную, то она постоянна, как показывает применение теоремы о среднем значении . Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости f . Версия для дифференцируемых справа функций приведена ниже, версия для дифференцируемых слева функций аналогична.

Теорема - Пусть F является вещественная, непрерывная функция , определенная на произвольном интервале I вещественной прямой. Если е правильно дифференцируема в каждой точке $а \in I$ , которая не является супремумом интервала, и если это правая производная всегда равна нулю, то е является постоянной .

Доказательство -

Для доказательства от противного предположим, что существует $a < b$ в I такое, что $f (a) \neq f (b)$ . потом

{\ displaystyle \ varepsilon: = {\ frac {| f (b) -f (a) |} {2 (ba)}}> 0.}

Определить гр как инфимум всех тех х в интервале $( , Ь]$ , для которых разности фактор из F превышает ε по абсолютной величине, т.е.

{\ displaystyle c = \ inf \ {\, x \ in (a, b] \ mid | f (x) -f (a) |> \ varepsilon (xa) \, \}.}

Из-за непрерывности f следует, что $c < b$ и $| f (c) - f (a) | = ε (c - a)$ . В точке c правая производная f равна нулю по предположению, следовательно, существует d в интервале $(c, b]$ с $| f (x) - f (c) | \leq ε (x - с)$ для всех х в $(гр, д]$ . Следовательно,силу неравенства треугольника ,

|f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)

для всех x из $[c, d)$ , что противоречит определению c .

Дифференциальные операторы, действующие влево или вправо [ править ]

Другое распространенное использование - описание производных, рассматриваемых как бинарные операторы, в инфиксной записи , в которой производные должны применяться либо к левому, либо к правому операнду . Это полезно, например, при определении обобщений скобки Пуассона . Для пары функций f и g левая и правая производные соответственно определяются как

f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g

f{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.

В брэкетной записи оператор производной может действовать на правый операнд как регулярная производная или на левый как отрицательная производная. ^[2]

Многомерный случай [ править ]

Это определение выше может быть обобщено на вещественные функции f, определенные на подмножествах R ^n, с использованием более слабой версии производной по направлению . Пусть a - внутренняя точка области определения f . Тогда F называется пол-дифференцируем в точке а , если для каждого направления U ∈ R ^п предел

\partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}

существует как действительное число.

Таким образом, полудифференцируемость слабее, чем дифференцируемость по Гато , для которой берется предел выше h → 0, не ограничивая h только положительными значениями.

Например, функция полудифференцируема в точке , но не дифференцируема по Гато. $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $(0,0)$

(Обратите внимание, что это обобщение не эквивалентно исходному определению для n = 1, поскольку понятие односторонних предельных точек заменено более сильным понятием внутренних точек.)

Свойства [ править ]

Любая выпуклая функция на выпуклом открытом подмножестве в R ⁿ полудифференцируема.
В то время как каждая полудифференцируемая функция одной переменной непрерывна; это больше не верно для нескольких переменных.

Обобщение [ править ]

Вместо действительных функций можно рассматривать функции, принимающие значения в R ⁿ или в банаховом пространстве .

См. Также [ править ]

Производная
Производная по направлению
Частная производная
Градиент
Производная Гато
Производная Фреше
Производная (обобщения)
Формулировка фазового пространства # Звездный продукт
Производные Дини

Ссылки [ править ]

^ Питер Р. Мерсер (2014). Больше исчисления одной переменной . Springer. п. 173. ISBN. 978-1-4939-1926-0.
^ Дирак, Поль (1982) [1930]. Принципы квантовой механики . США: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198520115.

Преда, В .; Chiescu, I. (1999). «О квалификации ограничений в задачах многокритериальной оптимизации: полудифференцируемый случай». J. Optim. Теория Appl . 100 (2): 417–433. DOI : 10,1023 / A: 1021794505701 .

[Mercer2014-1] Питер Р. Мерсер (2014). Больше исчисления одной переменной . Springer. п. 173. ISBN. 978-1-4939-1926-0.

[2] Дирак, Поль (1982) [1930]. Принципы квантовой механики . США: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198520115.

[1]