Сопоставимость

Поищите сопоставимость в Викисловаре, бесплатном словаре.

Диаграмма Хассе из натуральных чисел , частично упорядочено « х ≤ у , если х делит у ». Числа 4 и 6 несопоставимы, поскольку ни одно не делит другое.

В математике два элемента x и y множества P называются сравнимыми относительно бинарного отношения ≤, если хотя бы один из x ≤ y или y ≤ x истинен. Их называют несравнимыми, если они не сопоставимы.

Строгое определение [ править ]

Бинарное отношение на множестве по определению любое подмножество из Учитывая написано тогда и только тогда , когда в этом случае , как говорят, связаны с помощью элемента , называется -comparable , или сравнима ( по отношению к ), к элементу , если или Часто, символ указывает на сравнение, такие как (или и многие другие) используют вместо в этом случае написано на месте и именно поэтому термин «сопоставимы» используется. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P \ times P.}$${\ displaystyle x, y \ in P,}$ ${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle (x, y) \ in R,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle x \ in P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle y \ in P}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx.}$${\ Displaystyle \, <\,}$${\ Displaystyle \, \ Leq \ ,,}$ ${\ Displaystyle \,>, \,}$ ${\ displaystyle \ geq,}$${\ displaystyle R,}$${\ Displaystyle х <у}$${\ displaystyle xRy,}$

Сравнимость по отношению к индуцирует каноническое бинарное отношение на ; в частности, отношение сопоставимости, индуцированное посредством , определяется как набор всех пар , сравнимых с ; то есть такое, что хотя бы одно из и является истинным. Точно так же отношение несравнимости на индуцированном by определяется как множество всех пар , несравнимых с тем, что есть, таких, что ни одно не истинно. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y;}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$

Если вместо символа используется символ, то сопоставимость по отношению к иногда обозначается символом , а несравнимость - символом . ^[1] Таким образом, для любых двух элементов и частично упорядоченного множества истинно ровно одно из и .${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,<,\,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}$${\displaystyle {\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$${\displaystyle x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$

Пример [ править ]

Вполне упорядоченное множество является частично упорядоченное множество , в котором любые два элемента сравнимы. Теорема Шпильрайна о расширении утверждает, что каждый частичный порядок содержится в общем порядке. Интуитивно теорема гласит, что любой метод сравнения элементов, который оставляет некоторые пары несравнимыми, может быть расширен таким образом, чтобы каждая пара стала сравнимой.

Свойства [ править ]

Оба отношений сопоставимость и несопоставимость являются симметричны , то есть сравним с тогда и только тогда , когда сравнима и аналогично для несопоставимости.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x,}$

Графики сопоставимости [ править ]

Граф сравнимости частично упорядоченного множества имеет в качестве вершин элементы и имеет в качестве ребер именно те пары элементов, для которых . ^[2]${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$

Классификация [ править ]

При классификации математических объектов (например, топологических пространств ) два критерия называются сопоставимыми, когда объекты, подчиняющиеся одному критерию, составляют подмножество объектов, подчиняющихся другому, то есть когда они сравнимы при частичном порядке ⊂. Например, критерии Т ₁ и Т ₂ сопоставимы, а критерии Т ₁ и трезвости - нет.

См. Также [ править ]

• Строгий слабый порядок , частичный порядок, в котором несравнимость является транзитивным отношением

Ссылки [ править ]

«PlanetMath: частичный порядок» . Проверено 6 апреля 2010 года .