Аналогичный набор аксиом можно использовать для определения топологической структуры, используя только двойственное понятие внутреннего оператора . [3]
Определение
Операторы замыкания Куратовского и ослабления
Позволять - произвольное множество и его мощность установлена . Оператор Куратовского замыкания является унарной операцией со следующими свойствами:
[K1] Он сохраняет пустое множество : ;
[K2] Он обширен : для всех, ;
[K3] Это идемпотентное : для всех, ;
[K4] Она сохраняет / дистрибьюция над двоичными союзами : для всех , .
Следствие сохранение бинарных объединений является следующим условием: [4]
[K4 '] Он изотоничен : .
Фактически, если мы перепишем равенство в [K4] как включение, давая более слабую аксиому [K4 ''] ( субаддитивность ):
[K4 '] Это субаддитивный : для всех , ,
тогда легко видеть, что аксиомы [K4 '] и [K4' '] вместе эквивалентны [K4] (см. предпоследний абзац доказательства 2 ниже).
Куратовски (1966) включает пятую (необязательную) аксиому, требующую, чтобы одноэлементные множества были стабильны при замыкании: для всех, . Он называет топологические пространства, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, T 1 -пространствами в отличие от более общих пространств, которые удовлетворяют только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства точно соответствуют топологическим T 1 -пространствам обычным соответствием (см. Ниже). [5]
Если требование [K3] опущено, то аксиомы определяют оператор замыкания Чеха . [6] Если вместо этого [K1] опущено, то оператор, удовлетворяющий [K2] , [K3] и [K4 '] , называется оператором замыкания Мура . [7] Параназывается замкнутым пространством Куратовского , Чеха или Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет.
Альтернативные аксиоматизации
Четыре аксиомы замыкания Куратовского можно заменить одним условием, приведенным Первеном: [8]
[P] Для всех , .
Аксиомы [K1] - [K4] могут быть выведены как следствие этого требования:
Выбирать . потом, или же . Отсюда сразу следует [K1] .
Выберите произвольный а также . Тогда, применяя аксиому [K1] ,, подразумевая [K2] .
Выбирать и произвольный . Тогда, применяя аксиому [K1] ,, то есть [K3] .
В качестве альтернативы, Монтейро (1945)Ошибка harvp: цель отсутствует: CITEREFMonteiro1945 ( справка )предложил более слабую аксиому, которая влечет только [K2] - [K4] : [9]
[M] Для всех , .
Требование [K1] не зависит от [M] : действительно, если, Оператор определяется постоянным присваиванием удовлетворяет [M], но не сохраняет пустое множество, так как. Обратите внимание, что по определению любой оператор, удовлетворяющий [M], является оператором замыкания Мура.
Более симметричная альтернатива [M] была также доказана МО Ботельо и М. Х. Тейшейрой для вывода аксиом [K2] - [K4] : [2]
[BT] Для всех , .
Аналогичные конструкции
Внутренние, внешние и граничные операторы
Двойственное понятие к операторам замыкания Куратовского - это понятие внутреннего оператора Куратовского , которое является отображениемудовлетворяющие следующим аналогичным требованиям: [3]
[I1] Он сохраняет общее пространство : ;
[I2] Это интенсивное : для всех, ;
[I3] Это идемпотентное : для всех, ;
[I4] Он сохраняет двоичные перекрестки : для всех , .
Для этих операторов можно прийти к выводам, полностью аналогичным выводам, сделанным для замыканий Куратовского. Например, все внутренние операторы Куратовского изотонны , т. Е. Удовлетворяют [K4 '] , и из-за интенсивности [I2] можно ослабить равенство в [I3] до простого включения.
Двойственность между замыканиями Куратовского и внутренностями обеспечивается оператором естественного дополнения на, карта отправка . Эта карта является ортодополнением на решетке степенных множеств, что означает, что она удовлетворяет законам Де Моргана : если - произвольный набор индексов и ,
Используя эти законы вместе с определяющими свойствами , можно показать, что любая внутренность Куратовского индуцирует замыкание Куратовского (и наоборот) с помощью определяющего соотношения (а также ). Каждый результат, полученный в отношении может быть преобразован в результат относительно используя эти соотношения в сочетании со свойствами ортодополнения .
Pervin (1964) дополнительно обеспечивает аналогичные аксиомы Куратовских внешних операторов [3] и граничные операторов Куратовских , [10] , которые также вызывает закрытие Куратовского через отношения а также .
Абстрактные операторы
Обратите внимание, что аксиомы [K1] - [K4] могут быть адаптированы для определения абстрактной унарной операции на общей ограниченной решетке , путем формальной замены теоретико-множественного включения частичным порядком, ассоциированным с решеткой, теоретико-множественного объединения с операцией соединения и теоретико-множественных пересечений с операцией встречи; аналогично для аксиом [I1] - [I4] . Если решетка ортодополняема, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Абстрактное замыкание или внутренние операторы могут использоваться для определения обобщенной топологии на решетке.
Поскольку ни объединения, ни пустое множество не появляются в требовании для оператора замыкания Мура, определение может быть адаптировано для определения абстрактного унарного оператора на произвольном наборе.
Связь с другими аксиоматизациями топологии
Индукция топологии из замыкания
Оператор замыкания естественным образом индуцирует следующую топологию . Позволять- произвольное множество. Мы будем говорить, что подмножествобудет закрыт относительно оператора замыкания Куратовскоготогда и только тогда, когда это неподвижная точка указанного оператора, или, другими словами, она устойчива при, т.е. . Утверждение состоит в том, что семейство всех подмножеств общего пространства, которые являются дополнениями замкнутых множеств, удовлетворяет трем обычным требованиям к топологии или, что эквивалентно, семейству всех замкнутых множеств удовлетворяет следующему:
[T2] Это полное при произвольных пересечениях , т.е. если - произвольный набор индексов и , тогда ;
[T3] Он полон при конечных объединениях , т. Е. Если - конечный набор индексов и , тогда .
Обратите внимание, что с помощью идемпотентности [K3] можно кратко написать.
Доказательство 1.
[T1] По экстенсивности [K2] , и поскольку замыкание отображает набор мощности в себя (то есть изображение любого подмножества является подмножеством ), у нас есть . Таким образом. Из сохранения пустого множества [K1] легко следует.
[T2] Далее, пусть - произвольный набор индексов и пусть быть закрытым для каждого . По экстенсивности [K2] ,. Также по изотонности [K4 '] , еслипо всем показателям , тогда для всех , что означает . Следовательно,, имея в виду .
[T3] Наконец, пусть - конечный набор индексов и пусть быть закрытым для каждого . Из сохранения бинарных объединений [K4] и индукции по количеству подмножеств, из которых мы берем объединение, имеем. Таким образом,.
Индукция замыкания из топологии
И наоборот, учитывая семью удовлетворяющие аксиомам [T1] - [T3] , можно построить оператор замыкания Куратовского следующим образом: если а также является включение расстроен из, тогда
определяет оператор замыкания Куратовского на .
Доказательство 2.
[K1] Поскольку, сводится к пересечению всех множеств в семействе ; нопо аксиоме [T1] , поэтому пересечение схлопывается до нулевого множества, и [K1] следует.
[K2] По определениюу нас есть это для всех , и поэтому должны содержаться в пересечении всех таких множеств. Отсюда следует экстенсивность [K2] .
[K3] Обратите внимание, что для всех, семья содержит как минимальный элемент относительно включения. Следовательно, что является идемпотентностью [K3] .
[K4 '] Пусть: тогда , и поэтому . Поскольку последнее семейство может содержать больше элементов, чем первое, мы находим, которая является изотонностью [K4 '] . Обратите внимание, что изотоничность подразумевает а также , что вместе подразумевает .
[K4] Наконец, исправить. Аксиома [T2] подразумевает; кроме того, из аксиомы [T2] следует, что. По экстенсивности [K2] имеем а также , чтобы . Но, так что в целом . С того времени является минимальным элементом по включению находим . Пункт 4. обеспечивает аддитивность [K4] .
Точное соответствие между двумя структурами
Фактически, эти две взаимодополняющие конструкции противоположны друг другу: если является совокупностью всех операторов замыкания Куратовского на , а также - это совокупность всех семейств, состоящая из дополнений ко всем множествам в топологии, т. е. совокупность всех семейств, удовлетворяющих [T1] - [T3] , то такой, что - биекция, обратная которой задается присваиванием .
Доказательство 3.
Сначала докажем, что , оператор тождества на . Для данного закрытия Куратовского, определять ; тогда если его загрунтованная крышка это пересечение всех -стабильные множества, содержащие . Его закрытие без грунтовкиудовлетворяет этому описанию: по экстенсивности [K2] мы имеем, и по идемпотентности [K3] имеем, и поэтому . Теперь позвольте такой, что : по изотонности [K4 '] имеем, и с тех пор мы заключаем, что . Следовательно минимальный элемент по включению, подразумевая .
Теперь докажем, что . Если а также - семейство всех множеств, устойчивых относительно , результат следует, если оба а также . Позволять: следовательно . С является пересечением произвольного подсемейства , а последнее полно относительно произвольных пересечений по [T2] , то. Наоборот, если, тогда минимальное надмножество что содержится в . Но это банально сам, подразумевая .
Заметим, что можно также расширить биекцию в коллекцию всех операторов замыкания Чеха, который строго содержит ; это расширение также сюръективен, что означает, что все операторы замыкания Чеха на также индуцируют топологию на . [11] Однако это означает, что больше не биекция.
Примеры
Как обсуждалось выше, учитывая топологическое пространство мы можем определить замыкание любого подмножества быть набором , т.е. пересечение всех замкнутых множеств которые содержат . Набор наименьший замкнутый набор содержащий , а оператор является оператором замыкания Куратовского.
Зафиксируйте произвольный , и разреши быть таким, чтобы для всех . потомопределяет замыкание Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств совпадает с , семейство всех подмножеств, содержащих . Когда, мы снова получаем дискретную топологию (т.е. , как видно из определений).
Если такое кардинальное число, что , то оператор такой, что
Поскольку любое замыкание Куратовского изотонично, и поэтому, очевидно, любое отображение включения, имеется (изотонная) связность Галуа, при условии одного просмотра как ч.у. относительно включения, и как подмножество . Действительно, легко проверить, что для всех а также , если и только если .
Если является подсемейством , тогда
Если , тогда .
Топологические концепции с точки зрения замыкания
Уточнения и подпространства
Пара застежек Куратовского такой, что для всех индуцировать топологии такой, что , и наоборот. Другими словами, доминирует тогда и только тогда, когда топология, индуцированная последним, является уточнением топологии, индуцированной первым, или, что эквивалентно . [13] Например, явно доминирует (последнее - просто личность на ). Поскольку к тому же выводу можно прийти, подставив с семьей содержащий дополнения всех его членов, если наделен частичным порядком для всех а также наделен порядком уточнения, то можно заключить, что является антитоническим отображением между посетами.
В любой индуцированной топологии (относительно подмножества A ) замкнутые множества индуцируют новый оператор замыкания, который является просто исходным оператором замыкания, ограниченным до A :, для всех . [14]
Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы
Функция является непрерывной в точке если только , и непрерывно всюду тогда и только тогда, когда
для всех подмножеств . [15] Отображение является замкнутым отображением тогда и только тогда, когда выполняется обратное включение [16], и гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно одновременно непрерывно и замкнуто, т. е. тогда и только тогда, когда выполняется равенство. [17]
Аксиомы разделения
Позволять быть замкнутым пространством Куратовского. потом
является T 0 -пространством тогда и только тогда, когда подразумевает ; [18]
является T 1 -пространством тогда и только тогда, когда для всех ; [19]
является T 2 -пространством тогда и только тогда, когда следует, что существует множество так что оба а также , где - оператор дополнения множеств. [20]
Близость и разлука
Точка находится близко к подмножеству если Это можно использовать для определения отношения близости к точкам и подмножествам набора. [21]
Два набора разделены, если и только если . Космосэто связано тогда и только тогда оно не может быть записана в виде объединения двух разделенных подмножеств. [22]
Смотрите также
Топологическое пространство
Оператор закрытия
Čech оператор закрытия
Замыкательная алгебра
Характеризации категории топологических пространств
Заметки
^ Kuratowski (1922) .
^ а б Монтейро (1945) , стр. 160Ошибка harvp: цель отсутствует: CITEREFMonteiro1945 ( справка ).
^ a b c Первин (1964) , стр. 44.
^ Pervin (1964) , стр. 43, упражнение 6.
^ Куратовский (1966) , стр. 38.
↑ Архангельский и Федорчук (1990) , с. 25.
^ «Закрытие Мура» . nLab . 7 марта 2015 года . Проверено 19 августа 2019 года .
^ Доказательство по делу можно найти на "Это оператор закрытия Куратовски ?!" . Обмен стеками . 21 ноября 2015 года.
^ Pervin (1964) , стр. 43, упражнение 10.
^ Pervin (1964) , стр. 49, теорема 3.4.3.
^ Pervin (1964) , стр. 60, теорема 4.3.1.
^ Pervin (1964) , стр. 66, упражнение 3.
^ Pervin (1964) , стр. 67, упражнение 5.
^ Pervin (1964) , стр. 69, теорема 5.1.1.
^ Pervin (1964) , стр. 70, теорема 5.1.2.
^ Доказательство можно найти по этой ссылке .
^ Pervin (1964) , стр. 193-196.
^ Pervin (1964) , стр. 51.
Рекомендации
Куратовски, Казимеж (1922) [1920], «Sur l'opération A de l'Analysis Situs» [Об операции A в Analysis Situs] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 3 , стр. 182–199, Краткое содержание - Перевод Марка Боурона (2010).
Куратовски, Казимеж (1966) [1958], Топология , I , перевод Яворовского, Дж., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN 66029221.
Первин, Уильям Дж. (1964), Боас, Ральф П. младший (редактор), Основы общей топологии , Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN 64-17796.
Архангельский, А В; Федорчук, В.В. (1990) [1988], Гамкрелидзе, Р.В.; Архангельский, А В; Понтрягин, Л.С. (ред.), Общая топология I , Энциклопедия математических наук, 17 , перевод О'Ши, Д. Б., Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, LCCN 89-26209.
Монтейро, Антониу (сентябрь 1943 г.), «Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome» [Характеристика операции замыкания с помощью одной аксиомы], Portugaliae mathematica (на французском языке) (опубликовано в 1945 г.), 4 (4), С. 158–160, Zbl 0060.39406.