 | Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике, в частности в теории порядка , верхняя граница или мажоранте [1] из подмножества S некоторого предупорядоченное множество ( K , ≤) является элементом K , который больше , чем или равен каждому элементу S . [2] [3] Двойственно , А нижняя граница или миноранта из S определяется как элемент K , который меньше или равен каждому элементу S . Множество с верхней (соответственно нижней) границей называетсяограничено сверху или мажорировано [1] (соответственно ограничено снизу или минорировано ) этой границей. Термины, ограниченные сверху ( ограниченные снизу ), также используются в математической литературе для множеств, имеющих верхнюю (соответственно нижнюю) границы. [4]
Примеры [ править ]
Например, 5 является нижней границей для набора S = {5, 8, 42, 34, 13934} (как подмножество целых или действительных чисел и т. Д.), Так же как и 4 . С другой стороны, 6 не является нижней границей для S , так как он не меньше , чем каждый элемент в S .
Набор S = {42} имеет 42 как верхнюю, так и нижнюю границу; все остальные номера являются либо верхней границей или нижней границей для этого S .
Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от соглашения). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или ограничено сверху, но не то и другое вместе. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено снизу, а может и не быть ограничено сверху.
Каждое конечное подмножество непустого полностью упорядоченного множества имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.
Границы функций [ править ]
Определения можно обобщить на функции и даже на наборы функций.
Для функции F с доменом D и предупорядоченным множеством ( K , ≤) , как область значений , элемент у из K является верхней грань F , если у ≥ F ( х ) для каждого х в D . Верхняя граница называется точной, если равенство выполняется хотя бы для одного значения x . Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, следовательно, не может быть уменьшено без нарушения неравенства. [5]
Аналогичным образом , функция г , определенная на области D и имеющий ту же область значений ( K , ≤) является верхней гранью F , если г ( х ) ≥ F ( х ) для каждого х в D . Функция g далее называется верхней границей набора функций, если она является верхней границей каждой функции в этом наборе.
Понятие нижней границы для (наборов) функций определяется аналогично, заменой ≥ на ≤.
Узкие границы [ править ]
Верхняя граница называется точной верхней границей , точной верхней границей или супремумом , если не меньшее значение не является верхней границей. Точно так же нижняя граница называется точной нижней границей , точной нижней границей или точной нижней гранью , если ни одно большее значение не является нижней границей.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ а б Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. п. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- ^ Мак-Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гарретт (1991). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 145 . ISBN 0-8218-1646-2.
- ^ «Определение верхней границы (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 3 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя граница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 .
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Sharp" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 3 декабря 2019 .
