Тихоновское пространство

В топологии и смежных отраслей математики , тихоновских пространств и вполне регулярных пространств являются виды топологических пространств . Эти условия являются примерами аксиом разделения .

Тихоновские пространства названы в честь Андрея Николаевича Тихонова , русское имя которого (Тихонов) по-разному переводится как «Тихонов», «Тихонов», «Тихонов», «Тихонов» и т. Д., Который ввел их в 1930 году, чтобы избежать патологической ситуации Хаусдорфа. пространства , единственные непрерывные действительные функции которых являются постоянными отображениями. ^[1]

Определения [ править ]

Отделение точки от замкнутого множества с помощью непрерывной функции.

Топологическое пространство называется полностью регулярным именно в том случае, если точки можно отделить от замкнутых множеств с помощью (ограниченных) непрерывных вещественнозначных функций. С технической точки зрения это означает: для любого замкнутого множества и любой точки существует непрерывная функция с действительными значениями такая, что и (эквивалентно можно выбрать любые два значения вместо и и даже потребовать, чтобы они были ограниченной функцией.)${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle f\vert _{A}=0.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f}$

Топологическое пространство называется пространство тихоновский ( в качестве альтернативы: T _3½ пространство , или Т - _П пространство , или полностью T ₃ пространство ) , если это вполне регулярное хаусдорфово пространство .

Замечание. Вполне регулярные пространства и тихоновские пространства связаны понятием колмогоровской эквивалентности . Топологическое пространство тихоновское тогда и только тогда, когда оно полностью регулярно и T 0 . С другой стороны, пространство полностью регулярно тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова тихоновский.

Соглашения об именах [ править ]

В математической литературе применяются разные соглашения, когда речь идет о терминах «полностью регулярные» и «Т» -аксиомы. Определения в этом разделе даны в типичном современном использовании. Некоторые авторы, однако, меняют значения двух видов терминов или используют все термины как синонимы. В Википедии термины «полностью регулярный» и «тихоновский» используются свободно, а использование буквы «Т» обычно избегается. Поэтому в стандартной литературе рекомендуется проявлять осторожность, чтобы выяснить, какие определения использует автор. Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. История аксиом разделения .

Примеры и контрпримеры [ править ]

Почти каждое топологическое пространство, изучаемое математическим анализом , тихоновское или, по крайней мере, полностью регулярное. Например, реальная прямая Тихонова по стандартной евклидовой топологии . Другие примеры включают:

• Каждое метрическое пространство тихоновское; каждое псевдометрическое пространство вполне регулярно.
• Каждое локально компактное регулярное пространство вполне регулярно, поэтому каждое локально компактное хаусдорфово пространство тихоновское.
• В частности, каждое топологическое многообразие тихоновское.
• Каждое полностью упорядоченное множество с порядковой топологией является Тихоновым.
• Каждая топологическая группа вполне регулярна.
• Обобщая как метрические пространства, так и топологические группы, каждое равномерное пространство полностью регулярно. Верно и обратное: всякое вполне регулярное пространство униформизимо.
• Каждый комплекс CW - Тихонов.
• Каждое нормальное регулярное пространство вполне регулярно, и каждое нормальное хаусдорфово пространство тихоново.
• Плоскость Немыцкая является примером пространства тихоновскома , который не является нормальным .

Свойства [ править ]

Сохранение [ править ]

Полная регулярность и свойство Тихонова хорошо работают по отношению к исходным топологиям . В частности, полная регулярность сохраняется при использовании произвольных начальных топологий, а свойство Тихонова сохраняется при выборе исходных топологий, разделяющих точки. Следует, что:

• Каждое подпространство полностью регулярного или тихоновского пространства обладает тем же свойством.
• Непустое пространство произведения является полностью регулярным (соответственно Тихоновым) тогда и только тогда, когда каждое фактор-пространство полностью регулярно (соответственно Тихоновское).

Как и все аксиомы разделения, полная регулярность не сохраняется при взятии окончательных топологий . В частности, частные вполне регулярных пространств не обязательно должны быть регулярными . Факторы тихоновских пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми . Есть замкнутые частные плоскости Мура, которые дают контрпримеры.

Непрерывные функции с действительным знаком [ править ]

Для любого топологического пространства X пусть C ( X ) обозначает семейство вещественнозначных непрерывных функций на X, а C _b ( X ) - подмножество ограниченных вещественнозначных непрерывных функций.

Полностью регулярные пространства можно охарактеризовать тем, что их топология полностью определяется C ( X ) или C _b ( X ). Особенно:

• Пространство X полностью регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию, индуцированную C ( X ) или C _b ( X ).
• Пространство X полностью регулярно тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество может быть записано как пересечение семейства нулевых множеств в X (т. Е. Нулевые множества образуют базис для замкнутых множеств X ).
• Пространство X вполне регулярно тогда и только тогда , когда конульмножества из X образуют базис для топологии X .

Для произвольного топологического пространства ( X , τ) существует универсальный способ связать вполне регулярное пространство с ( X , τ). Пусть ρ - начальная топология на X, индуцированная C _τ ( X ), или, что то же самое, топология, порожденная базисом кон- нулевых множеств в ( X , τ). Тогда ρ будет тончайшей вполне регулярной топологией на X , более грубой, чем τ. Эта конструкция универсальна в том смысле, что любая непрерывная функция

${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$

в вполне регулярное пространство Y будет непрерывна на ( X , ρ). На языке теории категорий , в функтор , который посылает ( X , т) в ( X , р) сопряжен слева к включению функтора CreG → Top . Таким образом, категория вполне регулярных пространств CreG является отражательной подкатегорию из Top , в категории топологических пространств . Факторы Колмогорова показывают, что подкатегория тихоновских пространств также рефлексивна.

Можно показать , что С _τ ( X ) = С _ρ ( Х ) в приведенной выше конструкции так, чтобы кольца С ( Х ) и С _Ь ( Х ) , как правило , изучаются только для вполне регулярного пространства X .

Категория вещественнокомпактных тихоновских пространств антиэквивалентна категории колец C ( X ) (где X вещественнокомпактно) вместе с гомоморфизмами колец как отображениями. Например, можно восстановить X из C ( X ), когда X (вещественное) компактно. Поэтому алгебраическая теория этих колец является предметом интенсивных исследований. Обширным обобщением этого класса колец, который все еще напоминает многие свойства тихоновских пространств, но также применим в реальной алгебраической геометрии , является класс вещественных замкнутых колец .

Вложения [ править ]

Тихоновские пространства - это в точности те пространства, которые могут быть вложены в компактные хаусдорфовы пространства . Точнее, для каждого тихоновского пространства X , существует бикомпакт K такое , что X является гомеоморфно подпространству К .

Фактически, всегда можно выбрать K как тихоновский куб (то есть, возможно, бесконечное произведение единичных интервалов ). Каждый Тихоновский куб компактен по Хаусдорфу в силу теоремы Тихонова . Поскольку каждое подпространство компактного хаусдорфового пространства тихоновское, у него есть:

Топологическое пространство тихоновское тогда и только тогда, когда оно может быть вложено в тихоновский куб .

Компактификации [ править ]

Особый интерес представляют те вложения , где образ X является плотным в К ; они называются хаусдорфовы компактификациями из X . Принимая во внимание любое вложение тихоновского пространства X в компакте K замыкание образа X в K является компактификация X . В той же статье 1930 г., в которой Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое тихоновское пространство имеет компактификацию Хаусдорфа. ^[2]

Среди этих компактификаций Хаусдорфа, существует единственный «самый общий» один, то стоун-чеховское β X . Он характеризуется универсальным свойством , что, учитывая непрерывное отображение F из X в любом другом бикомпакт Y , существует уникальный непрерывное отображение г от & beta ; X к Y , которая проходит п в том смысле , что F является композицией из г и j .

Единые структуры [ править ]

Полная регулярность - это как раз то условие, необходимое для существования однородных структур на топологическом пространстве. Другими словами, каждое равномерное пространство имеет совершенно правильную топологию и каждое вполне регулярное пространство X является униформизируемо . Топологическое пространство допускает разделенную равномерную структуру тогда и только тогда, когда оно тихоновское.

Учитывая вполне регулярное пространство X существует, как правило , больше , чем одна равномерности на X , который совместит с топологией X . Тем не менее, всегда будет лучшим совместимым единообразие, называется равномерность тонкой на X . Если Х является Тихоновское, то равномерная структура может быть выбрана таким образом , что β Х становится пополнение единого пространства X .

Цитаты [ править ]

Библиография [ править ]