История аксиом разделения

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

История аксиом разделения в общей топологии была свернута, с множеством значений , конкурирующих за одни и те же термины и многими терминами , конкурирующих за ту же концепцию.

Происхождение

До нынешнего общего определения топологического пространства было предложено множество определений, некоторые из которых предполагали (то, что мы сейчас называем) некоторые аксиомы разделения. Например, определение, данное Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, эквивалентно современному определению плюс аксиома хаусдорфовой отделимости .

Аксиомы разделения, как группа стали важными в изучении metrisability : вопрос о которых топологические пространства можно придать структуру в виде метрического пространства . Метрические пространства удовлетворяют всем аксиомам разделения; но на самом деле изучение пространств, удовлетворяющих только некоторым аксиомам, помогает развить понятие полной метризуемости.

Аксиомы разделения, которые впервые были изучены таким образом, были аксиомами для доступных пространств , пространств Хаусдорфа , регулярных пространств и нормальных пространств . Топологи присвоили этим классам пространств имена T ₁ , T ₂ , T ₃ и T ₄ . Позже эта система нумерации была расширена и теперь включает T ₀ , T _{2 1 ⁄ 2} , T _{3 1 ⁄ 2} (или T _π ), T ₅ и T ₆ .

Но у этой последовательности были свои проблемы. Идея заключалась в том, что каждое пространство T _i является особым видом пространства T _j, если i  > j . Но это не обязательно так, поскольку определения различаются. Например, регулярное пространство (называемое T ₃ ) не обязательно должно быть хаусдорфовым пространством (называемым T ₂ ), по крайней мере, не в соответствии с простейшим определением регулярных пространств.

Различные определения

Каждый автор согласовал Т ₀ , Т ₁ и Т ₂ . Однако для других аксиом разные авторы могли использовать существенно разные определения, в зависимости от того, над чем они работали. Эти различия могут развиваться, потому что, если предположить, что топологическое пространство удовлетворяет аксиоме T ₁ , то различные определения (в большинстве случаев) эквивалентны. Таким образом, если кто-то собирается сделать это предположение, то он захочет использовать самое простое определение. Но если бы кто-то не сделал этого предположения, то самое простое определение могло бы не подходить для наиболее полезной концепции; в любом случае, это разрушило бы (транзитивное) следствие T _i посредством T _j, допускающую (например) нехаусдорфовы регулярные пространства.

Топологов работающие над проблемой metrisation вообще сделал считать , T ₁ ; в конце концов, все метрические пространства T ₁ . Таким образом, они использовали простейшие определения для T _i . Затем в тех случаях, когда они не принимали T ₁ , они использовали слова («обычный» и «нормальный») для более сложных определений, чтобы противопоставить их более простым. Этот подход использовался еще в 1970 г., когда были опубликованы « Контрпримеры в топологии » Линн А. Стин и Дж. Артур Сибах-младший.

Напротив, общие топологи во главе с Джоном Л. Келли в 1955 году обычно не предполагали T ₁ , поэтому они с самого начала изучали аксиомы разделения в наибольшей степени. Они использовали более сложные определения для T _i , чтобы у них всегда было хорошее свойство, связывающее T _i с T _j . Затем для более простых определений они использовали слова (опять же, «обычный» и «нормальный»). Можно сказать, что оба соглашения следуют «первоначальному» значению; разные значения одинаковы для T ₁пробелы, которые были исходным контекстом. Но в результате разные авторы использовали разные термины совершенно противоположным образом. Путаницу усугубляет то, что в некоторой литературе будет наблюдаться хорошее различие между аксиомой и пространством, которое удовлетворяет этой аксиоме, так что пространство T _3, возможно, должно удовлетворять аксиомам T ₃ и T ₀ (например, в Энциклопедическом словаре математики , 2-е изд.).

С 1970 года термины общих топологов становятся все более популярными, в том числе в других областях математики, таких как анализ . (Таким образом, мы используем их термины в Википедии.) Но использование все еще непоследовательно.

Полностью хаусдорфовы, Урысон и T _{2 1 / 2} пространство

Стин и Зеебах определяют пространство Урысона как «пространство с функцией Урысона для любых двух точек». Уиллард называет это полностью хаусдорфовым пространством. Стин и Зеебах определяют полностью хаусдорфово пространство или пространство T _{2 1 ⁄ 2} как пространство, в котором каждые две точки разделены замкнутыми окрестностями, которые Уиллард называет пространством Урысона или пространством T _{2 1 ⁄ 2} . (Википедия следует за Уиллардом.)

Смотрите также

• История топологии

использованная литература

• Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN  0-387-90125-6
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446
• Стивен Уиллард, Общая топология , Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (издание Dover). 
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .