В топологии и смежных отраслей математики , А Т 1 пространство является топологическим пространством , в котором для каждой пары различных точек, каждая из них имеет окрестность , не содержащую другую точку. [1] R 0 пространства является тот , в котором это имеет место для каждой пары топологический различимых точек. Свойства T 1 и R 0 являются примерами аксиом разделения .
Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
---|---|
Классификация Колмогорова | |
Т 0 | (Колмогоров) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
Т 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
Т 3 | (обычный Хаусдорф) |
Т 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (нормальный Хаусдорф) |
Т 5 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
Т 6 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
Определения
Пусть X является топологическим пространством , и пусть х и у будут точки в X . Мы говорим, что x и y можно разделить, если каждый лежит в окрестности , не содержащей другой точки.
- X является пространством T 1, если любые две различные точки в X разделены.
- X является пространством R 0, если любые две топологически различимые точки в X разделены.
Пространство AT 1 также называется доступным пространством или пространством с топологией Фреше, а пространство R 0 также называется симметричным пространством . (Термин « пространство Фреше» также имеет совершенно иное значение в функциональном анализе . По этой причине термин « пространство T 1» является предпочтительным. Существует также понятие пространства Фреше – Урысона как типа последовательного пространства . Термин « симметричное пространство» имеет другое значение .)
Характеристики
Если X - топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны:
- X - это пространство T 1 .
- X - это пространство T 0 и пространство R 0 .
- Точки замкнуты в X ; т.е. для любого x ∈ X одноэлементное множество { x } является замкнутым множеством .
- Каждое подмножество X является пересечением всех содержащих его открытых множеств.
- Каждое конечное множество замкнуто. [2]
- Каждое кофинитное множество X открыто.
- Фиксированный ультрафильтр при й сходятся только к х .
- Для каждого подмножества S из X и каждая точка х ∈ Х , х является предельной точкой из S , если и только если каждая открытая окрестность из й содержит бесконечное множество точек S .
Если X - топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны:
- X - это пространство R 0 .
- Для любого х ∈ Х , то замыкания из { х } содержит только точки, которые топологический неотличимы от й .
- Для любых двух точек x и y в пространстве x находится в замыкании { y } тогда и только тогда, когда y находится в замыкании { x }.
- Специализации предпорядок на X является симметричным (и , следовательно, отношение эквивалентности ).
- Фиксированный ультрафильтр в x сходится только к точкам, которые топологически неотличимы от x .
- Каждое открытое множество - это объединение замкнутых множеств .
В любом топологическом пространстве мы имеем в качестве свойств любых двух точек следующие импликации
- разделены ⇒ топологически различимы ⇒ различны
Если первая стрелка может быть перевернута, пробел равен R 0 . Если вторая стрелка может быть перевернута, пробел равен T 0 . Если составная стрелка может быть перевернута, пробел равен T 1 . Пробел является T 1 тогда и только тогда, когда он одновременно R 0 и T 0 .
Обратите внимание, что конечное пространство T 1 обязательно дискретно (так как каждое множество замкнуто).
Примеры
- Пространство Серпинского - простой пример топологии, которая равна T 0, но не является T 1 .
- Перекрытия интервала топология представляет собой простой пример топологии , которая является Т 0 , но не Т 1 .
- Каждое слабо хаусдорфово пространство - это T 1, но обратное, вообще говоря, неверно.
- Коконечна топология на бесконечном множестве представляет собой простой пример топологии , которая является Т 1 , но не Хаусдорфово (Т 2 ). Это следует из того, что никакие два открытых множества конфинитной топологии не пересекаются. В частности, пусть Х множество целых чисел , и определить открытые множества О А , чтобы быть те подмножества X , которые содержат все , но конечное подмножество A из X . Затем даны различные целые числа x и y :
- открытое множество O { x } содержит y, но не x , а открытое множество O { y } содержит x, но не y ;
- эквивалентно, каждое одноэлементное множество { x } является дополнением к открытому множеству O { x } , так что это замкнутое множество;
- таким образом, получившееся пространство равно T 1 по каждому из приведенных выше определений. Это пространство не является T 2 , потому что пересечение любых двух открытых множеств O A и O B есть O A ∪ B , которое никогда не бывает пустым. В качестве альтернативы, множество четных целых чисел компактно, но не замкнуто , что было бы невозможно в хаусдорфовом пространстве.
- Вышеупомянутый пример можно немного изменить, чтобы создать двухконечную кофинитную топологию , которая является примером пространства R 0 , которое не является ни T 1, ни R 1 . Пусть X снова будет набором целых чисел, и, используя определение O A из предыдущего примера, определите подбазу открытых множеств G x для любого целого числа x как G x = O { x , x +1}, если x является четное число и G x = O { x -1, x }, если x нечетное. Тогда основу топологии составляют конечные пересечения множеств подбазисов: для данного конечного множества A открытые множества X равны
- Результирующее пространство не является T 0 (и, следовательно, не T 1 ), потому что точки x и x + 1 (для четных x ) топологически неразличимы; но в остальном он по сути эквивалентен предыдущему примеру.
- Топологии Зарисского на алгебраическом многообразии (над алгебраически замкнутым полем ) Т 1 . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание , что синглтон , содержащая точку с локальными координатами ( с 1 , ..., гр п ) является множеством нулей из многочленов х 1 - с 1 , ..., х п - гр п . Таким образом, точка закрыта. Однако этот пример хорошо известен как пространство, не являющееся хаусдорфовым (T 2 ). Топология Зарисского по сути является примером кофинитной топологии.
- Топология Зарисского на коммутативном кольце (то есть простой спектр кольца ) - это T 0, но не, вообще говоря, T 1 . [3] Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что замыкание одноточечного множества - это множество всех простых идеалов , содержащих точку (и, следовательно, топология T 0 ). Однако это замыкание является максимальным идеалом , и единственные замкнутые точки являются максимальными идеалами и, следовательно, не содержатся ни в одном из открытых множеств топологии, и, следовательно, пространство не удовлетворяет аксиоме T 1 . Для того, чтобы иметь четкое представление о данном примере: Зарисской для коммутативного кольца задаются следующим образом : топологическое пространство есть множество X всех простых идеалов в А . База топологии задается открытыми множествами О простых идеалов , которые не содержат в A . Несложно проверить , что это действительно является основой: так O ∩ O б = O аб и O 0 = Ø и O 1 = X . Замкнутые множества топологии Зарисского - это множества простых идеалов, которые действительно содержат a . Обратите внимание, как этот пример слегка отличается от приведенного выше примера конфинитной топологии: точки в топологии, как правило, не замкнуты, тогда как в пространстве T 1 точки всегда замкнуты.
- Каждое полностью несвязное пространство - это T 1 , поскольку каждая точка является компонентом связности и поэтому замкнута.
Обобщения на другие виды пространств
Термины «T 1 », «R 0 », и их синонимы также могут быть применены к таким изменениям топологических пространств как однородные пространства , Коши пространств и конвергенции пространства . Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сетей ) уникальны (для пространств T 1 ) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для пространств R 0 ).
Оказывается, однородные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда R 0 , поэтому условие T 1 в этих случаях сводится к условию T 0 . Но само по себе R 0 может быть интересным условием для других видов пространств сходимости, таких как претопологические пространства .
Рекомендации
- ↑ Архангельский (1990). См. Раздел 2.6.
- ↑ Архангельский (1990) См. Предложение 13, раздел 2.6.
- ↑ Архангельский (1990). См. Пример 21, раздел 2.6.
- Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (издание Dover).
- Уиллард, Стивен (1998). Общая топология . Нью-Йорк: Дувр. С. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.
- Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 116 . ISBN 0-471-31716-0.
- А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин (Ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 .