Замыкание (математика)

В математике, набор будет закрыт под операцией , если выполнение этой операции на членах набора всегда производит член этого набора. Например, положительные целые числа закрываются при сложении, но не при вычитании: 1-2 не является положительным целым числом, хотя и 1, и 2 являются положительными целыми числами. Другой пример - множество, содержащее только ноль, которое закрывается при сложении, вычитании и умножении (поскольку0 + 0 = 0, 0 - 0 = 0, и 0 × 0 = 0).

Точно так же набор называется закрытым для набора операций, если он закрывается для каждой операции в отдельности.

Основные свойства [ править ]

Говорят, что набор, который закрывается при операции или коллекции операций, удовлетворяет свойству закрытия . Часто свойство замыкания вводится как аксиома , которую затем обычно называют аксиомой замыкания . Современные теоретико-множественные определения обычно определяют операции как карты между множествами, поэтому добавление замыкания к структуре как аксиомы излишне; однако на практике операции часто изначально определяются на надмножестве рассматриваемого набора, и требуется доказательство замыкания, чтобы установить, что операция, применяемая к парам из этого набора, производит только элементы этого набора. Например, набор четных целых чисел закрывается при сложении, а набор нечетных целых чисел - нет.

Когда множество S не закрывается при некоторых операциях, обычно можно найти наименьшее замкнутое множество, содержащее S. Это наименьшее замкнутое множество называется замыкание из S (относительно этих операций). ^[1] Например, замыкание при вычитании набора натуральных чисел, рассматриваемого как подмножество действительных чисел, представляет собой набор целых чисел . Важный пример - топологическое замыкание . Понятие замыкания обобщается связью Галуа , а затем монадами .

Множество S должно быть подмножеством замкнутого множества, чтобы можно было определить оператор замыкания. В предыдущем примере важно, чтобы действительные числа были закрыты при вычитании; в области натуральных чисел вычитание не всегда определяется.

Не следует путать два использования слова «закрытие». Первое использование относится к свойству быть закрытым, а второе относится к наименьшему закрытому набору, содержащему тот, который не может быть закрыт. Короче говоря, замыкание множества удовлетворяет свойству замыкания.

Закрытые наборы [ править ]

Набор закрывается при выполнении операции, если операция возвращает член набора при оценке на членах набора. ^[2] Иногда требование, чтобы операция была оценена в наборе, явно формулируется, и в этом случае это называется аксиомой замыкания . Например, можно определить группу как набор с оператором двоичного произведения, подчиняющимся нескольким аксиомам, включая аксиому о том, что произведение любых двух элементов группы снова является элементом. Однако современное определение операции делает эту аксиому излишней; п - позиционная операция на S просто подмножество S ^{п +1}. По самому своему определению оператор в наборе не может иметь значений вне набора.

Тем не менее свойство замыкания оператора на множестве по-прежнему имеет некоторую полезность. Замыкание набора не обязательно означает замыкание всех подмножеств. Таким образом, подгруппа группы является подмножеством , на которой бинарный продукт и унарная операция по инверсии удовлетворяют закрывающую аксиому.

Операция другого типа - это поиск предельных точек подмножества топологического пространства . Множество, которое закрывается при этой операции, обычно называется закрытым набором в контексте топологии . Без каких-либо дополнительных уточнений эта фраза обычно означает закрытый в этом смысле. Замкнутые интервалы вида [1,2] = { x : 1 ≤ x ≤ 2} в этом смысле замкнуты.

Подмножество частично упорядоченного набора является закрытым вниз набором (также называемым нижним набором ), если для каждого элемента подмножества все меньшие элементы также находятся в подмножестве. Это применимо, например, к действительным интервалам (−∞,  p ) и (−∞,  p ], а также к порядковому номеру p, представленному как interval [0,  p ). Каждый закрытый вниз набор порядковых чисел сам по себе является порядковым числом. Замкнутые вверх множества (также называемые верхними множествами) определяются аналогично.

Примеры [ править ]

• В топологии и связанных с ней отраслях соответствующая операция принимает ограничения. Топологическое замыкание множества представляет собой соответствующий оператор замыкания. В закрывающих аксиомах Куратовскими характеризуют этот оператор.
• В линейной алгебре , то линейная оболочка из множества X векторов является замыканием этого множества; это наименьшее подмножество векторного пространства, которое включает X и замкнуто при операции линейной комбинации . Это подмножество является подпространством .
• В матроидах теории, закрытие X является крупнейшим надмножеством X , который имеет тот же ранг X .
• В теории множеств , то транзитивное замыкание из множества . ^[3]
• В теории множеств , то транзитивное замыкание из бинарного отношения . ^[3]
• В алгебре , то алгебраическое замыкание из поля . ^[4]
• В коммутативной алгебре такие операции замыкания идеалов, как целочисленное замыкание и плотное замыкание .
• В геометрии , то выпуклая оболочка из множества S точек является наименьшим выпуклое множество из которых S является подмножеством . ^[5]
• В официальных языках , то Клини закрытие языка можно описать как набор строк , которые могут быть сделаны путем конкатенации ноль или более строк из этого языка.
• В теории групп , то нормальное замыкание или нормальное замыкание множества групп элементов является наименьшая нормальная подгруппа , содержащая множество.
• В математическом анализе и теории вероятностей , замыкание совокупности подмножеств X при счетном числе операций набора называется σ-алгебра , порожденная коллекции.

Оператор закрытия [ править ]

Основная статья: оператор закрытия

Для данной операции над множеством X можно определить замыкание C ( S ) подмножества S из X как наименьшее подмножество, замкнутое относительно этой операции, которое содержит S как подмножество, если такие подмножества существуют. Следовательно, С ( S ) есть пересечение всех замкнутых множеств , содержащих S . Например, замыкание подмножества группы - это подгруппа, порожденная этим набором.

Замыкание множеств относительно некоторой операции определяет оператор замыкания на подмножествах X . Замкнутые множества могут быть определены с помощью оператора замыкания; набор закрывается, если он равен своему собственному замыканию. Типичные структурные свойства всех операций закрытия: ^[6]

• Укупорочное увеличивается или обширное : закрытие объекта содержит объект.
• Замыкание идемпотентно : закрытие закрытия равно закрытию.
• Замыкание монотонно , то есть если X содержится в Y , то также C ( X ) содержится в C ( Y ).

Объект, являющийся собственным замыканием, называется закрытым . По идемпотентности объект закрывается тогда и только тогда, когда это закрытие некоторого объекта.

Эти три свойства определяют абстрактный оператор замыкания . Обычно абстрактное замыкание действует на класс всех подмножеств набора.

Если X содержится в множестве, закрытом относительно операции, то каждое подмножество X имеет замыкание.

Замыкания бинарных отношений [ править ]

Рассмотрим первые однородные отношения R ⊆ × . Если отношение S удовлетворяет условию aSb ⇒ bSa , то оно является симметричным . Произвольное однородное отношение R не может быть симметричными , но оно всегда содержится в некотором симметричном соотношении: R ⊆ S . Операция поиска наименьшего такого S соответствует оператору замыкания, называемому симметричным замыканием .

А транзитивное отношение Т удовлетворяет ATB ∧ Btc ⇒ AtC . Произвольное однородное отношение R не может быть транзитивными , но оно всегда содержится в некотором переходном соотношении: R ⊆ T . Операция поиска наименьшего такого T соответствует оператору замыкания, называемому транзитивным замыканием .

Среди разнородных отношений есть свойства дифункциональности и контакта, которые приводят к дифункциональному замыканию и замыканию контакта . ^[7] Наличие этих операторов замыкания в бинарных отношениях приводит к топологии, поскольку аксиомы открытого множества могут быть заменены аксиомами замыкания Куратовского . Таким образом, каждое свойство P , симметрия, транзитивность, дифункциональность или контакт соответствует реляционной топологии. ^[8]

В теории переписывания систем, часто используют более многословные такие понятия, как рефлексивном транзитивное замыкание R ^* -The наименьшее предзаказа , содержащий R , или рефлексивный транзитивен симметричное замыкание R ^≡ -The наименьшее отношение эквивалентности , содержащее R , и , следовательно , также известный как закрытие эквивалентности . При рассмотрении конкретной терминологической алгебры отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры ^{[примечание 1]} , называется отношением конгруэнтности . Закрытия конгруэнтностьиз R определяется как наименьшее конгруэнции отношении , содержащего R .

Для произвольного P и R , то P замыкание R необходимости не существует. В приведенных выше примерах они существуют, потому что рефлексивность, транзитивность и симметрия замкнуты относительно произвольных пересечений. В таких случаях Р замыкание может быть непосредственно определена как пересечение всех множеств со свойством Р , содержащей R . ^[9]

Некоторые важные частные замыкания могут быть конструктивно получены следующим образом:

• слы _ссылки ( R ) = R ∪ {⟨ х , х ⟩: х ∈ S } является рефлексивным замыканием из R ,
• сл _SYM ( R ) = R ∪ {⟨ у , х ⟩: ⟨ х , у ⟩ ∈ R } является симметричное замыкание,
• сл _TRN ( R ) = R ∪ {⟨ х ₁ , х _п ⟩: п > 1 ∧ ⟨ х ₁ , х ₂ ⟩, ..., ⟨ х _{п -1} , х _п ⟩ ∈ R } является его транзитивное замыкание ,
• сл _{набережная, Σ} ( R ) = R ∪ {⟨ е ( х ₁ , ..., х _{я -1} , х _я , х _{я + 1} , ..., х _п ), е ( х ₁ , ..., х _{I -1} , у , х _{я + 1} , ..., х _п )⟩: ⟨ х _я , у ⟩ ∈ R ∧ F ∈ Σ п -ичный ∧ 1 ≤ я ≤n ∧ x ₁ , ..., x _n ∈ S } - его замыкание вложения относительно заданного набора Σ операций на S , каждая из которых имеет фиксированную арность.

Говорят, что отношение R замыкается при некотором cl _xxx , если R = cl _xxx ( R ); например, R называется симметричным, если R = cl _sym ( R ).

Любое из этих четырех замыканий сохраняет симметрию, т. Е. Если R симметрично, то также и любое cl _xxx ( R ). ^{[примечание 2]} Точно так же все четыре сохраняют рефлексивность. Более того, cl _trn сохраняет замыкание относительно cl _{emb, Σ} для произвольного Σ. Как следствие, замыкание эквивалентности произвольного бинарного отношения R может быть получено как cl _trn ( cl _sym ( cl _ref ( R ))), а замыкание конгруэнции относительно некоторого Σ может быть получено как cl _trn ( cl _{emb, Σ}( cl _sym ( cl _ref ( R )))). В последнем случае порядок вложения имеет значение; например , если S есть множество терминов над Е = { , Ь , с , ф } и Р = {⟨ , б ⟩, ⟨ е ( б ), с ⟩}, то пара ⟨ ф ( ), гр ⟩ Содержится в замыкании сравнения cl _trn ( cl _{emb, Σ} ( cl _sym ( cl_ref ( R )))) группы R , но не в отношении cl _{emb, Σ} ( cl _trn ( cl _sym ( cl _ref ( R )))).

См. Также [ править ]

• Открытый набор
• Clopen набор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Алгебраическое замыкание" . MathWorld .