В математике , А трезвое пространство является топологическим пространством Х таким образом, что каждое неприводимое замкнутое подмножество X есть замыкание ровно в одной точки X : то есть, каждое неприводимое замкнутое подмножество имеет единственную общую точку .
Свойства и примеры
Любое хаусдорфово (T 2 ) пространство является трезвым (единственными неприводимыми подмножествами являются точки), и все трезвые пространства являются колмогоровскими (T 0 ), и обе импликации строгие. [1] Трезвость не сравнима с условием T 1 : пример пространства T 1, которое не является трезвым, - это бесконечное множество с конфинитной топологией , причем все пространство является неприводимым замкнутым подмножеством без общей точки. Более того, T 2 сильнее, чем T 1 и трезвый, т. Е. В то время как каждое пространство T 2 одновременно является T 1 и трезвым, существуют пространства, которые одновременно являются T 1 и трезвым, но не T 2 . Один из таких примеров следующий: пусть X будет множеством действительных чисел с присоединенной новой точкой p; открытые множества - это все реальные открытые множества, и все конфинитные множества, содержащие p.
Трезвости X именно условие , которое прижимает решетку открытых подмножеств в X , чтобы определить X до гомеоморфизма , который имеет отношение к бессмысленной топологии .
Трезвость делает специализацию предпорядок направлено полный частичный порядок .
Каждый непрерывный направленный полный посет, снабженный топологией Скотта, трезв.
Простой спектр Spec ( R ) из коммутативного кольца R с топологией Зарисской является компактным трезвым пространством. [1] На самом деле, каждое спектральное пространство (т.е. компактного трезвого пространства , для которого совокупность компактных открытых подмножеств замкнуто относительно конечных пересечений и образует базу топологии) гомеоморфно Spec ( R ) для некоторой коммутативного кольца R . Это теорема Мелвина Хохстера . [2] В более общем смысле, топологическое пространство, лежащее в основе любой схемы, является трезвым пространством.
Подмножество Spec ( R ), состоящее только из максимальных идеалов, где R - коммутативное кольцо, в общем случае не является трезвым.
Смотрите также
- Двойственность Стоуна , о двойственности между трезвыми топологическими пространствами и фреймами (т.е. полными алгебрами Гейтинга ), которые являются пространственными.
Рекомендации
- ^ a b Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. стр. 155 -156. ISBN 978-0-444-50355-8.
- ^ Хохстер, Мелвин (1969), "Структура простых идеалов в коммутативных кольцах", Trans. Амер. Математика. Soc. , 142 : 43–60, DOI : 10.1090 / s0002-9947-1969-0251026-x
дальнейшее чтение
- Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
- Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты в теоретической информатике. 5 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 66. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 .