Пространство Хаусдорфа

В топологии и смежные отраслях математики , A хаусдорфовым , разделенное пространство или T ₂ пространства является топологическим пространством , где для любых двух различных точек существует окрестности каждого , которые пересекаются друг от друга. Из многих аксиом разделения, которые могут быть наложены на топологическое пространство, «условие Хаусдорфа» (T ₂ ) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Это подразумевает единственность пределов от последовательностей , сеток и фильтров . ^[1]

Хаусдорфовы пространства названы в честь Феликса Хаусдорфа , одного из основоположников топологии. Первоначальное определение топологического пространства Хаусдорфом (1914 г.) включало условие Хаусдорфа в качестве аксиомы .

Определения [ править ]

Точки x и y, разделенные своими окрестностями U и V.

Точки и в топологическом пространстве могут быть отделены друг от окрестностей , если существует в окрестности из и окрестность из таких , что и являются непересекающимися ( ). является хаусдорфовым пространством, если все различные точки в нем попарно отделимы от окрестностей. Это условие является третьей аксиомой отделимости (после ), поэтому хаусдорфовы пространства также называют пространствами. Также используется пробел, разделенный именем .${\ displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{0},T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

Родственное, но более слабое понятие - это понятие предрегулярного пространства . является предрегулярным пространством, если любые две топологически различимые точки можно разделить непересекающимися окрестностями. Пререгулярные пространства также называются пространствами .${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{1}}$

Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является одновременно предрегулярным (т. Е. Топологически различимые точки разделены окрестностями) и колмогоровским (т. Е. Различные точки топологически различимы). Топологическое пространство предрегулярно тогда и только тогда, когда его фактор по Колмогорову хаусдорфов.

Эквивалентности [ править ]

Для топологического пространства следующие утверждения эквивалентны: ^[2]${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$ является хаусдорфовым пространством.
• Пределы сетей в уникальны. ^[3]${\displaystyle X}$
• Пределы фильтров на уникальны. ^[4]${\displaystyle X}$
• Любой одноточечно набор равно пересечение всех замкнутых окрестностей в . ^[5] (Замкнутая окрестность - это замкнутое множество , содержащее открытое множество, содержащее x .)${\displaystyle \{x\}\subset X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Диагонали будет закрыто как подмножество пространства продукта .${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$

Примеры и не примеры [ править ]

Почти все пространства, встречающиеся при анализе , хаусдорфовы; самое главное, действительные числа (при стандартной метрической топологии действительных чисел) являются хаусдорфовым пространством. В более общем смысле все метрические пространства хаусдорфовы. Фактически, во многих областях анализа, таких как топологические группы и топологические многообразия , условие Хаусдорфа явно указано в их определениях.

Простым примером топологии, которая является T 1, но не хаусдорфовой, является конфинитная топология, определенная на бесконечном множестве .

Псевдометрические пространства обычно не хаусдорфовы, но они предрегулярны, и их использование в анализе обычно только при построении калибровочных пространств Хаусдорфа . В самом деле, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно, вероятно, все еще является, по крайней мере, дорегулярным, а затем они просто заменяют его частным Колмогорова, которым является Хаусдорф. ^[6]

Напротив, непререгулярные пространства гораздо чаще встречаются в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии , в частности, как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или спектр кольца . Они возникают также в теории модели из интуиционистской логики : каждая полная гейтингова алгебра есть алгебра открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не должно быть preregular, гораздо меньше Хаусдорфф, а на самом деле , как правило , не является ни. Связанная с этим концепция области Скотта также состоит из непререгулярных пространств.

Хотя существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы пространства T _1, в которых каждая сходящаяся последовательность имеет единственный предел. ^[7]

Свойства [ править ]

Подпространства и произведения хаусдорфовых пространств хаусдорфовы ^[8], но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. Фактически, любое топологическое пространство может быть реализовано как фактор некоторого хаусдорфова пространства. ^[9]

Хаусдорфовы пространства T 1 , что означает, что все синглтоны замкнуты. Точно так же предрегулярные пространства R 0 . Каждое хаусдорфово пространство является пространством Собера, хотя обратное, вообще говоря, неверно.

Еще одно приятное свойство хаусдорфовых пространств - это то, что компакты всегда замкнуты. ^[10] Для нехаусдорфовых пространств все компакты могут быть замкнутыми (например, сосчетная топология на несчетном множестве) или нет (например, кофинитная топология на бесконечном множестве и пространство Серпинского ).

Определение пространства Хаусдорфа говорит, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, это влечет нечто, казалось бы, более сильное: в хаусдорфовом пространстве каждую пару непересекающихся компактов также можно разделить окрестностями ^[11], другими словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, такая как что две окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компактные множества часто ведут себя как точки.

Условия компактности вместе с предрегулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное предрегулярное пространство вполне регулярно . Компактные предрегулярные пространства нормальны , что означает, что они удовлетворяют лемме Урысона и теореме о расширении Титце и имеют разбиения единицы, подчиненные локально конечным открытым покрытиям . Хаусдорфовы версии этих утверждений: каждое локально компактное хаусдорфово пространство тихоново , а каждое компактное хаусдорфово пространство нормально хаусдорфово.

Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства, касающиеся отображений ( непрерывных и других) в хаусдорфовы пространства и обратно.

Позвольте быть непрерывной функцией и предположить Хаусдорфова. Тогда граф из , является замкнутым подмножеством .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$${\displaystyle X\times Y}$

Позвольте быть функцией и позвольте быть ее ядром, рассматриваемым как подпространство .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$${\displaystyle X\times X}$

• Если непрерывно и хаусдорфово, то замкнуто.${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker(f)}$
• Если - открытая сюръекция, а закрытая, то хаусдорфова.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle Y}$
• Если - непрерывная открытая сюръекция (т. Е. Открытое фактор-отображение), то хаусдорфово тогда и только тогда, когда замкнуто.${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

Если - непрерывные отображения и хаусдорфовы, то эквалайзер замкнут . Отсюда следует , что если отделимо и и согласны на плотном подмножестве то . Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах.${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=g}$

Пусть быть замкнутой сюръекцией таким образом, что это компактное для всех . Тогда если Хаусдорф, то так и есть .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Пусть - фактор-отображение с компактным хаусдорфовым пространством. Тогда следующие эквиваленты:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$ Хаусдорф.
• ${\displaystyle f}$это замкнутая карта .
• ${\displaystyle \ker(f)}$ закрыто.

Пререгулярность против регулярности [ править ]

Все регулярные пространства предрегулярны, как и все хаусдорфовы пространства. Есть много результатов о топологических пространствах, справедливых как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены для регулярных и хаусдорфовых пространств отдельно, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы также к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (такое как паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется предварительная регулярность. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства, вообще говоря, не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения в этих ситуациях имеет значение скорее предварительная закономерность, чем регулярность. Однако определения обычно все еще формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем предварительная регулярность.

См. « История аксиом разделения» для получения дополнительной информации по этому вопросу.

Варианты [ править ]

Термины «Хаусдорфовы», «разделены», и «preregular» , также может быть применен к таким вариантам на топологических пространствах , как равномерные пространства , Коши пространств и конвергенции пространства . Характеристика, которая объединяет концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) уникальны (для разделенных пространств) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для дорегулярных пространств).

Оказывается, однородные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда предрегулярны, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию T ₀ . Это также те пространства, в которых полнота имеет смысл, и хаусдорфность является естественным спутником полноты в этих случаях. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет хотя бы один предел, в то время как пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку только сети Коши могут иметь ограничения в первую очередь).

Алгебра функций [ править ]

Алгебра непрерывных (вещественных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C * -алгеброй , и, наоборот, по теореме Банаха – Стоуна можно восстановить топологию пространства, исходя из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некоммутативной геометрии , где некоммутативные C * -алгебры рассматриваются как представление алгебр функций на некоммутативном пространстве.

Академический юмор [ править ]

• Условие Хаусдорфа иллюстрируется каламбуром, что в пространствах Хаусдорфа любые две точки могут быть «отделены» друг от друга открытыми множествами . ^[12]
• В Математическом институте Боннского университета , в котором Феликс Хаусдорф исследовал и читал лекции, есть комната, обозначенная как Хаусдорф-Раум . Это каламбур, так как Raum на немецком означает и комната, и пространство .

См. Также [ править ]

• Квазитопологическое пространство
• Слабое хаусдорфово пространство
• Пространство неподвижной точки , хаусдорфово пространство X такое, что каждая непрерывная функция f  : X → X имеет неподвижную точку.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Архангельский А. В., Л. С. , Общая топология I , (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4 . 
• Бурбаки ; Элементы математики: общая топология , Эддисон-Уэсли (1966).
• "Пространство Хаусдорфа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.