Положительные действительные числа

В математике , множество положительных действительных чисел , является подмножеством тех действительных чисел , которые больше нуля. В неотрицательных действительных числах , также включают в нуль. Хотя символы и неоднозначно используются для любого из них, обозначения или для и или для также широко использовались, они соответствуют практике в алгебре обозначения исключения нулевого элемента звездочкой и должны быть понятны большинству. практикующие математики. ^{[1] [2]}${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> 0 \ right \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {*} ^ {+}}$${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> 0 \ right \}}$

В комплексной плоскости , идентифицируется с положительной вещественной оси , и, как правило , изображается в виде горизонтального луча . Этот луч используется как ссылка в полярной форме комплексного числа . Действительная положительная ось соответствует комплексным числам с аргументом .${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ Displaystyle г = | г | \ mathrm {е} ^ {\ mathrm {я} \ varphi}}$ ${\ displaystyle \ varphi = 0}$

Свойства [ править ]

Набор будет закрыт под сложение, умножение и деление. Он наследует топологию из реальной линии и, таким образом, имеет структуру мультипликативной топологической группы или аддитивной топологической полугруппы .${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$

Для заданного положительного вещественного числа , то последовательность его целых степеней имеет три разные судьбы: Когда , то предел равен нулю; когда последовательность постоянна; и когда , последовательность неограниченна .${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ {х ^ {п} \}}$${\ Displaystyle х \ в (0,1)}$${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle x> 1}$

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$а мультипликативная обратная функция меняет местами интервалы. Функции пола , и избыток , были использованы для описания элемента в виде непрерывной дроби , которая представляет собой последовательность целых чисел , полученных от функции пол после того, как избыток был возвратно - поступательное движение. Для рационального , последовательность заканчивается точным дробным выражением , а для квадратичного иррационального , последовательность становится периодической непрерывной дробью .${\displaystyle \operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle [n_{0};n_{1},n_{2},\ldots ]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Упорядоченный набор ( ,>) образует общий порядок, но не является хорошо упорядоченным набором . Вдвойне бесконечный геометрическая прогрессия 10 ^п , где п представляет собой целое число , целиком лежит в ( ,>) и служит для раздела его для доступа. образует шкалу отношения , высший уровень измерения . Элементы могут быть записаны в научных обозначениях как a × 10 ⁿ , где 1 ≤ a <10, а b - целое число в дважды бесконечной прогрессии, и называется декадой.${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$. При изучении физических величин порядок десятилетий обеспечивает положительные и отрицательные порядковые величины, относящиеся к порядковой шкале, неявной в шкале отношений.

При изучении классических групп , для каждого , то определитель дает карту из матриц над полем действительных чисел до действительных чисел: Ограничиваясь обратимыми матрицы дает карту из общей линейной группы к ненулевым действительным числам: . Ограничение матриц с положительным определителем дает карту ; интерпретируя образ как фактор-группу по нормальной подгруппе , отношение SL ( n , ℝ)  ◁ GL ⁺ ( n , ℝ) выражает положительные действительные числа как группу Ли .${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbf {R} )\to \mathbf {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbf {R} )\to \mathbf {R} _{>0}}$

Логарифмическая мера [ править ]

Если - интервал , то определяет меру на определенных подмножествах , что соответствует откату обычной меры Лебега на действительных числах под логарифмом: это длина в логарифмической шкале . Фактически, это инвариантная мера относительно умножения на a , так же как мера Лебега инвариантна относительно сложения. В контексте топологических групп эта мера является примером меры Хаара .${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0}}$

Полезность этой меры показана в ее использовании для описания звездных величин и уровней шума в децибелах , среди других приложений логарифмической шкалы . В международных стандартах ISO 80000-3 безразмерные величины называются уровнями .

Приложения [ править ]

Неотрицательные вещественные числа служат в качестве диапазона для метрик , норм и мер в области математики.

Включая 0, набор имеет структуру полукольца (0 является аддитивным тождеством ), известную как полукольцо вероятности ; взятие логарифмов (с выбором основания, задающим логарифмическую единицу ) дает изоморфизм с логарифмическим полукольцом (с 0, соответствующим −∞), а его единицы (конечные числа, исключая −∞) соответствуют положительным действительным числам.${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Квадрат [ править ]

Пусть первый квадрант декартовой плоскости. Сам квадрант разделен на четыре части линией и стандартной гиперболой.${\displaystyle Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},}$${\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}}$${\displaystyle H=\{(x,y):xy=1\}.}$

L ∪ Н образует трезубец в то время как L ∩ H = (1,1) является центральной точкой. Это элемент идентичности двух пересекающихся здесь однопараметрических групп :

${\displaystyle \{\{(e^{a},\ e^{a}):a\in R\},\times \}}$на L и на H .${\displaystyle \{\{(e^{a},\ e^{-a}):a\in R\},\times \}}$

Поскольку является группой , Q является прямым произведением групп . Однопараметрические подгруппы L и H в Q профилируют активность в продукте, а L × H - это разрешение типов групповых действий.${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$

Сферы бизнеса и науки изобилуют соотношениями, и любое изменение соотношений привлекает внимание. Исследование относится к гиперболическим координатам в Q . Движение против оси L указывает на изменение среднего геометрического √ xy , в то время как изменение вдоль H указывает на новый гиперболический угол .

См. Также [ править ]

• Полуполе
• Знак (математика)

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Кист, Иосиф; Леетсма, Сэнфорд (1970). «Аддитивные полугруппы положительных действительных чисел». Mathematische Annalen . 188 (3): 214–218. DOI : 10.1007 / BF01350237 .