Колмогоровское пространство

В топологии и смежных отраслей математики , топологическое пространство X является T ₀ пространство или Колмогоров пространство ( по имени А. Н. Колмогорова ) , если для каждой пары различных точек X , по крайней мере , один из них имеет окрестность , не содержащую другой. В пространстве T ₀ все точки топологически различимы .

Это условие, называется Т ₀ условием , является самым слабым из аксиом разделения . Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются пространствами T ₀ . В частности, все пространства T ₁ , т. Е. Все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другой, являются пространствами T ₀ . Сюда входят все T ₂ (или хаусдорфовы) пространства , т. Е. Все топологические пространства, в которых разные точки имеют непересекающиеся окрестности. С другой стороны, каждое трезвое пространство (которое может не быть T ₁ ) равно T _0.; это включает в себя топологическое пространство, лежащее в основе любой схемы . Для любого топологического пространства можно построить пространство T ₀ , идентифицируя топологически неразличимые точки.

Пространства T ₀ , которые не являются пространствами T _1, - это в точности те пространства, для которых предварительный порядок специализации является нетривиальным частичным порядком . Такие пространства естественным образом встречаются в информатике , особенно в денотационной семантике .

Определение [ править ]

Т ₀ пространства является топологическим пространством , в котором каждая пара различных точек является топологический различима . То есть для любых двух разных точек x и y существует открытое множество, которое содержит одну из этих точек, а не другую. Точнее, топологическое пространство X является колмогоровским или тогда и только тогда, когда: ^[1]${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {0}}$

Если существует открытое множество O st либо, либо .${\ displaystyle a, b \ in X}$${\ Displaystyle (а \ в О) \ клин (б \ notin О)}$${\ Displaystyle (а \ notin O) \ клин (б \ в O)}$

Обратите внимание, что топологически различимые точки автоматически различимы. С другой стороны, если одноэлементные множества { x } и { y } разделены , то точки x и y должны быть топологически различимы. То есть,

разделены ⇒ топологически различимы ⇒ различны

Свойство быть топологически различимым, как правило, сильнее, чем быть отличным, но слабее, чем быть разделенным. В пространстве T ₀ вторая стрелка вверху меняет направление; точки различны тогда и только тогда, когда они различимы. Вот как аксиома T ₀ согласуется с остальными аксиомами разделения .

Примеры и контрпримеры [ править ]

Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, имеют T ₀ . В частности, все Хаусдорфово (Т 2 ) пространства , Т 1 пространство и трезвые пространства являются Т ₀ .

Пробелы, не относящиеся к T ₀ [ править ]

• Набор из более чем одного элемента с тривиальной топологией . Точки не различимы.
• Множество R ^2, где открытые множества являются декартовым произведением открытого множества в R и самого R , т. Е. Топологии произведения R с обычной топологией и R с тривиальной топологией; точки ( a , b ) и ( a , c ) неразличимы.
• Пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега | f ( x ) | ² по всей действительной прямой конечно . Две одинаковые почти всюду функции неразличимы. См. Также ниже.

Пробелы, которые являются T _0, но не T ₁ [ править ]

• Топологии Зарисского на Spec ( R ), в прайм спектре о наличии коммутативного кольца R всегда Т ₀ , но обычно не Т ₁ . Незамкнутые точки соответствуют простым идеалам, которые не являются максимальными . Они важны для понимания схем .
• Частности топология точки на любом множестве с , по меньшей мере , из двух элементов , Т ₀ , но не Т ₁ , так как конкретный момент не закрыт (ее замыкание есть все пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского, которое представляет собой особую точечную топологию на множестве {0,1}.
• Исключены топологии точка на любом множестве с , по меньшей мере , из двух элементов , Т ₀ , но не Т ₁ . Единственная закрытая точка - это исключенная точка.
• Топологии Александров на частично упорядоченное множество Т ₀ , но не будет Т ₁ , если порядок не является дискретным (согласуется с равенством). К этому типу относится любое конечное пространство T ₀ . Это также включает в себя особую точку и исключенную точечную топологию как особые случаи.
• Топология правильного порядка на полностью упорядоченное множестве является родственным примером.
• Перекрытия интервала топологии аналогична конкретной точке топологии , поскольку каждое открытое множество включает в себя 0.
• Вообще говоря, топологическое пространство X будет T ₀ тогда и только тогда, когда предпорядок специализации на X является частичным порядком . Однако X будет T ₁ тогда и только тогда, когда порядок дискретный (т.е. соответствует равенству). Таким образом, пространство будет T _0, но не T ₁ тогда и только тогда, когда предварительный заказ специализации на X является недискретным частичным порядком.

Работа с пробелами T ₀ [ править ]

Обычно изучаются примеры топологического пространства T ₀ . Действительно, когда математики во многих областях, особенно в анализе , естественным образом сталкиваются с пространствами, отличными от T ₀ , они обычно заменяют их пространствами T ₀ , как будет описано ниже. Чтобы мотивировать задействованные идеи, рассмотрим хорошо известный пример. Под пространством L 2 ( R ) понимается пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега | f ( x ) | ²по всей действительной прямой конечно . Это пространство должно стать нормированным векторным пространством путем определения нормы || f || быть квадратным корнем из этого интеграла. Проблема в том, что на самом деле это не норма, а только полунорма , потому что есть функции, отличные от нулевой функции, чьи (полу) нормы равны нулю . Стандартное решение состоит в том, чтобы определить L ² ( R ) как набор классов эквивалентности функций, а не как набор функций напрямую. Это строит фактор-пространствоисходного полунормированного векторного пространства, и это фактор-пространство является нормированным векторным пространством. Он наследует несколько удобных свойств от полунормированного пространства; Смотри ниже.

В общем, при работе с фиксированной топологией T на множестве X полезно, чтобы эта топология была T ₀ . С другой стороны, когда X фиксирован, но T может изменяться в определенных границах, заставить T равняться T ₀ может быть неудобным, поскольку топологии , отличные от T ₀ , часто являются важными частными случаями. Таким образом, может быть важно понимать как версии T _{0, так} и не-T ₀ различных условий, которые могут быть помещены в топологическое пространство.

Фактор Колмогорова [ править ]

Топологическая неразличимость точек - это отношение эквивалентности . Независимо от того, каким топологическим пространством X могло бы быть вначале, фактор-пространство по этому отношению эквивалентности всегда T ₀ . Это фактор - пространство называется Колмогорова частное от X , который мы обозначим через KQ ( X ). Конечно, если X был T ₀ , чтобы начать с, то KQ ( X ) и X являются естественно гомеоморфно . Категорически пространства Колмогорова являются рефлексивной подкатегорией топологических пространств, а фактор Колмогорова является рефлектором.

Топологические пространства X и Y являются Колмогоров эквивалентными , если их частные Колмогоров гомеоморфно. Эта эквивалентность сохраняет многие свойства топологических пространств; то есть, если X и Y эквивалентны по Колмогорову, то X обладает таким свойством тогда и только тогда, когда Y имеет. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств влечет T ₀ -носпособность; то есть, если X обладает таким свойством, то X должно быть T ₀ . Только несколько свойств, например, недискретное пространство, являются исключением из этого практического правила. Более того, многие структуры, определенные в топологических пространствах, можно переносить между X и KQ ( X ). В результате, если у вас есть топологическое пространство, отличное от T _0, с определенной структурой или свойством, вы обычно можете сформировать пространство T ₀ с теми же структурами и свойствами, взяв фактор Колмогорова.

Пример L ² ( R ) отображает эти особенности. С точки зрения топологии полунормированное векторное пространство, с которого мы начали, имеет много дополнительной структуры; например, это векторное пространство с полунормой, которая определяет псевдометрическую и однородную структуру , совместимую с топологией. Также есть несколько свойств этих структур; например, полунорма удовлетворяет тождеству параллелограмма и единообразная структура является полной . Пространство не является T _0, поскольку любые две функции из L ² ( R ), которые почти всюду равнынеотличимы от этой топологии. Когда мы формируем фактор Колмогорова, фактическое L ² ( R ), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, L ² ( R ) также является полным полунормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но на самом деле мы получаем немного больше, так как пространство теперь равно T ₀ . Полунорма является нормой тогда и только тогда, когда лежащая в основе топология T ₀ , поэтому L ² ( R ) на самом деле является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма, иначе известным как гильбертово пространство . И это гильбертово пространство, которое математики (и физики вквантовая механика ) вообще хотят изучать. Обратите внимание, что обозначение L ² ( R ) обычно обозначает фактор Колмогорова, набор классов эквивалентности квадратично интегрируемых функций, которые различаются на множествах меры нуль, а не просто векторное пространство квадратично интегрируемых функций, которое предлагает обозначение.

Удаление T ₀ [ править ]

Хотя нормы были исторически определены первыми, люди также придумали определение полунормы, которое является своего рода версией нормы, не относящейся к T ₀ . В общем, можно определить не-T ₀ версии как свойств, так и структур топологических пространств. Сначала рассмотрим свойство топологических пространств, например хаусдорфизм . Затем можно определить другое свойство топологических пространств, определив пространство X таким, чтобы оно удовлетворяло этому свойству тогда и только тогда, когда фактор Колмогорова KQ ( X ) хаусдорфов. Это разумное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется предрегулярным.. (Оказывается, есть даже более прямое определение предрегулярности). Теперь рассмотрим структуру, которую можно разместить на топологических пространствах, например метрику . Мы можем определить новую структуру на топологических пространствах, позволив в качестве примера структуры на X быть просто метрикой на KQ ( X ). Это разумная структура на X ; это псевдометрический . (Опять же, есть более прямое определение псевдометрии.)

Таким образом, есть естественный способ удалить T ₀ -сность из требований к свойству или структуре. Как правило, легче изучать пространства, которые имеют T ₀ , но также может быть проще позволить структурам, которые не T _0, получить более полную картину. Требование T ₀ может быть добавлено или удалено произвольно с использованием концепции фактора Колмогорова.

См. Также [ править ]

• Трезвое пространство

Ссылки [ править ]

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN  0-486-68735-X (издание Dover).