Наибольший элемент и наименьший элемент

Диаграмма Хассе множества из делителей 60, частично упорядоченное отношением « делит ». Красное подмножество имеет два максимальных элемента, а именно. 3 и 4, и один минимальный элемент, а именно. 1, который также является его наименьшим элементом.${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle S = \ {1,2,3,4 \}}$

В математике , особенно в теории порядка , то наибольший элемент подмножества из в частично упорядоченного множества (посета) представляет собой элемент , который больше , чем любой другой элемент . Термин наименьший элемент определяется двояко , то есть это элемент, который меньше любого другого элемента${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Определения [ править ]

Пусть быть предупорядоченное множество , и пусть Элемент называется наибольший элемент , если и если оно удовлетворяет ${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ substeq P.}$${\ displaystyle g \ in P}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle g \ in S}$

${\ displaystyle s \ leq g}$ для всех ${\ displaystyle s \ in S.}$

Если имеет наибольший элемент и , если это частично упорядоченное множество , то это обязательно уникален и поэтому его называют на наибольший элемент . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle S}$

При использовании вместо того , в приведенном выше определении, один определяет наименьший элемент Явное, элемент называется наименьший элемент , если и , если она также удовлетворяет ${\ Displaystyle \, \ geq \,}$${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle l \ in P}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle l \ in S}$

${\ displaystyle l \ leq s}$ для всех ${\ displaystyle s \ in S.}$

Если имеет наибольший элемент (соотв. Наименьший элемент) , то этот элемент также называется в верхней (соответственно. Снизу ) из${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle (P, \ leq).}$

Отношение к верхней / нижней границам [ править ]

Наибольшие элементы тесно связаны с верхними границами .

Пусть быть предупорядоченное множество , и пусть Ап верхней границы из в элемент таким образом, что и для всех Важно отметить, что верхняя граница в это не требуется , чтобы быть элементом${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ substeq P.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u \ in P}$${\ displaystyle s \ leq u}$${\ displaystyle s \ in S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S.}$

Если then является наибольшим элементом тогда и только тогда, когда является верхней границей in и, в частности, любой наибольший элемент также является верхней границей (in ), но верхняя граница in является наибольшим элементом тогда и только тогда, когда он принадлежит к в частном случае , когда определение « является верхней границей в » принимает следующий вид : является элементом , таким образом, что и для всех , которое полностью идентично определения наибольшего элемента заданного ранее. Таков величайший элемент${\ displaystyle g \ in P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g\in S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle P=S,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u\in S}$${\displaystyle s\leq u}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$тогда и только тогда, когда это верхняя граница в . ${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Если - это верхняя граница in, которая не является верхней границей in (что может произойти тогда и только тогда, когда ), то не может быть наибольшим элементом (однако возможно, что какой-то другой элемент является наибольшим элементом ). В частности, возможно, чтобы одновременно не было наибольшего элемента и существовала некоторая верхняя граница in . ${\displaystyle u}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle u\not \in S}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

Даже если набор имеет некоторые верхние границы, он не обязательно должен иметь наибольший элемент, как показано на примере отрицательных действительных чисел . Этот пример также демонстрирует, что существование наименьшей верхней границы (в данном случае числа 0) также не подразумевает существования наибольшего элемента.

Контраст максимальным элементам и локальным / абсолютным максимумам [ править ]

Наибольший элемент подмножества предварительно упорядоченного набора не следует путать с максимальным элементом набора, то есть элементами, которые строго не меньше любого другого элемента в наборе. В наборе может быть несколько максимальных элементов, но не самый большой. Подобно верхним границам и максимальным элементам, самые большие элементы могут не существовать.

Пусть быть частично упорядоченное множество , и пусть Элемент называется быть максимальный элемент из , если всякий раз , когда удовлетворяет , то обязательно Если является частично упорядоченное множество , то есть максимальный элемент , если и только если это не существует какой - либо такое , что и${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle S\subseteq P.}$${\displaystyle m\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle m\leq s,}$${\displaystyle s\leq m.}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle m\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle m\leq s}$${\displaystyle s\neq m.}$

В полностью упорядоченном множестве максимальный элемент и самый большой элемент совпадают; и его еще называют максимальным ; в случае значений функции это также называется абсолютным максимумом , чтобы избежать путаницы с локальным максимумом . ^[1] Двойные условия являются минимальным и абсолютным минимумом . Вместе они называются абсолютными экстремумами .

Аналогичные выводы справедливы для наименьшего количества элементов.

Свойства [ править ]

Пусть будет частично упорядоченный набор и пусть${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle S\subseteq P.}$

• В наборе может быть не более одного самого большого элемента. ^{[примечание 1]} Таким образом, если набор имеет наибольший элемент, он обязательно уникален.${\displaystyle S}$
• Если он существует, то наибольший элемент приведен верхней границы из , который также содержится в${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• Если является наибольшим элементом, то также является максимальным элементом ^{[примечание 2]} и, более того, любой другой максимальный элемент обязательно будет равен ^{[примечание 3]}${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g.}$
  • Таким образом, если набор имеет несколько максимальных элементов, то он не может иметь самого большого элемента.${\displaystyle S}$
• Если удовлетворяет условию максимальности , подмножество из имеет наибольший элемент , если, и только если у него есть один максимальный элемент. ^{[примечание 4]}${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$
• Когда ограничение до является полным порядком ( на самом верхнем рисунке показан пример), тогда понятия максимального элемента и максимального элемента совпадают. ^{[примечание 5]}${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$
  • Тем не менее, это не является обязательным условием, поскольку при наличии наибольшего элемента понятия также совпадают, как указано выше.${\displaystyle S}$
• Если понятия максимального элемента и наибольшего элемента совпадают на каждом из двух элементов подмножества из , то есть общий порядок на ^{[примечание 6]}${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle P.}$

Достаточные условия [ править ]

• У конечной цепи всегда есть наибольший и наименьший элемент.

Верх и низ [ править ]

Наименьший и наибольший элементы всего частично упорядоченного множества играют особую роль и также называются нижним (⊥) и верхним () или нулем (0) и единицей (1) соответственно. Если оба существуют, то именуется ограниченным множеством . Обозначения 0 и 1 используются предпочтительно, когда poset представляет собой решетку с дополнениями , и когда нет вероятности путаницы, то есть когда речь не идет о частичных порядках чисел, которые уже содержат элементы 0 и 1, отличные от нижнего и верхнего. Существование наименьшего и наибольшего элементов - это особое свойство полноты частичного порядка.

Дополнительную вводную информацию можно найти в статье о теории порядка .

Примеры [ править ]

• Подмножество целых чисел не имеет верхней границы в наборе из действительных чисел .${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пусть отношение на задана Множество имеет верхние пределы и , но не верхняя не связывало и не наибольший элемент (см рисунок).${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d,}$
• В рациональных числах набор чисел с квадратом меньше 2 имеет верхнюю границу, но не имеет наибольшего элемента и наименьшей верхней границы.
• В наборе чисел меньше 1 есть наименьшая верхняя граница, а именно. 1, но не самый большой элемент.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• В наборе чисел, меньших или равных 1, есть наибольший элемент, а именно. 1, что также является его точной верхней границей.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• В с того продукта , множество пар с не имеет верхней границы.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 0<x<1}$
• В соответствии с лексикографическим порядком этот набор имеет верхнюю границу , например, не имеет наименьшей верхней границы.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (1,0).}$

См. Также [ править ]

• Essential supremum и essential infimum
• Начальные и конечные объекты
• Максимальные и минимальные элементы
• Ограничить верхний и нижний предел (нижний предел)
• Верхняя и нижняя границы

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дэйви, BA; Пристли, HA (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-78451-1.