Инфимум и супремум

Множество действительных чисел (полые и заполненные кружки), подмножество из (закрашенных кружков), а нижняя грань Заметим , что для конечных, полностью упорядоченные множества инфимум и минимальное равны.${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S.}$

Набор A действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ A (красный ромб и круги) и наименьшая такая верхняя граница, то есть верхняя грань A (красный ромб).

В математике , то нижняя грань (сокращенно инф ; множественном инфимумы ) из подмножества в виде частично упорядоченного множества является наибольшим элементом в том , что меньше или равна ко всем элементам , если такой элемент существует. ^[1] Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB ) также широко используется. ^[1]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S,}$

Супремумом (сокращенно SUP ; множественном супремумами ) подмножества частично упорядоченного множества является наименьшим элементом в том , что больше или равны ко всем элементам , если такой элемент существует. ^[1] Следовательно, супремум также называется наименьшей верхней границей (или LUB ). ^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S,}$

Инфимум в точном смысле двойственен понятию супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел - частные частные случаи, которые важны в анализе , и особенно в интеграции Лебега . Однако общие определения остаются в силе и в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия инфимума и супремума аналогичны минимальному и максимальному , но они более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь минимума или максимума . Например, набор положительных действительных чисел (не включая 0) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент можно просто разделить пополам, в результате чего останется меньшее число . Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше, чем все положительные действительные числа, и больше, чем любое другое действительное число, которое может использоваться в качестве нижней границы.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Формальное определение [ править ]

supremum = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества частично упорядоченного множества является элементом из таким образом, что${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle a\leq x}$ для всех ${\displaystyle x\in S.}$

Нижняя грань для называется точной гранью (или точной нижней границей , или совпадением ), если${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• для всех нижних границ на в ( больше или равно любой другой нижней грани).${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$${\displaystyle a}$

Аналогичным образом , верхняя граница подмножества частично упорядоченное множество является элементом из таким образом, что${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle b}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle b\geq x}$ для всех ${\displaystyle x\in S.}$

Верхняя граница из называется супремумом (или минимум верхней границы или присоединиться к ) из если${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• для всех верхних граней из в ( меньше , чем любой другой верхней границе).${\displaystyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$${\displaystyle b}$

Существование и уникальность [ править ]

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование инфимума подмножества из не может потерпеть неудачу , если уже не нижняя границы вообще, или , если множество нижних границ не содержит наибольший элемент. Однако, если точная нижняя грань или супремум существует, она уникальна.${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

Следовательно, частично упорядоченные множества, для которых, как известно, существуют определенные инфимы, становятся особенно интересными. Например, решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, возникающих из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если супремум подмножества существует, он уникален. Если содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если содержит наименьший элемент, то этот элемент является нижним пределом; в противном случае нижняя грань не принадлежит (или не существует).${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Отношение к максимальным и минимальным элементам [ править ]

Инфимумом подмножество частично упорядоченного множества предполагая , что она существует, не обязательно принадлежат Если это произойдет, это минимальное или наименьший элемент из Аналогично, если верхняя грань принадлежит к нему является максимальное или наибольший элемент из${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора существует другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа существует другое отрицательное действительное число , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 - это наименьшая верхняя граница отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента.${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$

Однако определение максимальных и минимальных элементов более общее. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, а нижняя и верхняя граница уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы [ править ]

Наконец, частично упорядоченное множество может иметь множество минимальных верхних границ без точной верхней границы. Минимальные верхние границы - это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше, чем все другие верхние границы, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только в том случае, если данный заказ не является полным . В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

В качестве примера, позвольте быть набором всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное путем взятия всех наборов вместе с набором целых чисел и набором положительных действительных чисел , упорядоченных по включению подмножества, как указано выше. Тогда очевидно, что оба и больше всех конечных наборов натуральных чисел. Тем не менее, ни одно из них не меньше и не обратное: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Свойство с наименьшей верхней границей [ править ]

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой .

Если упорядоченный набор имеет свойство, заключающееся в том, что каждое непустое подмножество, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что оно имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, набор всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Точно так же набор целых чисел имеет свойство наименьшей верхней границы; если есть непустое подмножество и существует некоторое число такое , что каждый элемент из меньше или равно , то есть не менее верхняя граница для целого числа , что верхняя граница для и меньше или равна любой другой верхней границы для упорядоченная${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$ set also has the least-upper-bound property, and the empty subset has also a least upper bound: the minimum of the whole set.

An example of a set that lacks the least-upper-bound property is ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, the set of rational numbers. Let ${\displaystyle S}$ be the set of all rational numbers ${\displaystyle q}$ such that ${\displaystyle q^{2}<2.}$ Then ${\displaystyle S}$ has an upper bound (${\displaystyle 1000,}$ for example, or ${\displaystyle 6}$) but no least upper bound in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: If we suppose ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$ is the least upper bound, a contradiction is immediately deduced because between any two reals ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ (including 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} and ${\displaystyle p}$) there exists some rational ${\displaystyle p}$, which itself would have to be the least upper bound (if ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$) or a member of ${\displaystyle S}$ greater than ${\displaystyle p}$ (if ${\displaystyle p<{\sqrt {S}}}$). Another example is the hyperreals; there is no least upper bound of the set of positive infinitesimals.

There is a corresponding greatest-lower-bound property; an ordered set possesses the greatest-lower-bound property if and only if it also possesses the least-upper-bound property; the least-upper-bound of the set of lower bounds of a set is the greatest-lower-bound, and the greatest-lower-bound of the set of upper bounds of a set is the least-upper-bound of the set.

If in a partially ordered set ${\displaystyle P}$ every bounded subset has a supremum, this applies also, for any set ${\displaystyle X,}$ in the function space containing all functions from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle P,}$ where ${\displaystyle f\leq g}$ if and only if ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X.}$ For example, it applies for real functions, and, since these can be considered special cases of functions, for real ${\displaystyle n}$-tuples and sequences of real numbers.

The least-upper-bound property is an indicator of the suprema.

Infima and suprema of real numbers[edit]

In analysis, infima and suprema of subsets ${\displaystyle S}$ of the real numbers are particularly important. For instance, the negative real numbers do not have a greatest element, and their supremum is 0 (which is not a negative real number).^[1]The completeness of the real numbers implies (and is equivalent to) that any bounded nonempty subset ${\displaystyle S}$ of the real numbers has an infimum and a supremum. If ${\displaystyle S}$ is not bounded below, one often formally writes ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ If ${\displaystyle S}$ is empty, one writes ${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Properties[edit]

The following formulas depend on a notation that conveniently generalizes arithmetic operations on sets: Let the sets ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ,}$ and scalar ${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$ Define

• ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ if and only if ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ and otherwise ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$^[2]
• ${\displaystyle rA=\{r\cdot a:a\in A\}}$; the scalar product of a set is just the scalar multiplied by every element in the set.
• ${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$; called the Minkowski sum, it is the arithmetic sum of two sets is the sum of all possible pairs of numbers, one from each set.
• ${\displaystyle A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}}$; the arithmetic product of two sets is all products of pairs of elements, one from each set.

In those cases where the infima and suprema of the sets ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ exist, the following identities hold:

• ${\displaystyle p=\inf A}$ if and only if for every ${\displaystyle \epsilon >0}$ there is an ${\displaystyle x\in A}$ with ${\displaystyle x<p+\epsilon ,}$ and ${\displaystyle y\geq p}$ for every ${\displaystyle y\in A.}$
• ${\displaystyle p=\sup A}$ if and only if for every ${\displaystyle \epsilon >0}$ there is an ${\displaystyle x\in A}$ with ${\displaystyle x>p-\epsilon ,}$ and ${\displaystyle y\leq p}$ for every ${\displaystyle y\in A.}$
• If ${\displaystyle A\subseteq B}$ and then ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ and ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

• If ${\displaystyle r>0}$ then ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\inf A\right)}$ and ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\sup A\right).}$
• If ${\displaystyle r\leq 0}$ then ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)}$ and ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\inf A\right).}$
• ${\displaystyle \inf(A+B)=\left(\inf A\right)+\left(\inf B\right)}$ and ${\displaystyle \sup(A+B)=\left(\sup A\right)+\left(\sup B\right).}$
• If ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are nonempty sets of positive real numbers then ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=\left(\inf A\right)\cdot \left(\inf B\right)}$ and similarly for suprema ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=\left(\sup A\right)\cdot \left(\sup B\right)}$.^[3]

Duality[edit]

If one denotes by ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ the partially-ordered set ${\displaystyle P}$ with the opposite order relation, i.e.

• ${\displaystyle x\leq y}$ in ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ if and only if ${\displaystyle x\geq y}$ in ${\displaystyle P,}$

then infimum of a subset ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle P}$ equals the supremum of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ and vice versa.

For subsets of the real numbers, another kind of duality holds: inf S = −sup(−S), where ${\displaystyle -S=\{-s~:~s\in S\}.}$

Examples[edit]

Infima[edit]

• The infimum of the set of numbers {2, 3, 4} is 2. The number 1 is a lower bound, but not the greatest lower bound, and hence not the infimum.
• More generally, if a set has a smallest element, then the smallest element is the infimum for the set. In this case, it is also called the minimum of the set.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• If x_{${\displaystyle n}$} is a decreasing sequence with limit x, then inf x_{${\displaystyle n}$} = x.

Suprema[edit]

• The supremum of the set of numbers {1, 2, 3} is 3. The number 4 is an upper bound, but it is not the least upper bound, and hence is not the supremum.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}.}$

In the last example, the supremum of a set of rationals is irrational, which means that the rationals are incomplete.

One basic property of the supremum is

${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t)\mid t\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t)\mid t\in A\}}$

for any functionals ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g.}$

The supremum of a subset ${\displaystyle S}$ of (ℕ,|) where | denotes "divides", is the lowest common multiple of the elements of ${\displaystyle S.}$

The supremum of a subset ${\displaystyle S}$ of (P,⊆), where ${\displaystyle P}$ is the power set of some set, is the supremum with respect to ⊆ (subset) of a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle P}$ is the union of the elements of ${\displaystyle S.}$

See also[edit]

Wikimedia Commons has media related to Infimum and supremum.

• Essential supremum and essential infimum
• Greatest element and least element
• Maximal and minimal elements
• Limit superior and limit inferior (infimum limit)
• Upper and lower bounds

References[edit]

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

External links[edit]

• "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "Infimum and supremum". MathWorld.