Инфимум и супремум

Множество действительных чисел (полые и заполненные кружки), подмножество из (закрашенных кружков), а нижняя грань Заметим , что для конечных, полностью упорядоченные множества инфимум и минимальное равны.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S.}$

Набор A действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ A (красный ромб и круги) и наименьшая такая верхняя граница, то есть супремум A (красный ромб).

В математике , то нижняя грань (сокращенно инф ; множественном инфимумы ) из подмножества в виде частично упорядоченного множества является наибольшим элементом в том , что меньше или равна ко всем элементам , если такой элемент существует. ^[1] Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB ) также широко используется. ^[1]${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S,}$

Супремумом (сокращенно SUP ; множественном супремумами ) подмножества частично упорядоченного множества является наименьшим элементом в том , что больше или равны ко всем элементам , если такой элемент существует. ^[1] Следовательно, супремум также называется наименьшей верхней границей (или LUB ). ^[1]${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S,}$

Инфимум в точном смысле двойственен понятию супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел - частные частные случаи, которые важны в анализе , и особенно в интеграции Лебега . Однако общие определения остаются в силе и в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия infimum и supremum аналогичны понятиям минимума и максимума , но более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь минимума или максимума . Например, набор положительных действительных чисел (не включая 0) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент можно просто разделить пополам, в результате чего останется меньшее число . Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое можно использовать в качестве нижней границы.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$

Формальное определение [ править ]

supremum = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества частично упорядоченного множества является элементом из таким образом, что${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle P}$

• ${\ displaystyle a \ leq x}$ для всех ${\ displaystyle x \ in S.}$

Нижняя грань для называется точной гранью (или точной нижней границей , или совпадением ), если${\ displaystyle a}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

• для всех нижних границ на в ( больше или равно любой другой нижней грани).${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P,}$ ${\ displaystyle y \ leq a}$${\ displaystyle a}$

Аналогичным образом , верхняя граница подмножества частично упорядоченное множество является элементом из таким образом, что${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle P}$

• ${\ displaystyle b \ geq x}$ для всех ${\ displaystyle x \ in S.}$

Верхняя граница из называется супремумом (или минимум верхней границы или присоединиться к ) из если${\ displaystyle b}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

• для всех верхних граней из в ( меньше , чем любой другой верхней границе).${\ displaystyle z}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P,}$ ${\ displaystyle z \ geq b}$${\ displaystyle b}$

Существование и уникальность [ править ]

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование инфимума подмножества из не может потерпеть неудачу , если уже не нижняя границы вообще, или , если множество нижних границ не содержит наибольший элемент. Однако, если точная нижняя грань или супремум существует, она уникальна.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S}$

Следовательно, особенно интересны частично упорядоченные множества, для которых известно существование определенных инфим. Например, решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, возникающих из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если супремум подмножества существует, он уникален. Если содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если содержит наименьший элемент, то этот элемент является нижним пределом; в противном случае нижняя грань не принадлежит (или не существует).${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Отношение к максимальным и минимальным элементам [ править ]

Инфимумом подмножество частично упорядоченного множества предполагая , что она существует, не обязательно принадлежат Если это произойдет, это минимальное или наименьший элемент из Аналогично, если верхняя грань принадлежит к нему является максимальное или наибольший элемент из${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S.}$

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора существует другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа существует другое отрицательное действительное число , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 - это наименьшая верхняя граница отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента.${\ displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$

Однако определение максимальных и минимальных элементов является более общим. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, в то время как инфима и супремат уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы [ править ]

Наконец, частично упорядоченное множество может иметь множество минимальных верхних границ без точной верхней границы. Минимальные верхние границы - это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше, чем все другие верхние границы, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только в том случае, если данный заказ не является полным . В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

В качестве примера, пусть будет набор всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченный набор, полученный путем взятия всех наборов вместе с набором целых чисел и набором положительных действительных чисел , упорядоченных по включению подмножества, как указано выше. Тогда очевидно, что оба и больше всех конечных наборов натуральных чисел. Тем не менее, ни меньше, ни обратное не верно: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Свойство с наименьшей верхней границей [ править ]

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой .

Если упорядоченный набор имеет свойство, заключающееся в том, что каждое непустое подмножество, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что оно имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, набор всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Точно так же набор целых чисел имеет свойство наименьшей верхней границы; если есть непустое подмножество и существует некоторое число такое , что каждый элемент из меньше или равно , то есть не менее верхняя граница для целого числа , что верхняя граница для и меньше или равна любой другой верхней границы для упорядоченная${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$set также имеет свойство наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего набора.

Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы , является набор рациональных чисел. Пусть будет набор всех рациональных чисел таких, что Then имеет верхнюю границу ( например, или ), но не имеет наименьшей верхней границы в : Если мы предполагаем, что это наименьшая верхняя граница, противоречие немедленно выводится, потому что между любыми двумя действительными и (включая и ) существует некоторый рациональный элемент , который сам должен быть наименьшей верхней границей (если ) или членом большего, чем (если ). Другой пример - гиперреальные${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}<2.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1000,}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p<{\sqrt {S}}}$; не существует точной верхней границы множества положительных бесконечно малых.

Имеется соответствующее свойство наибольшей нижней границы ; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора является наименьшей верхней границей набора.

Если в частично упорядоченном множестве каждое ограниченное подмножество имеет супремум, это относится и для любого множества в пространстве функций , содержащее все функции из , чтобы , где , если и только если для всех в Например, он применяется для вещественных функций, и, так как они можно рассматривать как частные случаи функций для вещественных чисел и последовательностей действительных чисел.${\displaystyle P}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle n}$

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремы.

Инфима и супрема действительных чисел [ править ]

В анализе , инфимумы и супремумы подмножеств этих действительных чисел особенно важны. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна 0 (что не является отрицательным действительным числом). ^[1] полнота действительных чисел влечет (и эквивалентно) , что любое ограниченное непустое подмножество действительных чисел имеет инфимум и супремум. Если не ограничена снизу, часто формально пишет Если есть пустые , одна запись${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Свойства [ править ]

Следующие формулы зависят от обозначения, которое удобно обобщает арифметические операции над множествами: Пусть множества и скаляр определяют${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ,}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle A\neq \varnothing }$тогда и только тогда и в противном случае ^[2]${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$
• ${\displaystyle rA=\{r\cdot a:a\in A\}}$; скалярное произведение набора - это просто скаляр, умноженный на каждый элемент в наборе.
• ${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$; называется суммой Минковского , это арифметическая сумма двух наборов - это сумма всех возможных пар чисел, по одной из каждого набора.
• ${\displaystyle A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}}$; арифметическое произведение двух наборов - это все произведения пар элементов, по одному из каждого набора.

В тех случаях, когда существуют нижняя и верхняя границы множеств и , выполняются следующие тождества:${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle p=\inf A}$тогда и только тогда, когда для каждого есть с и для каждого${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x<p+\epsilon ,}$${\displaystyle y\geq p}$${\displaystyle y\in A.}$
• ${\displaystyle p=\sup A}$тогда и только тогда, когда для каждого есть с и для каждого${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x>p-\epsilon ,}$${\displaystyle y\leq p}$${\displaystyle y\in A.}$
• Если и тогда и${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

• Если тогда и${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\inf A\right)}$${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\sup A\right).}$
• Если тогда и${\displaystyle r\leq 0}$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)}$${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\inf A\right).}$
• ${\displaystyle \inf(A+B)=\left(\inf A\right)+\left(\inf B\right)}$ а также ${\displaystyle \sup(A+B)=\left(\sup A\right)+\left(\sup B\right).}$
• Если и - непустые множества положительных действительных чисел, то то же самое и для супрем . ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \inf(A\cdot B)=\left(\inf A\right)\cdot \left(\inf B\right)}$${\displaystyle \sup(A\cdot B)=\left(\sup A\right)\cdot \left(\sup B\right)}$

Двойственность [ править ]

Если обозначить частично упорядоченным множеством с отношением противоположного порядка, т. Е.${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle x\leq y}$в том и только в том случае, если в${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle x\geq y}$${\displaystyle P,}$

тогда точная нижняя грань подмножества в равна верхней грани в и наоборот.${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (- S ), где${\displaystyle -S=\{-s~:~s\in S\}.}$

Примеры [ править ]

Инфима [ править ]

• Нижняя грань набора чисел {2, 3, 4} равна 2 . Число 1 - это нижняя грань, но не точная нижняя грань и, следовательно, не точная нижняя грань.
• В более общем смысле, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является точной нижней гранью для набора. В этом случае его еще называют минимумом набора.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Если x_{${\displaystyle n}$} - убывающая последовательность с пределом x , то inf x = x_{${\displaystyle n}$} .

Супрема [ править ]

• Супремум набора чисел {1, 2, 3} равен 3 . Число 4 - это верхняя граница, но не наименьшая верхняя граница и, следовательно, не верхняя грань.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}.}$

В последнем примере, супремумом множества рациональных чисел является иррациональным , что означает , что рациональные являются неполными .

Одно из основных свойств супремума:

${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t)\mid t\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t)\mid t\in A\}}$

для любых функционалов и${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

Супремум подмножества (ℕ, |), где | обозначает " делит ", является наименьшим общим кратным элементов${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Супремум подмножества из ( P , ⊆), где представляет собой набор мощности некоторого множества, является верхней гранью относительно ⊆ (подмножеств) подмножеств из является объединением элементов${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S.}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Infimum и supremum .

• Essential supremum и Essential infimum
• Наибольший элемент и наименьший элемент
• Максимальные и минимальные элементы
• Ограничить верхний и нижний предел (нижний предел)
• Верхняя и нижняя границы

Ссылки [ править ]

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уетс, Роджер Дж .-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Верхняя и нижняя границы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. "Infimum and supremum" . MathWorld .