Делитель

Делители 10, изображенные стержнями Кюизенера : 1, 2, 5 и 10

В математике , А делитель целого числа , также называемый фактор из , является целым числом , которое может быть умножено на некоторое целое число , чтобы произвести . В этом случае один и говорят , что это кратный из Целое число является делимым на другое целое число , если есть делитель ; это подразумевает деление на листья без остатка.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m.}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$

Определение [ править ]

Если и ненулевые целые числа, а в более общем случае , ненулевые элементы в области целостности , то говорят , что делит , является делителем из или является кратным из и это записывается как${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m,}$

${\ displaystyle m \ mid n,}$

если существует целое число или элемент области целостности, такой что . ^[1]${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle mk = n}$

Это определение иногда расширяется, чтобы включить ноль. ^[2] Это мало что добавляет к теории, так как 0 не делит никакое другое число, а каждое число делит 0. С другой стороны, исключение нуля из определения упрощает многие утверждения. Кроме того, в теории колец элемент a называется « делителем нуля », только если он не равен нулю и ab = 0 для ненулевого элемента b . Таким образом, среди целых чисел нет делителей нуля (и по определению нет делителей нуля в области целостности).

Общие [ править ]

Делители могут быть как отрицательными, так и положительными, хотя иногда термин ограничивается положительными делителями. Например, есть шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, называются нечетными .

1, −1, n и - n известны как тривиальные делители числа n . Дивизор числа n, который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный дивизор (или строгий дивизор ^[3] ). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составным числом , в то время как единицы -1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.

Существуют правила делимости, которые позволяют отличать определенные делители числа от цифр числа.

Примеры [ править ]

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а сильно составные числа выделены жирным шрифтом.

• 7 является делителем 42, потому что мы можем сказать . Кроме того , можно сказать , что 42 делится на 7, 42 является кратным 7, 7 делит 42, или 7 является фактором 42.${\ displaystyle 7 \ times 6 = 42}$${\ displaystyle 7 \ mid 42}$
• Нетривиальные делители числа 6 равны 2, −2, 3, −3.
• Положительные делители 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Множество всех положительных делителей 60, , частично упорядоченный по делимости, имеет диаграмму Хассы :${\ Displaystyle A = \ {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 \}}$

Дополнительные понятия и факты [ править ]

Вот несколько элементарных правил:

• Если и , то , т.е. делимость - это транзитивное отношение .${\ displaystyle a \ mid b}$${\ displaystyle b \ mid c}$${\ displaystyle a \ mid c}$
• Если и , то или .${\ displaystyle a \ mid b}$${\ displaystyle b \ mid a}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle a = -b}$
• Если и , то выполняется, как и . ^[4] Однако, если и , то это не всегда имеет место (например , и но 5 не делится на 6).${\ displaystyle a \ mid b}$${\ displaystyle a \ mid c}$${\ Displaystyle а \ середина (Ь + с)}$${\ displaystyle a \ mid (bc)}$${\ displaystyle a \ mid b}$${\ displaystyle c \ mid b}$${\ Displaystyle (а + с) \ середина б}$${\ displaystyle 2 \ mid 6}$${\displaystyle 3\mid 6}$

Если , и gcd , то . Это называется леммой Евклида .${\displaystyle a\mid bc}$${\displaystyle (a,b)=1}$${\displaystyle a\mid c}$

Если - простое число, а затем или .${\displaystyle p}$${\displaystyle p\mid ab}$${\displaystyle p\mid a}$${\displaystyle p\mid b}$

Положительный делитель , который отличается от называется собственным делителем или аликвоты часть из . Число , которое не равномерно разделить , но листы остаток иногда называют некратную часть из .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Целое число , единственный собственный делитель которого равен 1, называется простым числом . Точно так же простое число - это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных множителя: 1 и само себя.${\displaystyle n>1}$

Любой положительный делитель числа является произведением простых делителей числа в некоторой степени. Это следствие основной теоремы арифметики .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Число называется совершенным, если оно равно сумме собственных делителей, неполным, если сумма его собственных делителей меньше , и большим, если эта сумма превышает .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией , что означает, что, когда два числа и являются взаимно простыми , тогда . Так , например, ; восемь делителей 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако число положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа и имеют общий делитель, то это может не быть быть правдой . Сумма положительных делителей - еще одна мультипликативная функция (например ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

Если простые множители из дается${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

то число положительных делителей равно${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

и каждый из делителей имеет вид

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

где для каждого${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Для каждого натурального , .${\displaystyle n}$${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}$

Также ^[5]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони . Одна интерпретация этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей около . Однако это результат вкладов чисел с «аномально большим числом» делителей .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln n}$

В абстрактной алгебре [ править ]

В определениях , которые включают в себя 0, отношение делимости превращает множество из неотрицательных целых чисел в частично упорядоченное множество : в полную дистрибутивную решетку . Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший - 1. Операция встречи ∧ задается наибольшим общим делителем, а операция соединения ∨ - наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойной из решетки подгрупп бесконечной циклической группы .${\displaystyle \mathbb {N} }$ Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

См. Также [ править ]

• Арифметические функции
• Правило делимости
• Функция делителя
• Алгоритм Евклида
• Дробь (математика)
• Таблица делителей - Таблица простых и непростых делителей для 1–1000
• Таблица простых множителей - таблица простых множителей для 1–1000
• Унитарный делитель

Заметки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]

• Дурбин, Джон Р. (1992). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-51001-7.
• Ричард К. Гай , Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; раздел Б. 
• Херштейн, И. Н. (1986), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Ойстейн Оре , Теория чисел и ее история, McGraw – Hill, NY, 1944 (и оттиски Dover).
• Симс, Чарльз К. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9